1. علم الرياضيات وأهميته للعلوم
بسم الله الرحمن الرحيم
 محاضرة بعنوان:
علم الرياضيات وأهميته للعلوم

2. إعداد/ بروفيسور محمد علي بشير ورئيس الجمعية السودانية للعلوم الرياضية
أستاذ بجامعة النيلين
ورئيس الجمعية السودانية للعلوم الرياضية

3. اُعدت هذه المحاضرة لمخاطبة ثلاث فئات من الناس:
اُعدت هذه المحاضرة لمخاطبة ثلاث فئات من الناس:
الفئة الأولي: فئة المثقفين والمفكريين.
الفئة الثانية: فئة الأكاديميين الذين يستفيدون من علم الرياضيات كتطبيق في أبحاثهم أو دراستهم .
الفئة الثالثة: فئة المتخصصين في علم الرياضيات والدارسين والمعلمين.

4. وأتمني التوفيق في أن تنال كل الفئات الثلاث حظاً وافراً من نيل القصد ، وأن توافق رؤيتي الخاصة هذه لعلم الرياضيات الواسع رؤية وفلسفة فئة زملائي المتخصصين في علم الرياضيات من الباحثين والدارسين والمعلمين.

5. مقدمـة (1) هدف العلوم: إكتشاف الخصائص الكونية والإنسانية.
نجد أنّ الحقائق والخصائص الكونية يتم إكتشافها بالبحث عن الثوابت الكونية والإنسانية من خلال التغيير (الظواهر).
ونجد أنّ كل المعارف الإنسانية والعلوم الطبيعية تسعى في النهاية لإكتشاف الخصائص الإنسانية أو الكونية من خلال الظواهر المختلفة التي تعبر عن هذا التغيير.
وبذا تتشكل وحدة المعرفة من الهدف المشترك ألاّ وهو البحث عن الثوابت الكونية والإنسانية من خلال الظواهر ، هذا الهدف هو ما نعبر عنه في علم الرياضيات:
البحث عن الثوابت تحت التغيير Invariants under Variations.

6. مسميات الثبات والتغيير في العلوم المختلفة: الثبات التغيير
ونجد أنّ العلوم قاطبة تتميز عن بعضها البعض بنوع مصطلحات الثبات ومصطلحات التغيير.
مسميات الثبات والتغيير في العلوم المختلفة:
الثبات
التغيير
الخصائص
الوحدة
ثوابت الحركة
1. الظواهر
2. التعددية
3. الحركة (جسم أو نظام)

7. (2) كيفية إكتشاف الثوابت في الرياضيات
التعميم
الظاهرة النموذج الرياضي النموذج الرياضي المعمم
البنية الرياضية البنية الرياضية
المعممة
القوانين والنظريات القوانين والنظريات
العامة
الظاهرة الجديدة
التجريد الرياضي
التحليل الرياضي المعمم
تحليل النموذج رياضياً
التـطبيــــــــــق

8. علم الرياضيات وأهميته للعـلوم
سوف نتناول علم الرياضيات وأهميته للعلوم الأخُرى ، الطبيعية والإنسانية من خلال عدة محاور هي :-
1. ماهية الرياضيات موضوع الرياضيات.
3. طبيعة الرياضيات البنية الرياضية.
5. منهج البحث العلمي الرياضي تكافؤ البنيات الرياضية.
7. تطبيقات الرياضيات.

9. أولاً: ماهية الرياضيات
الرياضيات هي الفكر الإنساني المقيد بالمنطق الصحيح الموزون بالقواعد المنطقية والمحكوم بالكم ( العدد ).
ثانياً: موضوع الرياضيات
هو دراسة المتغيرات التي تحكم الظواهر الكونية والإنسانية والتعرف على العلاقات التي تربط هذه المتغيرات (علاقات المعادلات الجبرية أو التفاضلية أو التكاملية أو التحليلية أو الهندسية ).

10. بعض أنماط التغيير في الرياضيات:
الأنماط الرياضية التالية من التغيير مستقاة من الظواهر الطبيعية والإنسانية وهي:
التغيير القابل للاشتقاق (smooth) (ناعم):
هذا التغيير ترتبط فيه المتغيرات المستقلة وغير المستقلة ومشتقاتها بمعادلة تفاضلية. هنا تكون المتغيرات المستقلة قابلة للاشتقاق مرة أو عدة مرات.
كما يمكن التعبير عن هذا التغيير بفضاء (متعدد الطيات) حيث يشكل هذا الفضاء قيداً من خلال خصائصه الهندسية (الانحناء) أو كيفية وجوده داخل فضاء آخر (embedding).
ذلك أن التغيير لا يُمكن أن يكون مطلقاً. التغيير يكون مقيداً بمعادلة أوفضاء..

11. (2) التغيير المستمر:
يكون هذا التغيير مستمراً ولا يُشترط أن يكون ناعماً.

12. بالإضافة إلي إمكانية هذا التغيير بمعادلات، إلاَ أنه يمكن وصفه من خلال فضاء تبولوجي ذي خصائص تبولوجية تمثل هذا التغيير المستمر. ويُفيد التمثيل التبولوجي في تصنيف التغيير.
(Up to the group of homeomorphism) (Homomorphic spaces are equivalent)
تتكافأ التغييرات تحت تحويلات homeomorphism.
(3) التغيير المتقطع (Discrete Change ) :
وهو التغيير غير المستمر .

13. ثالثاً: طبيعة الرياضيات
تعتبر طبيعة الرياضيات طبيعة تجريدية تتعلق ببلورة المفاهيم المجردة من الواقع وإستخدام المصطلحات والرموز للتعبير عن تلك المفاهيم المجردة .
رابعاً: البنية الرياضية
المتغيرات تشكل فضاءاً ذا خصائص (تحليلية ، جبرية ، هندسية) وتركيب مجرد يعبر عن المكنون الديناميكي للفضاء ويكون هذا التركيب ثابت تحت تحويلات تكافؤ معينة تحافظ على التركيب الرياضي الذي يعبر عن المحتوى الرياضي المجرد للبنية الرياضية. وتمثل البنيات الرياضية نموذجاً للكون والإنسان والحياة ، ويمكن أنً تعُم البنيات ما وراء ذلك..

14. خامساً: منهج البحث العلمي الرياضي
بناءاً على طبيعة الرياضيات فإن منهج الرياضيات منهج إستقرائي ، تحليلي ، إستدلالي ، ويعتبر منهج الرياضيات منهجاً علمياً شاملاً (يحتوي على كل عناصر المناهج المعرفية) ويتسم بالأتي:-
1/ التجريد (بإستخدام الرموز والمصطلحات والمفاهيم المجردة
2/ التعميم.
3/ التكامل.
4/ التوحيد.

15. في إطار التجريد نجد أننا نحتاج إلى التحليل الفكري ( رياضي ) لإيجاد العلائق بين مكونات النظام التحليلي لتكوين مقولات فكرية منطقية تمثل نظريات. وإذا أردنا أنَ يكون التحليل محسوباً بدقة وبلغة العدد أو ما يكافؤه من القياس فإننا نلجأ إلى الجبر الرياضي بكل أنماطه ، وبذا نقع في مجال الفكر التحليلي الرياضي وما يتأتى عنه من قياس.

16. هنا تأتي العلائق الرياضية بصيغة معادلات جبرية أو معادلات تفاضلية
هنا تأتي العلائق الرياضية بصيغة معادلات جبرية أو معادلات تفاضلية. وتكون المقولات الرياضية في صياغة نظريات محكومة بالمنطق الرياضي.
أما بالنسبة للتعميم فإنه عادة ما يكون محاولة لشمول المقولة الفكرية مجالاً أوسع ، ويتم ذلك بدراسة كل المعطيات والمجالات المُعرفة السابقة التي تصُح فيها المقولة مع النظر في إمكانية صدق المقولة في فضاءات أو مجالات ممتدة أوسع من السابقة. وعلى هذه الشاكلة نقول أننا قد عمَمنا النتائج السابقة حيث أنها صحت في مجالات أوسع.

17. والآن لو إفترضنا أن هناك مجموعة نظريات مختلفة تصف أوضاعاً متعددة وبصيغ متنوعة ، هنا يبرز السؤال التالي: هل يمكن النظر إلى هذه النظريات المتنوعة من خلال نظرية واحدة وصياغتها صياغة متكاملة حيث تكون كل واحدة من هذه النظريات جزءاً من كُل؟
إذا أمكن ذلك فإننا نقول أنً هذه النظرية الواحدة جمعت أوضاعاً متنوعة ووصفتها بصياغة مشتركة ولا يتم ذلك إلاَ من خلال التجريد وإكتشاف عناصر الوصف المشتركة بين تلك الأوضاع المتنوعة ، تسمى هذه العمليات بالتكامل. ويتضح أنً الصياغة المتكاملة جامعة للصيغ الجزئية وأنها تصف وصفاً متكاملاً جامعاً لأوضاع جزئية من وضع كامل.

18. أما فيما يختص بالتوحيد فإنه يعني الرؤية الواحدة لعدة ظواهر مختلفة من خلال وصف واحد ، وذلك لوجود عناصر الوحدة ويحتاج الأمر أيضاً إلى التجريد وإستخدام دالة تقابل تحمل معاني الوحدة وعلى وجه الخصوص تحافظ على العمليات الثنائية التي تربط عناصر مجموعة الوصف في كل وضع.
هذا بالإضافة إلى أنً هذه الدالة التقابلية ومعكوسها يحملان التركيب الأساسي لكل وضع وللوضع المقابل له.
هناك العديد من الظواهر الكونية التي تبدو لأول وهلة مختلفة إلاَ أنها بعد النظر والتجريد تكون واحدة في جوهرها. ويعتبر علم الرياضيات من أهم فروع المعرفة التي تتناول الوصول إلى جواهر الآشياء وخصائصها وذلك من خلال عملية التجريد أو التعميم أو التكامل أو التوحيد. كل هذه العمليات تحتاج إلى رموز ومصطلحات ومفاهيم مجردة إتسم بها علم الرياضيات وآجاد إستخدامها بلغة منطقية رصينة ودقيقة بالإضافة إلى إعتماد نظم قياسية .

19. سادساً: تكافؤ البنيات الرياضية
يُعتبر مفهوم التكافؤ مفهوماً أساسياً في الرياضيات إذ أنه يعكس مبدأ التعددية الكوني.
ما هو مبدأ التعددية الكوني ؟
هو مبدأ عرفاني يؤكد الحقائق الكونية الكامنة في الصور المتعددة ويشير إلى الثوابت من خلال الظواهر المتنوعة. فما من ظاهرتين أو شيئين إلاّ بينهما إشتراك وإختلاف حيث تشكل العوامل المشتركة الوحدة وتبين العناصر المتباينة الإختلاف والتعدد .
* إذاً الحكمة من التعددية هي إستكشاف الوحدة.
* الوحدة مبدأ علمي جامع ، وهو هدف المعرفة.

20. أمـثلة:
(1) مفهوم الكائن الحي مفهوم وحدوي يجمع بين الإنسان والحيوان والنبات. وخصائص الكائن الحي هي العوامل المشتركة التي تشكل الوحدة . أما عناصر الإختلاف بين الإنسان والحيوان والنبات فواضحة ولا يقوم علم الأحياء دون هذا المفهوم إذ أن هذا العلم يهدف إلى دراسة خصائص الكائن الحي .
(2) مفهوم توحيد القوى الطبيعية (Grand unification) أيضاً مفهوم وحدوي. إذ أننا نجد أنً هدف توحيد هذه القوى ( القوى الكهرومغناطيسية – القوة النووية الضعيفة – القوة النووية القوية – قوى الجاذبية) هو هدف أساسي للفيزياء النظرية . وما زال البحث جارياً إلى الآن لإيجاد صيغة رياضية جامعة لهذة القوى في قانون رياضي وآحد .

21. يجب الإشارة هنا إلى أن توحيد هذه القوى ذو جدوى كبيرة وليس ترفاً ذهنياً
يجب الإشارة هنا إلى أن توحيد هذه القوى ذو جدوى كبيرة وليس ترفاً ذهنياً . وذلك أن:
- توحيد القوى الطبيعية يساعد في فهم الكون والكشف عن أسراره .
- توحيد أي قوتين ينتج عنه تطبيق عملي يمكن تسخيره لصالح الإنسان (تمّ ذلك بالفعل).
(3) مفهوم الآلة :(Machine) هو مفهوم وحدوي يستوعب مصطلحات فيزيائية عديدة كمصطلح الطاقة ومشتقاتها الحرّكية . فالبرغم من تعدد وسائل المواصلات وإستخدامات الآلة عموماً ، إلاّ أن الآلة بمكوناتها الأساسية تشكل نظرية فيزيائية رياضية لها قوانين وقواعد . هذه النظرية ( Theory of machines ) تشكل إطاراً فكرياً رياضياً وحدوياً والأمثلة متعددة.

22. الآن ما دور علم الرياضيات في فهم وصياغة مفهومي التعددية والوحدة؟
الآن ما دور علم الرياضيات في فهم وصياغة مفهومي التعددية والوحدة؟
عالج علم الرياضيات ذلك الآمر الشامل للعلم والمعرفة من خلال مصطلح التكافؤ ذلك المفهوم الجامع .
كيف ؟
نبدأ اولاً ببنية رياضية ( تحليلية – جبرية – هندسية ) مستقاه غالباً من الواقع أو الظواهر الكونية أو من بنية رياضية أخرى أو صيغة معممة ( الصيغ المعممة تُشير إلى جنوح الفكر الرياضي إلى آفاق جديدة - إلى إستحداث ما لم يكن واقعاً ... ).
البنية الرياضية بتركيبها المجرد تشكل نموذجاً رياضياً لظواهر كونية واقعية مشاهدة أو خلاف ذلك ( بالتعميم ) وبناءاً على مبدأ التعددية نتوقع وجود بنيات متكافئة .

23. كيف يمكن الربط بين هذه البنيات المتكافئة والتحقق من هذا التكافؤ ؟
كيف يمكن الربط بين هذه البنيات المتكافئة والتحقق من هذا التكافؤ ؟
على مستوى التجريد نفترض وجود تقابل ( أحادي – شامل ) له معكوس بين بنيتين (X, 𝜇)، (Y, 𝜑) وبذا فإن :-
𝐹: (X, 𝜇) → (Y, 𝜑)
𝐹 −1 : (Y, 𝜑) → (X, 𝜇)
هذا التقابل F لابدّ أن يحافظ على البنيتين (X, 𝜇)، (Y, 𝜑) . فإذا كانت البنيتان جبريتين فيحافظ على التركيب الجبري ( Isomorphism ) ، وإذا كانت البنيتان تحليليتين فيحافظ على التركيب التحليلي مثل Homeomorphism )) ، أما إذا كانت البنيتان هندسيتين فلابدّ أن يحافظ على التركيب الهندسي مثل تحويلات:
(Diffeomorphism) أو (Isometry) أو (Conformal) أو (Symmetry)أو (Symplectic) ... إلخ وذلك بناءاً على التركيب تحت الدراسة.
تجدر الإشارة هنا إلى أهمية التركيب في البنية الرياضية أو النموذج الرياضي فهو جوهر رئيسي يصف الظاهرة وصفاً كاملاً ويمثّل عصارة الفكر الرياضي المجرد.

24. (1) نظم المعادلات التفاضلية:
بعض الآمثلة :-
(1) نظم المعادلات التفاضلية:
البنية الرياضية لهذه النظم هي حلقة النظم الخارجية للصيغ التفاضلية المصاحبة والمستنبطة من المعادلات. وتشكل تحويلات التماثل (زمرة لي) لهذه الصيغ التفاضلية المصاحبة تقابلاً يحافظ على النظام ويحول أي حل للنظام إلى حلٍ آخر. تحويلات التماثل إن وجدت تلعب دوراً هاماً في تركيب حلول المعادلات التفاضلية إذ أنها تساعد مباشرة في تحديد الثوابت التفاضلية Differential Invariants)) تحت تأثير زمرة التماثل . وهذه الثوابت التفاضلية ستقلل من رتبة المعادلة. وبذا فإن إكتشاف المزيد من التماثل يقود إلى المزيد من الثوابت التفاضلية وبالتالي إلى تقليل رتبة المعادلة ممّا يتأتى عنه الحصول على الحل .

25. (2) النظم الديناميكية:
تبلورت مفاهيم الميكانيكا النيوتونية وتجردت في وصفها من الإحداثيات المكانية حيث حلّت الإحداثيات المعممة مكانها. وتلى ذلك أيضاً تعميم معادلة نيوتن (القانون الثاني) إلى معادلة أويلر – لاجرانج.
هذا التطور يُعتبر بداية الميكانيكا التحليلية ، ويلاحظ أن التجريد والتعميم كانا ملازمين لهذا التطور الكبير وهما نتاج فكر رياضي مثمر يعكس طبيعة هذا الفكر المبدع الخلاّق. ولا ننسى أن هذا الفكر الرياضي الفيزيائي يُعالج دراسة التغيير للظواهر الكونية ويكتسب أهمية قصوى من هذا المنطلق .

26. ومن ثم أنجبت الميكانيكا التحليلية علم حسبان التغاير
(Calculus of variations) الذي صار علماً رياضياً بحتاً آتى ثماره للفيزياء والعلوم مرة ثانية وفتح آفاقاً وآسعة. على وجه الخصوص أفاد الفيزياء النظرية في صياغة المجالات الفيزيائية وتحليلها بصورة جامعة وشاملة. بل وأكثر من ذلك! إذ أن بعضاً من المجالات الفيزيائية والجسيمات الدقيقة المرافقة تم التنبؤ بها واكتشافها فقط بإستخدام حسبان التغاير ... مجالات جديدة ، كائنات جديدة ، عوالم جديدة ، ظواهر كانت مجهولة أطلت على الواقع وأستظهرت أثرها من عالم الغيب على عالم الشهود.
هذا بفضل علم الرياضيات. ولنعلم أن علم الرياضيات عالم شاسع غير محدود بفضل التجريد وأن هذا العالم منبثق من الواقع وبذا فهو إمتداد وتطوير.
لقد أثبتت الكشوفات العلمية والتكنولوجيا الحديثة صدق هذه المقولة. فمثلاً كان المجال الكهرومغناطيسي معلوماً لماكسويل وكذلك إمكانية إستخدام هذا المجال في الإتصالات إلاً أنه لم يكن لديه جهاز جوال آنذاك !

27. ثم ماذا بعد حسبان التغاير ؟
هناك إنتقال نوعي في وصف النظم الميكانيكية أتى من قبل هاملتون هذا العالم الرياضي قّدم صياغة مكافئة لمعادلات أويلر- لاجرانج حين سعيه إلى تكامل معادلات أويلر-لاجرانج )حل المعادلات).
لقد إستطاع هاملتون أن يقلل رتبة معادلات أويلر-لاجرانج من اثنين إلى واحد ، من خلال معادلاته البديعة:

28. حيث قدم هاملتون الدالة H التي سميت بإسمه ، كما تمّ إكتشاف دالة التحويل من نظام أويلر-لاجرانج إلى هملتون من قِبل العالم Legendre.
هذا التحويل الأخير تضمن أمراً هاماً يتعلق بالهندسة ، فقد إتضح أن صياغة هملتون للميكانيكا هي صياغة هندسية ولها مضمون كبير ، كما اتضح لاحقاً أن الإنتقال من نظام أويلر-لاجرانج إلى نظام هملتون يعني الإنتقال من فضاء وصفي ( Tangent space ) إلى فضاء وصفي آخر ( Cotangent space ) وكِلا الفضاءان يتمتع بتركيب هندسي معين وكليهما يقود إلى نتائج باهرة.

29. بيد أن المضمون الهندسي في صياغة هملتون أعمق لدي الكثيرين ، ذلك أنّ :-
(1) الصياغة الهملتونية إتخذت الحسبان الخارجي (Exterial Calculus) بدلاً من الحسبان العادي Calculus of variations)) ، ويعتبر الحسبان الخارجي خالياً من الإحداثيات وشاملاً للفضاء (غير محلي) ، ويلائم فضاء متعدد الطيات كفضاء وصفي مناسب لكثير من الظواهر (اللاخطية الشاملة).
(2) تمّ إكتشاف الصيغ الهاملتونية لمعادلات هملتون بإستخدام الحسبان الخارجي وكذلك الصيغة الثابتة الملازمة للنظام الديناميكي (Symplectic form ) والتي تكون لامتغيرة تحت تحويلات معينة Symplectic transformations ) ) تلك التي تشكل زمرة
( Lie group) وبناءاً على ما تقدم يمكن كتابة معادلات هاملتون على شاكلة:

30. حيث هي الصيغة الثابتة ( symplectic form ) .
كما يمكن التعبير عن هذا الثبات بوساطة مشتقة لي ( Lie derivative ) كالآتي :
حيثX المجال المتجه لهاملتون.

31. السؤال القائم الآن: ماذا نستفيد من هذه الصياغة الهندسية المجردة ؟
الإجابة على ذلك: أن هذه الصياغة الهندسية كفيلة بتصنيف النظم الديناميكية التي تحمل تركيبة محددة. وذلك بالإستعانة بزمرة التماثل وجبرها ( الفضاء الثنائي الجبري ) ولا يمكن هذا التصنيف إلاّ من خلال هذا التجريد الهندسي.
في الواقع وبصفة عامة نجد أن الفكر الرياضي المجرد هو وحده الذي يمكِّن من معالجة مسألتي:
1. الوجود (Existence)لحلول المسائل الرياضية (المتعلقة بالظواهر الكونية والإنسانية).
2. التصنيف للنظم الرياضية.
(3) تكافؤ الفضاءات التبولوجية:
البنية الرياضية هنا هي الفضاء التبولوجي والتركيب الرياضي هو المجموعات المفتوحة في هذا الفضاء. زمرة الهوميمورفزم ( Group of homeomorphisms ) تشكل تكافؤاً بين الفضاءات التبولوجية وعناصر هذه الزمرة هي الدوال المستمرة وكذلك معكوسها.

32. ما هي الخصائص التبولوجية التي تحافظ عليها زمرة التكافؤ
( Group of homeomorphisms ) ؟
الإجابة: خصائص عديدة كخاصية الإتصال ( Connectness ) ، وخاصية التراص Compactness )) ، ...إلخ بالإضافة إلى الإحتفاظ بزمر التبولوجيا الجبرية مثل:
(Homotopy groups, homology groups, Cohomology groups).
من أروع الإكتشافات الرياضية أن حلول معادلات المجال الفيزيائية أمكن تمثيلها بزمر كوهومولوجية وبذا تمّ تصنيفها.
ومن أمثلة ذلك مجالات يانق- ميل (Yang – Mills fields) والمجالات صفرية الكتلة عند السكونZero – rest mass fields )) ، أيضاً نجد أن مفهوم التكافؤ التبولوجي وراء تصنيف هذه المجالات .

33. (4) التكافؤ الجبري:
في الأمثلة السابقة كان التكافؤ هندسياً أو تحليلياً ، والآن نلقي الضوء على وجه من أوجه التكافؤ الجبري:
البُنى الجبرية متعددة وهي مرتبطة ببعضها البعض. فهنالك بنية الزمرة وبنية الحلقة وبنية الحقل.
كانت الأعداد ( الصحيحة - النسبية - الحقيقية - المركبة ) وراء هذا البناء الجبري ، إذ أن البُنى الجبرية مستقاة من خصائص الأعداد.
إتضح أن هناك مجموعات أخرى غير الأعداد تتمتع بخصائص الأعداد ،وأن العمليات الثنائية بين الأعداد المختلفة كالجمع والضرب ليست هي كل العمليات الثنائية الممكنة ، إذ تمّ إبتكار كثير من العمليات الثنائية التي تربط عناصر مجموعة ما غير عمليتي الجمع والضرب.
إتسع مفهوم الجبر ولم يعد هو جبر الأعداد وحسب فهناك جبر Grassman وجبر Lie والجبر الخارجي والجبر التنسوري وجبر باناخ ...إلخ. وذلك بعد تقديم تعريف شامل مجرد للجبر. وكل أنواع الجبر أعلاه (Algebras ) تفيد حسبان المفاهيم التحليلية أو الهندسية.

34. لنقف قليلاً ، ما فائدة الجبر ؟
الإجابة التقليدية: الجبر يُفيد عمليات الحساب كالجمع والضرب وكذلك حل المعادلات الجبرية. هذا ما ألِفناه ووجدناه، لكن كل ذلك يحتاج إلى تجريد. يحتاج إلى بنية جبرية تتيحه وتوثقه . تلك هي بنية الزمرة.
أيضاً ليست كل العمليات جمعاً وضرباً. إحتجنا إلى عمليات غير ذلك يصعب حصرها ( مثل عمليات الحاسوب ).
أما فيما يختص بالبُنى الجبرية الأخرى فقد تطور هذا البناء الجبري كنتيجة للسعي وراء إيجاد حلول للمعادلات الجبرية ، إذ أن الطريق إلى الحقل رافقه البحث عن حل المعادلات الجبرية من الدرجات العليا ، وانتهى بنظرية Galois .
لا ننسى أن الفكر الرياضي يتميز عن الفكر الإنساني بأنه فكر محسوب يحتاج إلى جبر. وبذا لابدّ أن ينتهي أي عمل رياضي ( تحليلي أو هندسي ) بالجبر الذي يقودنا إلى الحساب.

36. ما فائدة التكافؤ ؟ الإجابة:
أي نظرية تصح لبنية رياضية تصح بالضرورة لكل البُنى المكافئة لها.
يساعد التكافؤ في دراسة البُنى الجبرية وعلى وجه الخصوص في تصنيفها .
لقد خطا الجبر خطوة كبيرة في التعبير عن التكافؤ الماثل بين البنيات الرياضية وذلك من خلال المفاهيم:
Category, Functor, Morphism.

37. سابعاً: تطبيقات الرياضيات
الرياضيات بماهيتها وموضوعها وطبيعتها ومنهجها تعتبر جامعة للمعرفة ومحققة لغاياتها ، وذلك إذا وقفنا على أهداف المعرفة وهي:-
أ- معرفة الخصائص الكونية.
ب- إكتشاف القوانين الكونية ( كيفية إرتباط المتغيرات).
ج- تسخير الحياة عن طريق إكتشاف القوانين الكونية وخصائص الموجودات.
د- الوحدة (التوحيد).
نجد أن العلم غايته إكتشاف الأسرار الكونية والحقائق العليا وتفسير الظواهر الكونية تفسيراً شاملاً. ولا تتأتى هذه الغاية دون الفكر المنظم.

38. وهذا يقودنا إلى ضرورة المنهج العلمي الذي يتسم بالآتي :-
1. التجريد التعميم.
3. التكامل التوحيد.
ويتضح من هذا أن هذه السمات هي سمات المنهج الرياضي التي ذكرت آنفاً.
إذاً الفكر الرياضي بمنهجه يشكل القالب الفكري المنطقي المحسوب للعلم ولا يمكن أن يقوم العلم بمعزل عن الرياضيات. فالرياضيات ضرورية لصياغة معطيات العلم " وإن كل شئ عندنا إلاَ بمقدار " .
وإذا كان العلم يعنى بتفسير الظواهر الكونية والإنسانية ووصفها بغية تسخيرها لصالح الإنسان ( تطبيقها ) فإن هذا يعني دراسة المتغيرات التي تصف هذه الظواهر ، أي إكتشاف العلاقات والقوانين التي تربط هذه المتغيرات . وهذه العلاقات والقوانين هي في الواقع وعلى مر التاريخ علاقات وقوانين رياضية !

39. إن الكشف العلمي للظواهر الكونية والإنسانية يعني وضع نماذج تجريدية تصف هذه الظواهر وصفاً كاملاً. وأثبت تاريخ العلم وفلسفته أن هذه النماذج من أنماط النماذج الرياضية.
لا يكفي القول أن الرياضيات تستخدم في العلوم الطبيعية والإنسانية ، بل لا تقوم هذه العلوم بدونها .

40. بعض أنماط التطبيق
ذكرنا أنفاً أن موضوع الرياضيات هو المتغيرات الكونية والإنسانية والبحث عن ثوابت هذه المتغيرات تحت تحويلات مختلفة . وأن هذه الثوابت اللامتغيرة تشكل موضوع العلم بتلك المتغيرات التي تصف تلك الظواهر الكونية والإنسانية. وبناءاً على ذلك يتضح لنا أهمية الرياضيات وضرورتها للعلوم الطبيعية والإنسانية ، ذلك لأن موضوع هذه العلوم هو دراسة الظواهر ، تلك التي تشكل أيضاً موضوعاً للرياضيات.
دعونا نستعرض الآن أنماطاً للتغيير المرتبط بالظواهر المختلفة ، علماً بأن:
التغيير ليس مطلقاً فهو مقيد بمعادلات رياضية أو فضاءات بنيوية ذات خصائص هندسية أو تبولوجية معينة.

41. (1) التغيير الموصوف بمعادلات:
(1) التغيير الموصوف بمعادلات:
يمكن وصف الظواهر بتغيير مرتبط بمعادلات جبرية أو تفاضلية أو تكاملية . وهناك العديد جداً من الظواهر الكونية أو الإنسانية التي تم تناولها ووصفها بمعادلات ولا يمكن حصر هذه الظواهر التي امتلأت بها الكتب والأبحاث التي تتعلق بالعلوم الطبيعية والإنسانية . ويعتمد استخدام المعادلات ( جبرية أم تفاضلية) على نوع التغيير الرياضي الذي يصف الظاهرة . فهناك تغيير ناعم ، وهناك تغيير متصل ، وهناك تغيير متقطع ، ... الخ.
(2) التغيير الموصوف بفضاءات:
بما أن التغيير لا يكون مطلقاً فأنه يُقيد هنا بفضاء بنيوي يتم وصفه بدقة حتى يصف الظاهرة المعينة وصفاً شاملاً وكاملاً. وبهذا يُكوِّن هذا الفضاء نموذجاً للظاهرة من خلاله يتم العلم والإستكشاف .

42. مثال (1): ظواهر النسبية:-
مثال (1): ظواهر النسبية:-
(أ) الظاهرة: الأجسام المتحركة بسرعة عالية جداً.
(ب) المطلوب: دراسة ميكانيكا هذه الأجسام .
(ج) الأفتراضات الفيزيائية
أ- ثبات سرعة الضوء .
ب- ثبات صياغة القوانين الفيزيائية للمشاهدين أو الملاحظين الذين يتحركون بسرعات نسبية ثابتة
the law of covariance of physical laws ) )
ملاحظة: الإفتراضات أعلاه تعززها التجارب .

43. ثانياً: تشكيل بنية مترية من حقيقة ثبات سرعة الضوء .
النموذج الرياضي:
أولاً: مجموعة الآحداث الكلية بفضائها المكاني والزماني تشكل فضاءاً رباعياً .
ثانياً: تشكيل بنية مترية من حقيقة ثبات سرعة الضوء .
ثالثاً: إستنباط تحويلات لورنتر ، تلك التي تحقق ثبات صياغة القوانين الفيزيائية وتحافظ على البنية المترية .
- الخطوات الثلاث أعلاه تقود إلى فضاء هندسي (Minkowski Space) يكوِّن نموذجاً رياضياً هندسياً لنظرية النسبية يمكن من خلاله إستقاء كل حقائق الفيزياء النسبية ، كما يُمَكِن هذا النموذج من دراسة مستقبل الكون وذلك من خلال إجابته على كثير من التساؤلات .

44. ظواهر النظم الديناميكية:
مثال (2):
ظواهر النظم الديناميكية:
تكتسب النظم الديناميكية أهمية قصوى في العلوم الطبيعية والإنسانية ، ولست مبالغاً إذا قلت أن كل ظاهرة كونية أو إنسانية تشكل نظاماً ديناميكياً . بذا إستوعبت هذه النظم قدراً كبيراً من الفكر الرياضي ، بل أن معظم التخصصات الرياضية تتناول موضوع النظم الديناميكية .
لننظر الآن إلى معالجة هذه النظم من الوجهة الرياضية :-
لقد مرت معالجة النظم الديناميكية بعدة مراحل ، حيث إتسمت كل مرحلة بنموذج رياضي معين. سوف أستعرض بعضاً من المراحل الهامة التي عولجت فيها النظم الديناميكية:

45. (1) المعالجة بمعادلات تفاضلية:
(1) المعالجة بمعادلات تفاضلية:
هذه أول معالجة جادة منذ نيوتن. ورواد هذه المعالجة كثر ، نذكر منهم: بيرنولي ، كليروت ، لابلاس ، كوشي ، بوسون ، ...إلخ.
كان جهد هؤلاء الرياضيين إبتكار طرق لحل المعادلات التفاضلية المختلفة. ويمكن القول أن هذه الطرق تتلخص في الآتي:-
أ. طرق تحويلية (Transformation methods):
وهذه تشمل التحويلات التكاملية كتحويلات فوريير ولابلاس.
ب. طرق تغيير الإحداثيات(change of variables).
ج. طرق التماثل (symmetry method).
د. طرق إستخدام الثوابت التفاضلية (differential invariants).

46. هذا وقد تطورت هذه الطرق التقليدية مؤخراً لتشمل:
هذا وقد تطورت هذه الطرق التقليدية مؤخراً لتشمل:
أ. طريقة أدوميان (Adomian method).
ب. (Variational iteration method).
ج. طريقة الهوموتوبي (Homotopy method).
بعد ذلك لعب التحليل الرياضي دوراً كبيراً في البحث عن إمكانية وجود الحل حيث إبتكر علماء الرياضيات فضاءات تحليلية عديدة ومؤثرات خطية لدراسة المعادلات التفاضلية. أدى هذا الآمر إلى معالجة أكثر تجريداً.

47. (2) المعالجة بمؤثرات وفضاءات:
(2) المعالجة بمؤثرات وفضاءات:
هذه المرحلة إستوعبت مفاهيم رياضية هامة تتعلق بخصائص الفضاء التحليلية وخصائص المؤثرات التفاضلية التي تعبر عن المعادلات التفاضلية . من هذه الخصائص خاصية التمام علي الفضاء الناظم (normed space) من الذين ساهموا مساهمة عظمي في هذا المجال كوشي وباناخ. هذا وقد إستخدم الأخير فضاء باناخ التام لضمان النقطة الثانبة للمؤشرات التفاضلية لضمان وجود حل للمعادلات التفاضلية . لقد كان لدورعلم التبولجي أثر عظيم في صياغة مفهوم التمام على أسس تبوليجية (خاصية التراص). هنا وفي ملابسات أخري ظهرت الخصائص التبوليجة في دراسة فضاء الدوال أو المؤثرات حيث صارت التبولوجيا ضرورية للتحليل الرياضي. وأعقب باناخ العالم الكبير هلبرت الذي أستفاد من خاصية التمام في فضاءات ناظمة (normed space) خاصة ذات علاقة بالفضاء الإقليدي (فضاء هيلبرت).

48. هنا أحرز هلبرت نجاحأ باهرأ في إستنباط نظريات عديدة تتعلق بالمؤثرات التي أكتسبت سمات مفيدة جدأ في فضائه والمؤثرات المعرفة على ذلك الفضاء. وبخصائص مكتسبة معينة أفضت إلى تصنيف هذه المؤثرات وألقت الضوء تبعأ لذلك علي تصنيف حلول المعادلات التفاضلية.
من أهم ملامح هذا الجهد الرياضي في فضاء هلبرت نظريات الطيف (THEOREMS SPECTRAL) التي تم تطبيقها علي وجه الخصوص في الفيزياء النظرية.

49. (3) المعالجة الهندسية:
هذه المعالجة تعتبر شمولية تستوعب كل النظام الديناميكي المعرف بمجال متجه علي متعدد طيات. في البدء أستخدم الحسبان الخارجي ((extensor calculus للتعبير الموضوعي (Objective expression) وبالتالي يخلو التعبير من الإحداثيات Subjective Expression)) ، كما يكون التعبير شمولياً (Global) في الفضاء وليس محلياً non-local)) ، هنا كان لابد من مفاهيم إشتقاقية تلائم متعدد الطيات كالإشتقاق الخارجي Exterior derivative) ) وإشتقاق لي (Lie derivative) بالاضافة إلى كل مكونات الجبر الخارجيExterior Algebra) ) كضرب Wedge.
هذا الجبر الخارجي سًمي جبر قراسمان.(Grassman Algebra) لقد أُستخدِم الحسبان الخارجي وجبر قراسمان في معالجة وحل النظم الديناميكية وذلك بتناول المعادلات التفاضيلة الخارجية المقابلة وإجراء ذلك الحسبان. لقد كان الفضل الأعظم في تلك المعالجة البارعة يعود الي عدة علماء منهم: Cartan ، Lie ، Griffith ، Brian ، Chern.

50. Index Theorem Atyiah – Singer.
لم يقف الأمر عند هذا الحد بل تعداه الي استخدام التركيب التفاضلي لمتعدد الطيات (الذي يصف التغيير) في التعبير عن تبولوجيا هذا الفضاء ، حيث إستطاع ديرام (Deram) ان يُقدم كوهومولوجيا تكافئ تلك المألوفة علي متعدد الطيات بصفته فضاءاً تبولوجياً. وبذأ مهًد هذا العالم إلى الإستفادة من معطيات التبولوجيا. أدي هذا الأمر إلى معالجة المؤثرات Harmonic Operators)) حيث إرتبط وجود هذه المؤثرات علي الفضاء بفئات كوهمولوجية (Cohomology Classes).
تطور هذا الأمر ليشمل المؤثرات الناقصة ( ( Elliptic Opetors حيث لعب الباحثون أمثال Michel Atiyah ، GilKeey ، Singer ، وآخرون دوراً هاماً في تعميم تلك المفاهيم التبولوجية والهندسية وثوابتها(invariants) لمعالجة المؤثرات العامة Elliptic)، Hyperbolic، (parabolic. وذلك من خلال نظريات هامة إستوعبت الهندسة والتحليل والجبر. نذكر من هذه النظريات:
Index Theorem Atyiah – Singer.

51. في نفس الوقت كان هنالك نشاطاً بحثياً مجرداً في الهندسة التفاضلية حيث يتم تحويل المؤثرات التفاضلية إلى تركيب هندسي يتعلق بصورة مباشرة بمتعدد الطيات ويجعل من القيد الناجم من هذا التركيب متعدد طيات جزئي آخر يكتسب من الخصائص الهندسية مثل :
Minimal manifold ) ، totally geodesic ، parallel mean curvature ، .(CR- Submanifold
ما يجعل الباحث يسعى في تصنيف متعدد الطيات الجزئي الذي يعبر في النهاية عن حلول معادلات تفاضلية.
لقد كان هذا التيار البحثي قديماً وتقليدياً ، إلاّ أنه تطور علي يد عالم الرياضيات الشهير Chern. ومن بعده Chen. وكانوا إمتداداً لجاوس ، Ricci، Weingarten، Codazzi .
صاحب التطور المذكور أعلاه وصفاً آخر متميز للمؤثرات والمجالات بكل أنواعها مثل: Tensor Fields )، Spinor Fields ، Twistor Fields ) .

52.   وهذه المجالات تمثل (Cross Sections)علي متعدد طيات الحزم الليفية
(Fiber Bundles) الذي يتمتع بخصائص تبولوجية وجبرية معينة ، كما يتمتع بتماثل بديع. كل هذا يجعل ذلك الفضاء ملائماً لوصف ظواهر خارجية (External) وظواهر داخلية internal)) لحالات متعددة. علي وجه الخصوص لجأت الفيزياء النظرية لهذا الفضاء الهندسي لفهم مجالات الفيزياء التي تمثلGauge Theory) ) وتسمى(Yang –Mills Fields) .
لقد كانت الفيزياء النظرية بصفة خاصة وراء كثير من المفاهيم والنظريات الرياضية المستحدثة التي أثَرت الفكر الرياضي وساهمت إيضاً في تطور الفيزياء الحديثة . أذكر هنا محاولة الفيزيائيين في البحث عن تكميم المجال التثاقلي (Gravitational Field) راد هذا المجال علماء فيزيائيون ورياضيون كُثر ، إستنفدوا نتاجاً رياضياً هائلاً وإبتكروا أكثر لحل إشكالية تكميم المجال التثاقلي بالإضافة الى إيجاد نظرية وحدوية تسمى
((Grand unification Theory للمجالات الفيزائية المعلومة الآن، ألا وهي المجال الكهرومغنطيسي ، مجال القوة النووية الضعيفة ، مجال القوة النووية القوية ، ومجال قوة الجاذبية. هنالك محاولات عدة أذكر فقط آخرها:

53. :Twistor Theory
إبتكر هذه النظرية العالم الرياضي البريطاني الشهير Penrose. في هذه النظرية قدًم وطور Penrose نموذجاً هندسياً معمماً لفضاء مينكاوسكي وذلك من أجل دراسة الجسيمات الدقيقية، حيث يحتاج الدارس الى صياغة لنظرية الكم إذ أنَ Penrose)) أشار إلى عجز فضاء مينكاوسكي في وصف الجُسيمات الدقيقة . إكتشف هذا العالم تقابلاً هندسياً لإحلال فضاء مينكاوسكي Penrose Correspondence)). كما اكتشف بجهد جهيد تحويلاً هندسياً لتحويل معادلات المجال الفيزيائية إلى فضاء إسقاطي ( (Projective Space ، حيث أثبت جدوى هذا التحويل في معالجة كثير من الإشكاليات المتعلقة بالتكميم .
إنَ تحويل بنروس (Penrose transform) بالإضافة إلى أهميته الفيزيائية إلاَ أنه أثرى الفكر الرياضي بصفة عامة وقدَم مفاهيم هندسية حديثة ونموذجاً رياضياً للمعادلات التفاضلية كمعادلة الموجة وغيرها حيث يمكن إستيعاب الأوضاع التطبيقية التى تعبر عنها هذه المعادلات.

54. خـاتمة
يهدف علم الرياضيات إلى دراسة الظواهر الكونية والإنسانية ، وذلك بصياغة هذه الظواهر صياغة مجردة. هذه الصياغة تشمل مفاهيم ورموز ومصطلحات تشكل نماذج رياضية تستخدم لتمثيل تلك الظواهر.
(2) لكل ظاهرة إنسانية أو كونية نموذج رياضي مجرد يمثلها وذلك بتحديد كيفية إرتباط عواملها وعناصرها المؤثرة فيها. هذا الإرتباط يُشكل العلائق الرياضية بين متغيرات تلك الظاهرة. وبذا يمكن الإستدلال على القوانين الرياضية التي تحكم الظواهر. وهذه هي كيفية تطبيق الرياضيات في العلوم.

55. (3) مفهوم البنية الرياضية يُشكل المنظومة الرياضية المجردة الكاملة التي تشمل وصف الظواهر الكونية والإنسانية. ومن خلال التحليل الرياضي والجبر ومعطيات الهندسة وأدوات المنطق الرياضي الرصين ، يمكن الحصول على نتائج مجردة حيث يتم ترجمتها إلى الواقع ومن ثمّ تطبيقها. علماً بأن البنية الرياضية في تجريدها وموضوعيتها ، تمثل عدة ظواهر متكافئة تتكامل في مفهوم البنية الرياضية الوحدوية.
(4) تعميم البنية الرياضية يؤدي إلى بنية رياضية أشمل ، وبالتالي إلى وجود أوسع ، وإلى مدركات مجردة يُرى من خلالها المعلوم وما وراءه وغير المعلوم وتنبؤاته.

56. (5) التجريد والتعميم والتكامل والتوحيد من سمات الفكر الرياضي ، ومن خلالها يمكن إستشراف عوالم (رياضية) أخرى من الممكن أن تُكوّن واقعاً عاجلاً أو آجلاً. ومن إيجابيات هذه السمات في علم الرياضيات إمكانية إيجاد حلول لإشكاليات لا تجد حلاً في مجالٍ ما ، بينما تجد حلولاً في مجالٍ معممٍ أوسع.
(6) تعتبر الوحدة هدف لكل العلوم ، وهذه الوحدة لا يمكن تحقيقها البتة إلاّ من خلال الفكر الرياضي المجرد. ذلك أنّ الوحدة علمٌ بالكليات لا تستوعبه إلاّ الرياضيات.

57. (7) علم الرياضيات يوسع مجال الوجود (الكوني والإنساني) وذلك من خلال التجريد والتعميم والتكامل.
(8) يعتبر المنهج العلمي الرياضي منهجاً شاملاً لكل العلوم ، إذ أنّ كل مناهج البحث العلمي المعروفة يمكن إستيعابها في هذا المنهج. ويتميز المنهج العلمي الرياضي أيضاً بتعميم النتائج وتوسيع مجال صحتها ممّا يمكن من إكتشاف تطبيقات إضافية. ولذا فهو متفوق على جميع مناهج البحث العلمي المعروفة.

58. (9) لو نظرنا إلى ثنائية المبادئ الميتافيزيائية العلمية:
أ. النسبي ــ المطلق ب. التعددية ــ الوحدة ج. التغيير ــ الثبات.
لوجدنا أنّ المنهج العلمي الشامل الوحيد الذي يمكن بطبيعته أن يتناول هذه الثنائية هو المنهج الرياضي. وبذا نال التأهيل لأم العلوم (Mathematics is the mother of science).
(10) إذا نظرنا إلى أهداف وغايات العلوم العليا نجد أنها لا يمكن أن تتحقق إلاّ من خلال الفكر الرياضي ومنهجيته. ولذا نجد أنّ هذا الفكر يُشكل وحدة المعرفة العلمية على مستوى العلوم والمعارف الكلية.

59. تم بحمد الله

60. إعداد/ بروفيسور محمد علي بشير رئيس الجمعية السودانية للعلوم الرياضية
أستاذ بجامعة النيلين
رئيس الجمعية السودانية للعلوم الرياضية