برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715) Advanced Linear Programming Lecture 3

برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715) Advanced Linear Programming Lecture 3
بنام خدا برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715) Advanced Linear Programming Lecture 3 The Geometry of the Simplex Method مدرس: ناصر سلماسی

برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715)
هندسه روش سیمپلکس تعریف های مقدماتی: بردارهندسی: خطی است جهت دار که از مبدا مختصات به نقطه مورد نظر متصل می شود. بردارجبری: متشکل از چند عدد است که مختصات نقطه انتهایی را بیان می کند. می توان ترکیبی مانند (5,2) را هم بصورت یک نقطه و هم بصورت یک بردار در نظر گرفت.

جمع برداری مجموع دو بردار، قطر متوازی الاضلاعی است که دو ضلع آن دو بردار جمع شده هستند. از دیدگاه هندسی جمع دو بردار برابر جمع مولفه های بردارها است. 3 3

ضرب داخلی دو بردار هر دو بردار دلخواه n بعدی می توانند در هم بصورت داخلی ضرب شده و یک عدد واقعی با عنوان حاصل ضرب داخلی دو بردار تولید کنند. به این فرایند ضرب نقطه ای دو بردار نیز گفته می شود.

نرم یک بردار نرم (اندازه) اقلیدسی یک بردار برابر ریشه دوم مجذور ضرب داخلی یک بردار در خودش است. نرم یک بردار بصورت ||a|| نمایش داده می شود. برای هر دو بردار دلخواه با طول بعد مساوی خواهیم داشت:

نامساوی شوارتز برای هر دو بردار دلخواه a و b با طول بعد یکسان همواره نامساوی زیر برقرار است: برای هر دو بردار دلخواه غیر صفر با طول بعد مساوی نسبت |ab|/||a|| ||b|| برابر کسینوس زاویه میان این دو بردار است. در صورتی که |ab| برابر صفر باشد به معنی این است که این دو بردار عمود بر هم هستند.

فضای اقلیدسی یک فضای اقلیدسی n بعدی که بصورت Rn نمایش داده می شود فضایی است که تمامی بردارهای n بعدی در آن قرار دارند. در این فضا جمع بردارها و ضرب داخلی آنها تعریف شده است.

ترکیب ها چهار نوع ترکیب مختلف تعدادی بردار را در فضای n بعدی و عدد حقیقی α را در نظر بگیرید: ترکیب خطی: مجموعه محدودی از نقطه های {x1,…,xk} را در فضای n بعدی نظر بگیرید. هر یک از این نقطه ها برداری n بعدی است. ترکیب خطی این نقطه ها بصورت زیر نمایش داده می شود. در این رابطه α می تواند هر مقدار حقیقی اختیار کند. 8 8

ترکیب ها (ادامه): ترکیب Affine: ترکیبی از نقطه ها که در شرایط زیر صدق کنند: 9 9

ترکیب ها (ادامه): ترکیب محدب: ترکیب محدب نقطه های یک فضا مجموعه نقطه هایی است که رابطه های زیر میان آنها برقرار باشد: 10 10

ترکیب ها (ادامه): ترکیب غیر منفی: ترکیب غیر منفی مجموعه نقطه هایی در فضا مجموعه ای از نقطه ها است که رابطه های زیر میان آنها برقرار باشد: 11 11

مثال1: در فضای دو بعدی نقطه x را در در نظر بگیرید: ترکیب خطی یک نقطه؟ ترکیب affine یک نقطه؟ ترکیب محدب یک نقطه؟ ترکیب غیر منفی یک نقطه؟ 12 12

مثال1 (ادامه): در فضای دو بعدی نقطه x را در نظر بگیرید: ترکیب خطی این نقطه خطی است از مبدا مختصات به نقطه x متصل شده و از هر دو جهت امتداد می یابد. ترکیب affine این نقطه همان نقطه x است. ترکیب محدب این نقطه نیز همان نقطه x است. ترکیب غیر منفی این نقطه نیم خطی است که از مبدا مختصات به این نقطه متصل شده و ادامه پیدا می کند. X 13 13

مثال 2: در فضای دو بعدی دو نقطه X1 و X2 را در نظر بگیرید: ترکیب خطی دو نقطه؟ ترکیب affine دو نقطه؟ ترکیب محدب دو نقطه؟ ترکیب غیر منفی دو نقطه؟ 14 14

مثال2 (ادامه): در فضای دو بعدی دو نقطه X1 و X2 را در نظر بگیرید: ترکیب خطی این دونقطه کل صفحه را در بر می گیرد. ترکیب affine این دو نقطه خطی است که از این دو نقطه عبور می کند. ترکیب محدب این دو نقطه پاره خطی است که بین این دو نقطه قرار دارد. ترکیب غیر منفی این دونقطه پوشاننده زاویه بین این دو بردار است. 15 15

16 16

توجه: همواره بعد ترکیب affine از فضای برداری مورد بحث کمتر است. 17 17

مثال3: در فضای سه بعدی دو نقطه X1 و X2 را در نظر بگیرید: ترکیب خطی این دو نقطه؟ ترکیب affine این دو نقطه؟ ترکیب محدب این دو نقطه؟ ترکیب غیر منفی این دونقطه؟ 18 18

مثال3 (ادامه): در فضای سه بعدی دو نقطه X1 و X2 را در نظر بگیرید: ترکیب خطی این دونقطه صفحه ای است که از این دو نقطه و مبدا مختصات می گذرد. ترکیب affine این دو نقطه خطی است که از این دو نقطه عبور می کند. ترکیب محدب این دو نقطه پاره خطی است که بین این دو نقطه قرار دارد. ترکیب غیر منفی این دونقطه زاویه مخروطی بین این دو نقطه و مبدا مختصات است. 19 19

پوسته خطی (Linear Hull) زیر فضایی از Rn که دارای کمترین بعد بوده و در بر گیرنده تمام فضای ترکیب خطی چند بردار متعلق به Rn است. مثال: در فضای سه بعدی، پوسته خطی برای دو نقطه دلخواه مانند X1 و X2 صفحه ای است که از این دو نقطه و مبدا مختصات عبور می کند. affine hull برای مثال 1 یک خط (فضای یک بعدی) است. 20 20

توجه یک پاره خط همواره ترکیب محدب دو بردار (دو نقطه) است. یک خط همواره ترکیب affine دو نقطه دلخواه روی خودش است. کاربرد حالت های مختلف ترکیب ها در مساله های برنامه ریزی خطی این است که همواره فضای جواب ترکیب محدب گوشه ها است. همواره affine hull یک مجموعه از نقطه ها زیر مجموعه ای از Linear hull همان مجموعه نقطه ها است (چرا؟). 22 22

مثال: 23 23

مثال: فضای حاصل از ترکیب غیر منفی دو نقطه X1=(1,0) وX2=(0,1) 24 24

مثال: فضای حاصل از ترکیب غیر منفی چهار نقطه در یک فضای دو بعدی 25 25

مثال: فضای حاصل از ترکیب غیر منفی چهار نقطه در یک فضای سه بعدی 26 26

مثال: سه نقطه را بصورت زیر در فضای سه بعدی در نظر بگیرید: X1= (1, 0, 0), X2= (0, 1, 0), X3= (0, 0, 1) ترکیب affine این نقطه ها بصورت X= (α1, α2, α3) نمایش داده می شود بصورتی که=1 α1+ α2+ α3 باشد. این affine Hullفوق صفحه ای است دو بعدی شامل هر سه نقطه فوق 27 27

اهمیت آشنایی با انواع ترکیب های بردارها یک سیستم معادله های خطی گفته می شود سیستمی همگن است اگر تمامی اعضای ثابت بردار سمت راست آن برابر با صفر باشند. بنابراین سیستمی بصورت AX = 0 یک سیستم همگن از معادله های خطی است. مبدا مختصات یکی از جواب های همگن است. اگر X1 وX2 جواب های موجهی برای دستگاه فوق باشند خواهیم داشت:AX1 = 0 و AX2 = 0. 28 28

لذا رابطه زیر برای تمامی مقادیر α1 و α2 معتبر است: A(α1X1+ α2X2) = 0 می توان نتیجه گرفت که هر ترکیب خطی جواب ها برای یک سیستم معادله های خطی همگن پاسخی برای این سیستم معادله ها است. با توجه به این مساله اگر علاقمند به یافتن مجموعه تمامی جواب های موجه یک سیستم معادله های خطی همگن باشیم، عملیات ایجاد ترکیب خطی بردارها مفید است. 29 29

سیستم معادله خطی ناهمگن زیر را در نظر بگیرید که در آن b≠0 : Ax = b در صورتی که x1 و x2 دو جواب موجه برای این مساله باشند، آنگاه خواهیم داشت: A x1 = b A x2 = b بنابراین خواهیم داشت: A (α1x1+ α2x2)= (α1+ α2)b 30 30

بنابراین ترکیب خطی رابطه α1x1+ α2x2 یک جواب موجه برای مساله است اگرو فقط اگر =1 α1+ α2 باشد. به عبارت دیگر اگر و فقط اگر رابطه α1x1+ α2x2 ترکیب affine از x1 و x2 باشد آنگاه تمامی جواب های affineجواب موجه مساله هستند. در نتیجه می توان گفت تمامی ترکیب های affine هر مجموعه جواب موجه برای یک سیستم غیر همگن جواب موجهی برای سیستم خطی مورد نظر است. 31 31

سیستم معادله های خطی غیر همگن زیر را با متغیرهای غیر منفی در نظر بگیرید: Ax = b; x ≥ 0 در صورتی که x1 و x2 دو جواب موجه برای این مساله باشند، آنگاه خواهیم داشت: A x1 = b A x2 = b x1, x2 ≥ 0 32 32

بنابراین: لذا می توان نتیجه گرفت که هر ترکیب محدب جواب های موجه نیز یک جواب موجه برای این سیستم مجموعه معادله های خطی است. α1+ α2=1 A(α1x1+ α2x2 )=b α1, α2≥0 Ax1= Ax2=b x1, x2≥0 33 33

یک سیستم همگن از نامساوی های خطی را بصورت زیر در نظر بگیرید: Ax ≥ 0 می توان نشان داد که هر ترکیب غیر منفی از جواب های موجه این سیستم نیز یک جواب موجه برای مساله است. لذا مکانیزم تولید ترکیب غیر منفی از میان جواب های موجه برای پیدا کردن مجموعه جواب های موجه یک سیستم همگن از مساوی ها و نامساوی ها مفید است. 34 34

تمرین: در رابطه زیر فرض کنید Ɵ ε [0,1] باشد. ثابت کنید به کمک رابطه زیر می توان به تمام نقطه های موجود در پاره خط میان نقطه های X1 و X2 رسید. 35 35

استقلال مجموعه بردارهای a1, a2,…,an را در نظر بگیرید. این بردارها در صورتی مستقل هستند که رابطه زیر میان آنها برقرار باشد: در صورتی که چنین رابطه ای برقرار نباشد این بردارها وابسته هستند. برای پیدا کردن بردارهای مستقل یکی از بردارها که مقدار λi آن مثبت است را حذف می کنیم و صحت رابطه فوق را دوباره امتحان می کنیم. تکرار این عمل منجر به یافتن تعداد بردارهای مستقل می شود. 36 36

Span مجموعه بردارهای (x1,x2,…,xk) در فضای Rn یک span برای مجموعه است اگر بتوان هر بردار عضو مجموعه را بصورت ترکیب خطی این بردارها نمایش داد. مثال: در فضای دو بعدی بردارهایی (دو بردار در فضای دو بعدی) که در امتداد هم نباشند یک span خواهند بود. مثال: فرض کنید x1=(1,0,-1) و x2=(-2,3,17) دو نقطه در فضای سه بعدی باشند. هر نقطه ای بصورت زیر یک ترکیب خطی از دو نقطه فوق است. x=(α1 - 2α2, 3α2, -α1 + 17α2) مثال: در فضای دو بعدی R2بردارهای a1=(1,0) و a2=(-1,3) و a3=(2,1) تشکیل یک span می دهند. 37 37

پایه (Basis) مجموعه بردارهای a1, a2,…,ak تشکیل یک پایه در فضای اقلیدسی Rn می دهند اگر در شرایط زیر صدق کنند: بردارهای a1, a2,…,ak یک span در Rn تشکیل دهند. اگر یکی از بردارها کنار گذارده شود بردارهای باقی مانده توانایی تشکیل یک span را نداشته باشند. این شرایط در صورتی برقرار است که k = n باشد و تمامی n بردار مستقل از هم باشند. 38 38

خصوصیت های پایه (Basis) هر بردار دلخواهی در فضای Rn تنها به یک صورت می تواند توسط هر پایه نمایش داده شود. تعداد بردارهای مورد نیاز برای تشکیل یک پایه برابر بعد فضا است. در فضای برداریRn می توان به تعداد زیاد پایه با استفاده از هر مجموعه n تایی از بردارهای مستقل ایجاد کرد. 39 39

روش جایگزینی یکی از بردارهای یک پایه با داشتن یک پایه می توان پایه دیگری با حذف یکی از بردارهای موجود و وارد کردن یک بردار مناسب دیگر ایجاد کرد. انتخاب پایه خروجی و پایه ورودی باید بادقت انتخاب شود تا استقلال مجموعه بردارهای جدید پابرجا باشد. روش کار؟ 40 40

تعریف های ماتریسی نمایش یک ماتریس بصورت مجموعه ای از ستون ها به شکل زیر: 41 41

ماتریس های قسمت بندی شده(Partitioned Matrices) امکان تجزیه یک ماتریس به قسمت های کوچکتر بصورت زیر: 42 42

ضرب ماتریس های قسمت بندی شده 43 43

معکوس یک ماتریس فرض کنید A و B دو ماتریس n×n باشند. اگر رابطه های زیر برقرار باشند آنگاه این دو ماتریس معکوس همدیگر نامیده می شوند. AB = BA = I اگر ماتریسی دارای معکوس باشد ماتریس Nonsingular و اگر دارای معکوس نباشد ماتریس Singular نامیده می شود. اگر دترمینان یک ماتریس مخالف صفر باشد معکوس پذیر است. 44 44

رتبه یک ماتریس حداکثر تعداد سطر)و یا ستون( مستقل در یک ماتریس رتبه یک ماتریس است. رتبه ماتریس A بصورت r(A) نمایش داده می شود. تعداد سطرهای مستقل یک ماتریس همواره برابر تعداد ستون های مستقل های آن است. رتبه یک ماتریس از روش محاسبه تعداد سطر و یا تعداد ستون مستقل یک ماتریس امکان پذیر است. اگر تمامی سطرها و یا تمامی ستون های یک ماتریس مربع مستقل از هم باشند، دترمینان ماتریس مخالف صفر است. 45 45

رتبه یک ماتریس- ادامه واضح است که r(A) ≤ min{m, n} در صورتی که رابطه r(A) =min{m, n} باشد ماتریس A یک ماتریس full rank نامیده می شود. رتبه ماتریس A برابر با k است اگر بتوان با تقسیم بندی ماتریس A و به کمک عملیات سطری و ستونی ماتریس A را بصورت زیر نمایش داد: 46 46

رتبه یک ماتریس-ادامه همواره در مورد رابطه Ax = b رابطه های زیر برقرار هستند: اگر r(A, b) > r(A) باشد، دستگاه Ax = b جواب ندارد. اگر r(A, b) = r(A) = n باشد، دستگاه Ax = b دارای تنها یک جواب منحصر به فرد است. اگر r(A, b) = r(A) < n باشد، دستگاه Ax = b دارای بی نهایت جواب است. 47 47

رتبه یک ماتریس-ادامه رابطه های زیر در مورد رتبه ماتریس ها برقرار است: همواره داریم r(AB) ≤ min {r(A), r(B)} اگر ماتریسی با رتبه k در یک ماتریس نامنفرد (nonsingular) ضرب شود (از طرف چپ و یا راست) رتبه ماتریس حاصل ضرب برابر k است. دستگاه Ax = b همواره دارای جواب است اگر: r(A)= r(A| b) 48 48

مجموعه محدب (Convex Set) یک زیر مجموعه مانند گفته می شود که یک مجموعه محدب است اگر هر ترکیب محدبی از هر زوج از نقطه های متعلق به K نیز عضو مجموعه K باشد. به عبارت دیگر: در یک مجموعه محدب پاره خط متصل کننده دو نقطه متعلق به این مجموعه نیز در داخل این مجموعه قرار دارد. اگر در رابطه های فوق رابطه را جایگذاری کنیم، ترکیب محدب اکید (strict) خواهیم داشت. 49 49

50 50

نمونه هایی از مجموعه محدب (Convex Set) 51 51

نقطه های گوشه (Extreme Points) نقطه x در فضای محدب X یک نقطه گوشه است اگر نتوان آن را بصورت ترکیب محدب اکید (strict convex combination) دو نقطه دیگر از فضای X نمایش داد. 52 52

یک خط ترکیب affine دو نقطه دلخواه به روی خودش در فضای Rn است. در یک فضای دو بعدی R2 یک خط مستقیم شامل مجموعه نقطه هایی است که در یک معادله خطی صدق می کنند. در فضاهایی با بیش از دو بعد، مجموعه نقطه هایی که در یک معادله (محدودیت) صدق می کنند یک فوق صفحه به ابعاد n-1 است. 53 53

ابر (فوق) صفحه (Hyperplane) یک ابر صفحه در فضای Rn مجموعه ای از نقطه هایی است که در یک معادله خطی همانند معادله زیر صدق کنند. a1x1 + a2x2+ ….+ anxn =b معادله ای است که معمولا حداقل یک بعد از فضای مورد بحث کمتر دارد. به تعریفی دیگر مجموعه نقاطی است که در رابطه زیر صدق کنند: 54 54

ابر صفحه (Hyperplane)-ادامه یک ابر صفحه در فضای اقلیدسی Rn مفهوم عمومیت داده شده خط در فضای R2 و صفحه در فضای R3 است. ابر صفحه H در فضای Rn مجموعه ای بصورت {x: px = k} است که در آنp برداری غیر صفر در فضای Rn و k مقداری اسکالر است. در این رابطه p نرمال یا گرادیان ابر صفحه نامیده می شود. یک ابر صفحه تشکیل دهنده مجموعه نقطه هایی است که در محدودیت مربوطه صدق می کنند. یک ابر صفحه یک مجموعه محدب است. 55 55

ابر صفحه (Hyperplane)-ادامه 56 56

نیم فضا (Half Space) یک طرف ابر صفحه را نیم فضا می گوییم. با تغییر علامت = به حالت ≥ و یا ≤ یک نیم فضا ایجاد می شود. نیم فضاها را می توان به دو صورت بسته و باز بصورت زیر تعریف نمود: نیم فضای بسته نیم فضای باز 57 57

نیم فضا (Half Space)- ادامه در مساله برنامه ریزی خطی جواب موجه (و بهینه) جوابی است که در تمامی نیم فضاهای بسته محدودیت های مساوی و نامساوی صدق کند. لذا منطقه موجه یک مساله برنامه ریزی خطی اشتراک نیم فضاهای بسته موجه است. 58 58

شعاع (Ray) مجموعه نقطه هایی بصورت زیر تشکیل یک شعاع می دهند. d یک بردار غیر صفر است و با عنوان جهت شعاع شناخته می شود. x0 با عنوان راس شعاع شناخته می شود. یک شعاع یک مجموعه محدب است. 59 59

مثال فرض کنید x0 = (2,1) باشد. شعاع ایجاد شده از این نقطه به کمک بردار d = (1,2) بصورت زیر است. 60 60

جهت های یک مجموعه محدب (Directions of a convex Set) در هر مجموعه محدب، بردار غیر صفری مانند بردار d جهت مجموعه را تعیین می کند اگر برای هر نقطه دلخواهی متعلق به مجموعه مانند نقطه x0 شعاع ایجاد شده از نقطه در جهت بردار d ( ) همچنان متعلق به مجموعه محدب باشد. به عبارت دیگر اگر یک مجموعه محدب جهت دار باشد، می توان از هر نقطه ای متعلق به آن به هر مقدار دلخواهی در جهت بردار d حرکت کرد و در مجموعه محدب ماند. با توجه به این مطلب، مجموعه های محدب محدود دارای جهت نیستند. 61 61

مثال مجموعه غیر تهی زیر را در نظر بگیرید: X= {x: Ax ≤ b, x ≥ 0} در این حالت بردار d جهت فضای X است اگر و فقط اگر رابطه های زیر به ازای هر مقدار λ ≥ 0 برای هر نقطه متعلق به فضای X برقرار باشند: A (x + λd) ≤ b x + λd ≥ 0 62 62

مثال-ادامه به عبارت دیگر بردار d جهت مجموعه X است اگر روابط زیر برقرار باشند: d ≥ 0, d ≠ 0, and Ad ≤ 0 63 63

مثال عددی مجموعه زیر و شکل آن را در نظر بگیرید: x1- 2x2 ≥ -6 x1- x2 ≥ -2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 1 فرض کنید x0 = (x1, x2) یک نقطه موجه دلخواه در این فضا باشد. 64 64

مثال عددی-ادامه در این حالت برای تمام مقدارهای λ ≥0 جهت بردار d بصورت زیر محاسبه می شود: Nv 65 65

مثال عددی-ادامه نتیجه محاسبه ها منجر به این می شود که بردار d جهت فضای X است اگر و فقط اگر رابطه های زیر برقرار باشند: 66 66

جهت های بی نهایت یک مجموعه محدب نمادهای جهت های بی نهایت مانند نمادهای گوشه ها هستند. دو بردار دلخواه مانند d1 و d2 گفته می شود که مجزا هستند اگر نتوان یکی از آنها را بصورت مضرب مثبتی از دیگری نمایش داد. یک جهت حدی برای یک مجموعه محدب جهتی از مجموعه است که نتوانیم آن را بصورت ترکیب مثبت دو جهت مجزای مجموعه بنویسیم. 67 67

تمرین ثابت کنید هر نیم فضا یک مجموعه محدب است. ثابت کنید فصل مشترک تعدادی مجموعه محدب خود یک مجموعه محدب است. 68 68

مخروط (Cone) مجموعه یک مخروط است اگر و فقط اگر x ε S باشد، آنگاه به ازای تمامی مقادیر λ ≥ 0 داشته باشیم λ x ε S به مفهوم دیگر در یک مخروط شعاع ایجاد شده به ازای هر نقطه متعلق به فضای آن مخروط است. با توجه به این مطلب مبدا مختصات حتما عضو مخروط است. 69 69

مخروط محدب (Convex Cone) مخروطی است که بصورت محدب باشد. اگر S یک مخروط محدب باشد و x, y عضو آن باشند، در اینصورت هر ترکیب محدب غیر منفی این دو نقطه نیز باید متعلق به S باشد. لذا S یک مخروط محدب است اگر و فقط اگر x ε S, y ε S αx + βy ε S for all α≥0 β ≥0 70 70

مخروط محدب (Convex Cone) 71 71

مثال مخروط محدب ایجاد شده به کمک جهت های حدی (1,1) و(0,1) بصورت شکل زیر جواهد بود. 72 72

تابع های محدب و مقعر تابع f (x1, x2, …,xn) یک تابع محدب نامیده می شود اگر رابطه زیر میان هر دو بردار دلخواه در آن برقرار باشد: تابع f (x1, x2, …,xn) یک تابع مقعر نامیده می شود اگر رابطه زیر میان هر دو بردار دلخواه در آن برقرار باشد: 73 73

تابع های محدب و مقعر تابع f(x1, x2, …,xn) یک تابع محدب نامیده می شود اگر 74 74

مجموعه های چند وجهی (Polyhedral Sets or Polyhedron) چند وجهی است که از اشتراک چند نیم فضا یا ابرصفحه ایجاد می شود (همواره محدب است). چند وجهی یا چند سقفی (Polytope) چند وجهی محدود است. در واقع حالت خاصی از چند وجهی است. 75 75

76 76

از آنجا که هر نیم فضا می تواند به کمک یک نامساوی بصورت aix ≤ bi نمایش داده شود، بنابراین می توان هر مجموعه چند وجهی را بصورت یک سیستم {x: Ax ≤ b) نمایش داد. 77 77

مثال مجموعه چند وجهی محدب ایجاد شده به کمک نامساوی های زیر را در نظر بگیرید: 78 78

مخروط چند وجهی (Polyhedral Cone) چند وجهی است که از اشتراک چند نیم فضا تشکیل شده که ابر صفحه های مربوط به آنها از مبدا مختصات عبور می کنند. مخروط مثبت (Pos-Cone) فضایی است که از ترکیب خطی غیر منفی چند نقطه ایجاد می شود. مثال: در حالت سه بعدی این مخروط تبدیل به هرم می شود. 79 79

80 80

Simplical Cone فرض کنید مجموعه {A1,…, Ar} مجموعه ای از r بردار مستقل خطی در فضای n بعدی باشد. در اینصورت: POS{A1, …, Ar}= {y: y= α1A1+ …+ αrAr, α1,…, αr≥0} مجموعه فوق با عنوان Simplical Cone با بعد rشناخته می شود. اگر بردارها مستقل نباشند این مطلب صحیح نیست. 81 81

82 82

مفهوم سیمپلکس: در فضای n بعدی r نقطه را در نظر بگیرید (r می تواند بزرگتر کوچکتر و یا مساوی n باشد). اگر این نقطه ها را بصورت X1, X2, …, Xr نمایش دهیم، در صورتی که r-1 بردار زیر مستقل باشند این نقطه ها تشکیل سیمپلکس خواهند داد با درجه r-1 X2-X1, X3-X1, X4-X1, …, Xr-X1 تعبیر ریاضی این مساله به شرح زیر است: به عنوان مثال 4 بردار در فضای دو بعدی نمی توانند تشکیل سیمپلکس بدهند. 83 83

84 84

یادآوری: ترکیب محدب چند نقطه فضایی محصور به این نقطه ها است. مثال: سه نقطه را در فضای سه بعدی در نظر بگیرید. مثلثی که از اتصال این سه نقطه به همدیگر تشکیل می شود را یک سیمپلکس گوییم. 85 85

The Requirement Space در مواردی مساله های برنامه ریزی خطی می توانند بصورت هندسی تعبیر شده و در فضای دیگری با عنوان فضای مورد نیاز (requirement space) حل شوند. مساله برنامه ریزی خطی زیر را در نظر بگیرید: i = 1,2,…, m j = 1,2,…, n 86 86

The Requirement Space با داشتن بردارهای a1, a2,…, an می خواهیم اسکالرهای x1, x2,…,xn را به صورتی پیدا کنیم که در محدودیت ها صدق کنند و مقدار تابع هدف بهینه شود. مجموعه بردارها به صورتaijxj ∑ در صورتی که مقدار این اسکالرها مثبت باشند (xj ≥ 0) مخروطی است که به کمک بردارهای a1, a2,…, an ایجاد شده است. i = 1,2,…, m j = 1,2,…, n 87 87

The Requirement Space 88 88

The Requirement Space در این حالت مساله هنگامی دارای جواب موجه است که بردار سمت راستb متعلق به این مخروط باشد. از آنجا که بردار b معمولا به عنوان نیازهایی است که باید ارضا شوند به این فضا Requirement Space گفته می شود. 89 89

مثال: دو مساله برنامه ریزی خطی زیر را در نظر بگیرید: Requirement Space های این دو مساله در اسلاید بعدی نمایش داده شده اند. 90 90

واضح است که در مساله اول مساله دارای جواب موجه است و در مساله دوم جواب موجه برای مساله وجود ندارد. 91 91

مثال: مساله دو بعدی با چهار نقطه زیر را در نظر بگیرید: اگر بردار b در محدوده هاشور خورده باشد مساله جواب موجه دارد. x1 x2 x3 x4 b 1 2 b1 -1 -3 b2 92 92

مثال: چهار نقطه را در فضای دو بعدی در نظر بگیرید. اگر این نقطه ها را با هم جمع کنیم جواب نقطه ای خواهد بود که در داخل بزرگترین مخروط حاصل از این چهار نقطه قرار خواهد گرفت. 93 93

The Requirement Space and Inequality Constraints تعبیر موجه بودن مساله در حالت برقراری محدودیت ها بصورت نامساوی به این صورت است که بردار b باید متعلق به فضای مشترک قابل قبول در تمامی محدودیت ها باشد: 94 94

نکته: مجموعه معادله های {p1, p2, …, pt} را در نظر بگیرید که در Ax=b وجود دارند(t ≥ 2). اگر سطرهای این مجموعه معادله ها مستقل نباشند حالت فزونگی (redundancy) میان محدودیت ها وجود دارد. در این حالت یکی از محدودیت ها را می توان بصورت ترکیب خطی سایر محدودیت ها نمایش داد. 95 95

نکته: سیستم معادله های Ax=b را سازگار (consistent) می گوییم اگر دارای جواب باشد. در صورتیکه r(A)=r(A|b)=r باشد اگر r = m باشد به مفهوم این است که تمامی محدودیت ها مستقل هستند. اگر r < m باشد، به تعداد m-r محدودیت زاید در مساله وجود دارد (مدل حمل و نقل) اگر r > m باشد؟ 96 96

در مساله های برنامه ریزی خطی معمولا تعداد ستون ها (متغیرها) بیش از سطرها (محدودیت ها) است. به همین دلیل عموما عدم استقلال در تعداد ستون ها وجود دارد. در مواردی که با عدم استقلال در تعداد سطرها مواجه شویم، در مساله های واقعی حتما به دلیل اشتباه در مدل سازی بوده است. برای مطالعه بیشتر می توانید به کتاب هدلی و مورتی مراجعه کنید. 97 97

در حالتی که سطرهای مساله مستقل نباشند می توان با حذف سطرهای وابسته سطرهای مستقل را پیدا کرد. این فرایند با عملیات تکراری که در هر تکرار فقط یکی از سطرها حذف می شود قابل اجراست. 98 98

تمرین: 99 99

تمرین: قسمت اول: اگر بردارهای ستونی E مستقل باشند باید ثابت کنیم بردارهای ستونی D نیز مستقل هستند. قسمت دوم: اگر بردارهای ستونی D مستقل باشند باید ثابت کنیم بردارهای ستونی E نیز مستقل هستند. 100 100

جواب حدی (Extreme Point) – جواب گوشه فرض کنید S یک زیر مجموعه محدب درRn باشد. نقطه ای مانند x0 گفته می شود که یک نقطه حدی در مجموعه S است اگر نتوان آن را بصورت ترکیب محدب دو نقطه دیگر متمایز متعلق به مجموعه S نمایش داد. تعریف صریح: نقطه ای که نمی تواند ترکیب محدب دو نقطه موجه دیگر باشد. 101 101

جواب حدی (Extreme Point) – جواب گوشه (ادامه) بیان ریاضی نقطه حدی: یک جواب حدی برای مجموعه S است اگر X1,X2 ε S و همچنین λ < 1 > 0 آنگاه : نام های دیگر جواب حدی جواب گوشه و یا نقطه راس هستند. 102 102

جواب حدی (Extreme Point) – جواب گوشه (ادامه) نقطه ای است که اگر هر خطی از آن عبور کند حداقل یک طرف آن خط در همسایگی آن نقطه موجه نباشند. مثال: اگر ناحیه موجه مساله ای بصورت دایره باشد تمامی نقطه های روی دایره نقطه حدی محسوب می شوند. نقطه های حدی نقش بسیار مهمی در حل مساله های مربوط به مساله های محدب ایفا می کنند. 103 103

جواب حدی (Extreme Point) – جواب گوشه (ادامه) نقطه حدی نیست نقطه حدی 104 104

جواب حدی (Extreme Point) – جواب گوشه (ادامه) 105 105

جواب حدی (Extreme Point) – جواب گوشه (ادامه) تحقیق در مورد اینکه نقطه ای جواب حدی است با کمک تعریف های هندسی آسان نیست. لذا از روش های جبری برای شناسایی نقطه های گوشه استفاده می شود. یک گوشه نقطه ای است که بردارهای تشکیل دهنده آن مستقل باشند. 106 106

جواب حدی (Extreme Point) – جواب گوشه (ادامه) تعبیر دیگری از نقطه حدی فرض کنید ابرصفحه های ایجاد شده در یک مساله بر پایه فصل مشترک m + n نیم فضاهای مساله به عنوان فوق صفحه های فضای X باشند. ابر صفحه های ایجاد شده نسبت به هم مستقل هستند اگر ماتریس ضرایب این مجموعه معادله ها دارای رتبه کامل سطری باشد (سطرهای آنها مستقل از هم باشند). 107 107

جواب حدی (Extreme Point) – جواب گوشه (ادامه) تعبیر دیگری از نقطه حدی-ادامه در این حالت نقطه ای مانند یک گوشه در فضای X است اگر در محل تقاطع n محدودیت مستقل از هم قرار بگیرد. اگر یک نقطه در محل تقاطع بیش از یک دسته محدودیت n تایی مستقل قرار بگیرد، آن نقطه یک گوشه تبهگن است. تعداد فوق صفحه های مازاد بر n که از یک نقطه عبور کنند، رتبه تبهگنی آن گوشه نامیده می شود. 108 108

جواب حدی (Extreme Point) – جواب گوشه (ادامه) از این خاصیت می توان در جهت شناسایی گوشه بودن یک نقطه استفاده کرد. درمساله های برنامه ریزی خطی نقطه های حدی بر پایه خاصیت های جبری تعریف می شوند که معمولا جواب پایه موجه (BFS) نامیده می شوند. 109 109

جواب حدی (Extreme Point) – جواب گوشه (ادامه) تعبیر دیگری از نقطه حدی-ادامه در Polyhedral set زیر در فضای سه بعدی هر گوشه محل تلاقی سه فوق صفحه است. نقطه تبهگن محل تلاقی چهار فوق صفحه است. 110 110

جواب حدی (Extreme Point) – جواب گوشه (ادامه) تعبیر دیگری از نقطه حدی-ادامه نقطه تبهگن را می توان بصورت های مختلفی با حالت های مختلف انتخاب سه فوق صفحه از میان چهار فوق صفحه متقاطع انتخاب کرد. هیچکدام از فوق صفحه ها زاید نیستند. 111 111

جواب پایه موجه* سیستم معادله های خطی با متغیرهای غیر منفی بصورت زیر را در نظر بگیرید: Ax = b x ≥ 0 جواب موجه را هنگامی جواب پایه موجه می گوییم که مجموعه بردارهای ستونی A که برای محاسبه آن به کار می روند مستقل باشند. در مسایل برنامه ریزی خطی هر دو تعریف فوق (BFS و نقطه گوشه) یکی هستند. * Basic Feasible Solution (BFS) 112 112

سوال چرا در مساله های برنامه ریزی خطی یک نقطه موجه پایه حتما یک گوشه است؟ اثبات از روش برهان خلف: اگر نقطه مورد نظر گوشه نباشد حتما ترکیب خطی دو نقطه خواهد بود. در این صورت استقلال بردارهای تشکیل دهنده نقض خواهد شد. 113 113

مرور یک نقطه حدی (extreme point) بر اساس مفاهیم هندسی تعریف می شود. یک جواب موجه پایه (BFS) بر اساس مفاهیم جبری و استقلال بردارها تعریف می شود. 114 114

قضیه. در یک مساله برنامه ریزی خطی Ax=b, x ≥ 0 یک نقطه تنها در صورتی نقطه حدی محسوب می شود که یک BFS باشد. 115 115

مثال. سیستم معادله های زیر را در نظر بگیرید: در این سیستم جواب x =(2,3,1,0,0) یک BFS نیست زیرا از ستون های اول تا سوم که مستقل نیستند بطور همزمان استفاده کرده است. جوابی مانند x = (1,4,0,0,0) یک BFS محسوب می شود. x1 x2 x3 x4 x5 b 1 -1 3 4 2 -7 116 116

سوال جواب گوشه موجه (BFS) مساله ای به شکل زیر چگونه است؟ Ax = b X آزاد در علامت برای این مساله ها تنها هنگامی گوشه وجود دارد که m = n باشد. در این مساله ها اگر با تغییر متغیر گوشه ایجاد کنیم اگر چه مساله جدید دارای گوشه خواهد بود ولی این گوشه ها ارتباطی به مساله اصلی نخواهند داشت. اگرچه این دو مساله از نظر مفهومی یکی هستند. 117 117

مساله برنامه ریزی خطی را در نظر بگیرید که تعدادی از متغیرهای تصمیم آن آزاد و تعدادی غیر منفی باشند. Dx + Ey = b x ≥ 0 y آزاد فرض کنید Dm×n1 وEm×n2 باشند. فرض کنید F مجموعه جواب های موجه مساله باشد. در این حالت جواب موجه (x1, y1) برای این مساله یک گوشه است اگر مجموعه بردارهای تشکیل دهنده این نقطه از دو مجموعه بردارهای ستونی بدست آمده از D و E مستقل باشند. 118 118

فرض کنید n1=0 باشد: در این حالت یک جواب تنها وقتی BFS محسوب می شود اگر بردارهای ستونی E تشکیل یک مجموعه مستقل خطی بدهند. مشخص است که در این حالت اگر مساله دارای جواب باشد، جواب آن یکتا خواهد بود. به عبارتی شرط لازم برای وجود گوشه در این مساله ها این است که تعداد ستون های (متغیرهای تصمیم) آزاد کمتر یا مساوی بعد فضا باشد. 119 119

BFS برای مساله های برنامه ریزی خطی با متغیرهای حد دار مساله برنامه ریزی خطی زیر را در نظر بگیرید: Ax=b lj ≤ xj ≤ uj j=1, 2,…, n اگر k مجموعه جواب های موجه مجموعه فوق باشد، به خاطر وجود حد بالا و پایین برای متغیرها عملا متغیرهای تصمیم آزاد در مدل محسوب می شوند. 120 120

فرض کنید نامساوی های حد بالا و پایین متغیرها را با دو محدودیت مجزا جایگزین کنیم و نامساوی های مربوطه را با اضافه کردن متغیرهای کمکی به تساوی تبدیل کنیم. lj ≤ xj ≤ uj lj ≤ xj lj +sj = xj xj ≤ uj xj +tj = uj در اثر این تغییرات سیستم محدودیت ها بصورت جدول بعدی تبدیل می شود: 121 121

122 122

فرض کنید x یک جواب موجه برای این مساله باشد. 123 123

مطالعه بیشتر در این زمینه بر عهده خودتان! 124 124

اهمیت پایه موجه (BFS) در مساله های برنامه ریزی خطی هر مساله برنامه ریزی خطی را می توان به حالت استاندارد تبدیل کرد. لذا تمامی بحث ها و روش های حل بر اساس مدل استاندارد صورت می گیرد. سیستمی از محدودیت های زیر را در نظر بگیرید: Ax= b x ≥ 0 فرض کنید Am*n با رتبه m باشد. 125 125

اهمیت پایه موجه (BFS) در مساله های برنامه ریزی خطی (ادامه): پایه B را برای این سیستم در نظر بگیرید. ستون های متعلق به این پایه ستون های پایه ای (XB)و سایر ستون ها ستون های غیر پایه ای (XD) نامیده می شوند. BXB+ DXD = b XB≥ 0 XD≥ 0 برای حل این مساله مقدار متغیرهای غیر پایه ای را برابر صفر قرار داده و مساله را تنها با متغیر های پایه ای حل می کنیم. لذا خواهیم داشت: 126 126

اهمیت پایه موجه (BFS) در مساله های برنامه ریزی خطی (ادامه): در هر پایه موجه حداکثر m متغیر مثبت وجود دارد. اگر در پایه ای تعداد متغیرهای مثبت کمتر از m بود آن پایه تبهگن است. 127 127

جواب تبهگن گوشه ای است که متغیرهای پایه آن حالت منحصر به فردی ندارند. ستون هایی از ماتریس A که مربوط به یک پایه تبهگن هستند اگر چه مستقل هستند ولی دارای بردارهای کافی برای تشکیل یک پایه نیستند (ص 121 مورتی). بحث Cycling 128 128

قضیه مساله برنامه ریزی خطی زیر دارای جواب موجه است اگر دارای یک جواب موجه پایه (BFS) باشد. Min Z = cx Ax= b x ≥ 0 129 129

قضیه در مساله های برنامه ریزی خطی با محدودیت های مساوی و متغیرهای تصمیم غیرمنفی (Xj ≥ 0) اگر جواب موجه وجود داشته باشد حتما BFS هم وجود دارد. اگر محدودیت های مساله به شکل نامساوی باشند حتما گوشه خواهیم داشت. در صورتی که محدودیت ها بشکل مساوی باشند، هنگامی گوشه خواهیم داشت که متغیرهای تصمیم بصورت آزاد نباشند. اگر متغیرهای تصمیم بصورت آزاد باشند هنگامی گوشه وجود دارد که این محدودیت ها در یک نقطه مشترک باشند. در این حالت فقط و فقط یک گوشه خواهیم داشت. 130 130

قضیه اگر مساله های برنامه ریزی خطی جواب بهینه داشته باشد حتما دارای BFS است. اثبات. هر نقطه بهینه ای یک BFS است. 131 131

Faces, Edges, and Adjacent Extreme Points مشاهده شد که هر نقطه گوشه ای مانند x1 در فضای X دارای جواب یکتایی است بر پایه حل n فوق صفحه مستقل خطی که از نقطه x1 عبور می کنند. مجموعه نقطه هایی از فضای X که تشکیل دهنده یک فضای غیر تهی بر اساس فصل مشترک تعدادی فوق صفحه موجود در فضای Xهستند تشکیل یک وجه(Face) می دهند. 132 132

Faces, Edges, and Adjacent Extreme Points یک وجه دلخواه مانند F را متعلق به فضای X در نظر بگیرید. r(F) را حداکثر تعداد فوق صفحه های مستقل خطی تشکیل دهنده فضای محدود این فوق صفحه ها در نظر بگیرید. در این حالت بعد فضای F از رابطه زیر قابل محاسبه است: Dim (F) = n – r(F) به عبارت دیگر هر فوق صفحه محدود کننده مستقل موجب از دست دادن یک درجه آزادی یا یک بعد از فضا می شود. 133 133

Faces, Edges, and Adjacent Extreme Points با توجه به این مساله یک نقطه گوشه یک وجه با بعد صفر است زیرا که n فوق صفحه از آن عبور کرده اند. یک لبه یا یال (Edge) وجهی است یک بعدی شامل مجموعه نقطه هایی که محل تلاقی n - 1 فوق صفحه مستقل هستند. 134 134

Faces, Edges, and Adjacent Extreme Points در فضای X (متعلق به Rn) فرض کنید: در این حالت بعد فضای X بصورت زیر محاسبه می شود: dim (x): n – r(x) اگر r(x) = 0 باشد آنگاه مجموعه X با عنوان full dimension نامیده می شود. Face هایی از فضای X که دارای بعدی برابر dim(X)-1 باشند Facet of X نامیده می شوند. r(X): حداکثر تعداد فوق صفحه های مستقل خطی ایجاد کننده فضای X 135 135

دو گوشه مجاور دو گوشه را هنگامی مجاور گوییم که تنها در یک متغیر پایه غیر مشترک باشند. تعبیر ریاضی این مساله به شرح زیر است: اگر و دو گوشه موجه در فضای محدب K باشند، در صورتی مجاور هستند اگر و فقط اگر هر نقطه دلخواهی در فضای K مانند که به روی پاره خط متصل کننده این دو نقطه است در صورتی که بصورت ترکیب خطی دو نقطه دلخواه X1 و X2 بصورت زیر نوشته شود نتیجه شود که هر دو نقطه X1 و X2 باید متعلق به پاره خط میان و باشند. 136 136

دو گوشه مجاور(تعریفی دیگر) اگر و دو گوشه موجه در فضای محدب K باشند، در صورتی مجاور هستند اگر و فقط اگر رتبه مجموعه بردارهای غیر صفر هر دو نقطه یکی کمتر از تعداد این بردارها باشد. به عبارت دیگر مجموعه بردارهای فوق وابسته هستند ولی با حذف تنها یک بردار می توان یک دسته بردار مستقل پیدا کرد. می توان گفت که دو گوشه مجاور هستند که پاره خط متصل کننده این دو یک لبه از فضای X باشد (در حالت غیر تبهگنی). 137 137

قضیه فرض کنید k مجموعه جواب های موجه Ax = b باشد که در آن x ≥ 0 است. همچنین فرض کنید r(Am*n)=m باشد. اگر این سیستم دارای جواب گوشه تبهگن نباشد در آن صورت بعد k معادل n-m خواهد بود. 138 138

روش حرکت از یک نقطه مرزی موجه به یک گوشه موجه سیستم محدودیت های زیر را در نظر بگیرید: Ax = b x ≥ 0 فرض کنید نقطه نقطه موجهی در مجموعه فوق باشد. لذا خواهیم داشت: فرض کنید در رابطه فوق مجموعه متغیرهای غیر صفر بصورت زیر باشند: 139 139

لذا چون مقدار سایر متغیرها برابر صفر است خواهیم داشت: اگر بردارهای {A.j1, A.j2,…A.jr} بردارهایی وابسته باشند، دارای رابطه وابستگی زیر خواهند بود بطوریکه تمامی مقدارهای αi ها صفر نباشند: با ترکیب این دو رابطه خواهیم داشت: 140 140

اگر بردار x(θ) را بصورت زیر تعریف کنیم: 141 141

لذا برای اینکه x(θ) در رابطه Ax = b صدق کند باید مقدار θ در محدوده های زیر باشد: 142 142

مثال نقطه زیر را در نظر بگیرید. فرض کنید سایر متغیرها برابر صفر باشند. با توجه به این مطلب خواهیم داشت: فرض کنید بردارهایA.4, A.7, A.10, A.13) (A.2,وابسته بوده و رابطه زیر میان آنها برقرار باشد: 143 143

با ترکیب این رابطه ها خواهیم داشت: با توجه به محاسبه های مورد نیاز خواهیم داشت: لذا اگر مقدار θ در محدوده فوق باشد نقطه مذکور موجه است. 144 144

سوال فرض کنید می خواهیم از یک نقطه غیر پایه موجه به سوی یک نقطه پایه موجه حرکت کنیم. روش کار چگونه خواهد بود؟ مثال: (20,10) (25,2.5,17.5,0) (80/3,0) 2 X1+ 3X2 ≤ 50 3X1+ 2X2 ≤ 80 1 145 145

فرض کنید در نقطه (25, 2.5, 17.5, 0) هستیم. در این حالت خواهیم داشت: رابطه x چون نقطه مذکور گوشه نیست لذا بردارهای تشکیل دهنده آن قطعا وابسته هستند. رابطه زیر بیانگر وابستگی آنهاست. رابطه y 146 146

با توجه به این مطالب خواهیم داشت: Ax + θy = b در نتیجه: مقدار θ باید به صورتی محاسبه شود که ضرایب ai ها مثبت باشند. 25+2θ ≥ θ ≥ -12.5 25- 3θ ≥ θ ≤ 25/3 θ ≥ θ ≥ /7 لذا θ باید در سه نامساوی فوق صدق کند تا موجه باشد. اگر یکی از مقادیر حدی را انتخاب کنیم به یک نقطه گوشه می رسیم. 147 147

توجه در حالتی که از یک نقطه داخلی شروع کنیم (نقطه موجه روی مرزها نباشد) برای پیدا کردن گوشه موجه باید در چند مرحله حرکت کنیم. در مرحله اول به روی یکی از مرزها می رویم و در قدم دوم به سوی گوشه ای موجه حرکت می کنیم. در واقع می توانیم از θ1 و θ2 استفاده کنیم. 148 148

جواب های همگن (Homogeneous Solutions) سیستم معادله های خطی غیر منفی زیر را در نظر بگیرید: مدل یک Ax = b, x ≥ 0 جواب همگن برای مساله فوق جوابی است که در رابطه های زیر صدق کند. Ay = 0 y ≥ 0 مدل دو 149 149

مجموعه جواب های همگن برای یک مساله برنامه ریزی خطی تشکیل یک مخروط محدب چند وجهی می دهند. یادآوری مخروط چند وجهی (Polyhedral Cone) چند وجهی است که از اشتراک چند نیم فضا تشکیل شده که فوق صفحه های مربوط به آنها از مبدا مختصات عبور می کنند. 150 150

فرض کنید x یک جواب موجه برای مساله برنامه ریزی خطی مدل یک و y یک جواب موجه برای مساله برنامه ریزی خطی همگن ارایه شده در مدل دو باشد. در این حالت واضح است که x+θy یک جواب موجه برای مساله یک است اگر θ ≥ 0 باشد. 151 151

مثال مساله برنامه ریزی خطی زیر را در نظر بگیرید: Minimize :x1- x2 x1+ x2 ≥ 1 x1 - x2 ≥ 0 xi ≥ 0 در مساله فوق نقطه x = (1/2,1/2,0,0) یک جواب موجه برای مساله است. در مساله فوق نقطه y = (1,1,2,0) یک جواب همگن است. 152 152

لذا برای هر θ ≥ 0 نقطه x+ θy یک نقطه موجه برای مساله اصلی است. مجموعه این نقطه ها به روی خط پررنگ شکل اسلاید قبلی است. همواره مبدا مختصات یک جواب همگن است. 153 153

قضیه هر جواب موجه مساله برنامه ریزی خطی ارایه شده در مدل یک می تواند بصورت مجموع دو بخش زیر نوشته شود: (1) ترکیب محدب BFS های مساله مدل یک و (2) یک جواب همگن متعلق به مساله مدل یک در صورتی که مبدا مختصات تنها جواب همگن مساله باشد، هر جواب موجه مساله برنامه ریزی خطی مدل یک می تواند تنها بصورت ترکیب محدب BFS های آن بیان شود. در این حالت منطقه موجه مساله محدود است. 154 154

جواب های همگن حدی(Extreme Homogeneous Solutions) یک جواب همگن برای سیستم معادله های (Ax= b, x ≥0) یک جواب همگن حدی نامیده می شود اگر و فقط اگر این جواب یک BFS برای مساله برنامه ریزی خطی زیر باشد: Ay = 0 ∑yi = 1 yi ≥ 0 با توجه به این مساله تعداد جواب های همگن حدی برای یک مساله محدود است. مشخص است که مبدا مختصات یک جواب همگن حدی نیست. به عنوان مثال در مساله قبلی نقطه (1/2, 1/2, 1, 0) یک نقطه همگن حدی است. 155 155

لم مساله برنامه ریزی خطی ارایه شده در مدل یک همواره دارای یکی از خصوصیت های زیر است: دارای یک جواب موجه همگن در مبدا مختصات است. هر جواب همگن متعلق به منطقه موجه مساله می تواند بصورت ترکیب خطی غیر منفی نقطه های همگن حدی بیان شود. 156 156

قضیه فرض کنید K مجموعه جواب های موجه مساله مدل یک باشد. در اینصورت: (1) اگر مبدا مختصات تنها جواب همگن مساله باشد هر جواب موجه مساله مدل یک را می توان بصورت ترکیب محدب BFS ها نوشت. در این حالت منطقه موجه مساله محدود است. (2) اگر مساله دارای جواب های همگن متعددی باشد هر جواب موجه مساله یک را می توان بصورت مجموع یک ترکیب محدب از BFS ها و یک ترکیب غیر منفی از ترکیب جواب های همگن حدی مساله نوشت. 157 157

بیان ریاضی اگر در مساله ای xj ها جواب های BFS باشند و yi ها جواب های همگن حدی همین مساله باشند، همواره هر جواب موجه مانند w را می توان بصورت زیر نوشت: 158 158

مثال مساله ای با منطقه موجه زیر با 5 گوشه در نظر بگیرید. هر نقطه داخل منطقه موجه می تواند بصورت ترکیب محدب این 5 گوشه نوشته شود. به عنوان مثال نقطه x می تواند بصورت ترکیب محدب x4 و y نوشته شود. نقطه y هم می تواند بصورت ترکیب محدب x1 و x2 نوشته شود. 159 159

مثال- ادامه 160 160

مثال مساله ای را با منطقه موجه نامحدود زیر در نظر بگیرید. منطقه موجه مساله شامل سه گوشه موجه و دو شعاع حدی است. 161 161

نتیجه های فرعی قضیه. نتیجه 1. اگر مساله برنامه ریزی خطی (Min z = cx, Ax=b, x≥0) دارای یک جواب موجه باشد، مساله دارای جواب بهینه است اگر و فقط اگر رابطه 0≤z(y) برای هر y متعلق به مجموعه جواب های همگن مساله برقرار باشد. نتیجه 2. فرض کنید برای مساله فوق یک جواب حدی همگن مانند y وجود داشته باشد به نحوی که cy < 0 باشد. در این حالت اگر مساله فوق دارای جواب موجه باشد مساله اصلی نامحدود خواهد بود. 162 162

نتیجه های فرعی قضیه (ادامه). نتیجه 3. اگر مساله برنامه ریزی خطی (Min z = cx, Ax=b, x≥0) دارای جواب نامحدود باشد، حتی با تغییر مقدارهای بردار b نامحدود باقی می ماند تا جایی که منطقه موجه مساله تهی شود. 163 163

نتیجه های فرعی قضیه (ادامه). نتیجه 4. فرض کنید K بیانگر مجموعه جواب های موجه برای مساله برنامه ریزی خطی Min z = cx, Ax=b, x≥0) ) باشد. فرض کنید K* بیانگر مجموعه جواب های همگن سیستم فوق باشد. در این حالت K نامحدود است اگر و فقط اگر K≠ø و K* شامل یک نقطه غیر صفر باشد. اگر مجموعه K* تنها شامل نقطه صفر باشد، مجموعه K محدود است. 164 164

نتیجه های فرعی قضیه (ادامه). نتیجه 5. اگرمساله برنامه ریزی خطی Min z = cx, Ax=b, x≥0) ) دارای جواب موجه باشد، شرط لازم و کافی برای اینکه این مساله برنامه ریزی خطی دارای جواب بهینه محدود باشد این است که جواب بهینه مساله زیر برابر صفر باشد. Minimize Cx Ax = 0 x ≥ 0 165 165

نیم خط حدی Extreme Half Line کران های نامحدود یا نیم خط های حدی منطقه محدب* فرض کنید K مجموعه جواب های موجه برای مساله برنامه ریزی خطی Min z = cx, Ax=b, x≥0) ) باشد. فرض کنید x یک BFS و y یک جواب همگن حدی باشد. در اینصورت هر نقطه موجود در نیم خط زیر یک جواب موجه برای مساله فوق است. BFS جواب حدی همگن 166 166

این نیم خط با عنوان یک Unbounded Edge شناخته می شود. نام دیگر این نیم خط Extreme Half line است. 167 167

مثال: مساله برنامه ریزی خطی زیر را در نظر بگیرید: Max z= 2X1 + X2 X1 – X2 ≤ 10 2X1 – X2 ≤ 40 X1 , X2 ≥ 0 168 168

در این مساله سه گوشه موجه وجود دارند. جواب های همگن این مساله معرف امتدادهایی است که به بی نهایت می روند. به عنوان مثال بردار y(1)=(0,1) و بردار y(2) = (1,2) بردارهایی هستند که در این مساله به سمت بی نهایت می روند. در این مثال سه گوشه موجه و دو شعاع حدی وجود دارند. 169 169

اگر y شعاع حدی باشد، هر ضریب آن هم جواب همگن خواهد بود. شناسایی شعاع های حدی به کمک جدول سیمپلکس امکان پذیر است. 170 170

حل مساله به کمک جدول سیمپلکس Z X1 X2 S1 S2 b 1 -2 -1 10 2 40 -3 20 x1 -4 3 80 30 x2 171 171

در تکرار اول در صورت انتخاب متغیر تصمیم x2 برای ورود به پایه به بی نهایت می رسیم. با حل Ax = 0 در این نقطه به جواب گسترده (0,1,1,1) می رسیم که یکی از جواب های همگن است. به عبارتی یکی از شعاع های حدی بصورت (0,1) است. 172 172

در تکرار آخر در صورت انتخاب متغیر تصمیم S1 برای ورود به پایه به بی نهایت می رسیم. با حل Ax = 0 در این نقطه به جواب گسترده (1,2,1,0) می رسیم که یکی دیگر از جواب های همگن است. به عبارتی یکی دیگر از شعاع های حدی بصورت (1,2) است. 173 173

تعداد جواب های همگن مساله فوق بی نهایت است. اگر در یک مساله برنامه ریزی خطی فقط مبدا مختصات جواب همگن مساله باشد منطقه موجه مساله محدود است. اگر در مساله برنامه ریزی خطی به غیر از مبدا مختصات جواب همگن دیگری وجود داشته باشد منطقه موجه مساله نامحدود خواهد بود. 174 174

جواب حدی همگن جواب حدی همگن یک BFS برای مساله برنامه ریزی خطی زیر است: Ax=b x ≥ 0 Ay=0 ∑yi = (نرمالایز) (1,2,1,0) (1/4, 2/4, 1/4,0) 175 175

مثال. مساله برنامه ریزی خطی زیر را در نظر بگیرید: Max Z= X1+6X2 -2X1+ X2 ≤ 2 X1+ X2 ≤ 5 X2 ≤ 3 2X1+ X2 ≤ 8 2X1- X2 ≤ 6 Xi ≥ 0 176 176

از آنجا که منطقه موجه مساله محدود است هر جواب موجه را می توان بصورت ترکیب خطی گوشه ها نوشت. به عنوان مثال نقطه موجه (1,1) را می توان بصورت زیر نمایش داد: α1(0,0) + α2(0,2) + α3(3,0) =(1,1) α1= 1/6, α1= 1/2, α1= 1/3 177 177

مثال. مساله برنامه ریزی خطی زیر را در نظر بگیرید: Ax = b جواب پایه جوابی است که با حداقل تعداد بردارها بردار b را تولید کند. نمی توان بردار b را با a3 و a4 نوشت. 178 178

مثال: مساله برنامه ریزی خطی زیر را در نظر بگیرید: -2X1+ X2 ≤ 2 2X1- X2 ≤ 6 Xi ≥ 0 برای چنین مساله هایی برای بیان یک نقطه به کمک ترکیب خطی گوشه ها در دو مرحله کار می کنیم. 179 179

مثال: برای انجام این کار برای نقطه دلخواهی مانند (3,3) ابتدا آن را به کمک خط دلخواهی وارد منطقه A (که بصورت ترکیب خطی سه گوشه قابل بیان است) نموده و آن را بصورت ترکیب خطی این سه نقطه می نویسیم. 180 180

تعریف. زیر فضای خطی: فضای S را در نظر بگیرید. یک زیر فضای خطی فضایی است که اگر x1 و x2 عضو آن باشند، ترکیب خطی آنها نیز عضو این فضا باشد. به عبارت دیگر: 181 181

مثال در فضای سه بعدی هر صفحه ای که از مبدا مختصات عبور کند یک زیر فضا است. در فضای سه بعدی هر خطی که از مبدا مختصات عبور کند یک زیر فضا است. در فضای سه بعدی مبدا مختصات خود یک زیر فضا است. فضای سه بعدی خود یک زیر فضا است. 182 182

مجموعه نقطه های {x1, x2, …, xk} در زیر فضای S را دارای حداکثر استقلال خطی (Maximal linearly independence) می گویند اگر این مجموعه نقطه ها مستقل بوده و هر مجموعه دیگری از نقطه ها بصورت {x1, x2, …, xk , x} وابسته باشند. ثابت می شود که تعداد بردارهای (نقطه های) مورد نیاز برای این منظور برابر تعداد بعد فضا است. 183 183

فرض کنید r(Am*n)=r باشد. در این حالت مجموعه جواب های Ax=0 یک زیر فضا در فضای Rn با ابعاد n-r خواهد بود. همچنین مجموعه جواب های Ax=b یا یک مجموعه تهی و یا یک فضای affine با ابعادn-r خواهد بود. 184 184

برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715) Advanced Linear Programming Lecture 3

Similar presentations

Presentation on theme: "برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715) Advanced Linear Programming Lecture 3"— Presentation transcript:

Similar presentations

About project

Feedback

Log in

Auth with social network:

برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715) Advanced Linear Programming Lecture 3

Similar presentations

Presentation on theme: "برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715) Advanced Linear Programming Lecture 3"— Presentation transcript:

Similar presentations

About project

Feedback