2. Nonlinear Finite Element Procedures II
کریم عابدی

3. فصل سوم: حل معادلات غیرخطی حل معادلات غیرخطی در تحلیل دینامیکی
(بخش دوم)
حل معادلات غیرخطی در تحلیل دینامیکی

4. حل معادلات غير خطي در تحليل ديناميکي1
حل معادلات تعادل در تحليل ديناميکي 2
روش هاي انتگرال گيري مستقيم 3
انتگرال گيري صريح
انتگرال گيري ضمني 4
حل با استفاده از روش جمع آثار مدها 5 6
برخي ملاحظات عملي

5. حل معادلات غير خطي در تحليل ديناميکي1
حل معادلات تعادل در تحليل ديناميکي 2
روش هاي انتگرال گيري مستقيم 3
انتگرال گيري صريح
سلسله روشهاي: به عنوان جايگزيني براي فرمهاي روش تکراري Newton-Raphson براي حل تکراري معادلات سيستم هاي غير خطي ايجاد شده اند. اين روشها شامل به هنگام نمودن ماتريس ضريب ( به عبارت ديگر معکوس آن) براي فراهم نمودن يک تقريب سازي سکانتي به ماتريس از تکرار (i-1) تا iاست.
انتگرال گيري ضمني 4
حل با استفاده از روش جمع آثار مدها 5 6
برخي ملاحظات عملي

6. حل معادلات غير خطي در تحليل ديناميکي1
حل معادلات تعادل در تحليل ديناميکي 2
روش هاي انتگرال گيري مستقيم 3
انتگرال گيري صريح
سلسله روشهاي: به عنوان جايگزيني براي فرمهاي روش تکراري Newton-Raphson براي حل تکراري معادلات سيستم هاي غير خطي ايجاد شده اند. اين روشها شامل به هنگام نمودن ماتريس ضريب ( به عبارت ديگر معکوس آن) براي فراهم نمودن يک تقريب سازي سکانتي به ماتريس از تکرار (i-1) تا iاست.
انتگرال گيري ضمني 4
حل با استفاده از روش جمع آثار مدها 5 6
برخي ملاحظات عملي

7. حل معادلات غير خطي در تحليل ديناميکي1
حل معادلات تعادل در تحليل ديناميکي 2
روش هاي انتگرال گيري مستقيم 3
انتگرال گيري صريح
سلسله روشهاي: به عنوان جايگزيني براي فرمهاي روش تکراري Newton-Raphson براي حل تکراري معادلات سيستم هاي غير خطي ايجاد شده اند. اين روشها شامل به هنگام نمودن ماتريس ضريب ( به عبارت ديگر معکوس آن) براي فراهم نمودن يک تقريب سازي سکانتي به ماتريس از تکرار (i-1) تا iاست.
انتگرال گيري ضمني 4
حل با استفاده از روش جمع آثار مدها 5 6
برخي ملاحظات عملي

8. حل معادلات غير خطي در تحليل ديناميکي1
حل معادلات تعادل در تحليل ديناميکي 2
روش هاي انتگرال گيري مستقيم 3
انتگرال گيري صريح
سلسله روشهاي: به عنوان جايگزيني براي فرمهاي روش تکراري Newton-Raphson براي حل تکراري معادلات سيستم هاي غير خطي ايجاد شده اند. اين روشها شامل به هنگام نمودن ماتريس ضريب ( به عبارت ديگر معکوس آن) براي فراهم نمودن يک تقريب سازي سکانتي به ماتريس از تکرار (i-1) تا iاست.
انتگرال گيري ضمني 4
حل با استفاده از روش جمع آثار مدها 5 6
برخي ملاحظات عملي

9. حل معادلات غير خطي در تحليل ديناميکي1
حل معادلات تعادل در تحليل ديناميکي 2
روش هاي انتگرال گيري مستقيم 3
انتگرال گيري صريح
سلسله روشهاي: به عنوان جايگزيني براي فرمهاي روش تکراري Newton-Raphson براي حل تکراري معادلات سيستم هاي غير خطي ايجاد شده اند. اين روشها شامل به هنگام نمودن ماتريس ضريب ( به عبارت ديگر معکوس آن) براي فراهم نمودن يک تقريب سازي سکانتي به ماتريس از تکرار (i-1) تا iاست.
انتگرال گيري ضمني 4
حل با استفاده از روش جمع آثار مدها 5 6
برخي ملاحظات عملي

10. قضاوت مهندسي بر اساس کارايي و اثر بخشي
حل معادلات غير خطي در تحليل ديناميکي
معادلات تعادل حاکم بر پاسخ ديناميکي يک سيستم عناصر محدود
تحليل ديناميکي: تعادل ايستايي در زمان t ، که شامل نيروهاي اينرسي وابسته به شتاب و نيروهاي ميرايي وابسته به سرعت است. تحليل ايستايي: معادلات حرکت با صرف نظر کردن از اثرات اينرسي و ميرايي در نظر گرفته مي شود.
قضاوت مهندسي بر اساس کارايي و اثر بخشي
تحليل ايستايي يا ديناميکي
معادلات تعادل :
تحليل ايستايي يا ديناميکي : ما هستيم که انتخاب مي نماييم. که آيا اثرات اينرسي و ميرايي وارد شوند و يا خير؟
حل معادلات تعادل: معادله مذکور يک سيستم معادلات ديفرانسيل خطي از مرتبه دوم است که حل عمومي آن کارا نيست. پس يکي از دو روش را برخواهيم گزيد و بر اساس موثر بودن عددي آنها صورت مي گيرد.
روشهاي متناظر با سيستم هاي عمومي
روشهاي اصلاح شده(با عنايت به ويژگيهاي ماتريسهاي C و M يا ...)
حل معادلات
جمع آثار مدها
انتگرال گيري مستقيم

11. روش هاي انتگرال گيري مستقيم
مستقيم : پيش از انتگرال گيري عددي،تبديل معادلات به فرم ديگري انجام نميگيرد.
اساس: i) به جاي کوشش در ارضاي معادله تعادل ديناميکي در هر زمان t، ارضاي گسسته در بازه هاي زماني ii) فرض يک تغيير شتاب ،سرعت و تغيير مکان در هر بازه زماني
مقدمه
معلوم بودن بردارهاي تغيير مکان ، سرعت و شتاب در زمان 0 که به ترتيب با
مطلوب ما يافتن پاسخ از زمان 0 تا زمان T .
يک پاسخ تقريبي مربوط به زمان هاي
فرض استخراج الگوريتم : با فرض معلوم بودن پاسخ (و نه جواب) در زمان هاي و مطلوب بودن پاسخ در زمان
استخراج الگوريتم : شاخص محاسبات انجام شده براي بدست آوردن پاسخ ها در زمان و به کار بستن آن در زمان هاي بعدي با بازه هاي زمان
شيوه
مقدمه : با استفاده از يک روش عددي گام به گام انتگرال گيري صورت مي گيرد.
اساس : دو نظر که اولي به اين معنا ست که اساسا مطلوب ما تعادل ايستايي شامل اثر نيروهاي اينرسي و ميرايي در نقاط زماني گسسته در درون بازه زماني حل است. و کليه روشهاي حل مورد استفاده در تحليل ايستايي را مي توان به طور موثر در انتگرال گيري مستقيم به کار برد. و دومي با فرض تغيير مذکور در هر بازه زماني دقت ، پايداري و هزينه روش حل را مشخص مي کند.
شيوه :
مطلوب ما : در حل پوشش زماني مورد نظر T به n بازه زماني مساوي Dt تقسيم مي شود.
استخراج : محاسبات انجام شده در زمان t+dt مي توانند به عنوان يک شاخص مطرح شده
بحث نهايي : استخراج روابط براي پله زماني ثابت Dt انجام مي شود که به سادگي قابل بسط به پله هاي زماني متغيير است.

12. Ignore extra explanations
روش هاي انتگرال گيري مستقيم
Methods based on interpolation of excitation function
It’s conveniently developed for SDF system but impractical for MDF system unless is obtained for superposition of modal response.
Methods based on finite difference of expression of velocity and acceleration
تغيير مکان : معياري واقع بينانه
رواداري همگرايي: چون در U(t+dt) از تقريب سازي استفاده مي کنيم بهتر است رواداري همگرايي به حد کافي کوچک استفاده باشد.
دور بودن جواب : در تحليل الاستوپلاستيک و تحت شرايط بارگذاري در هنگام استفاده از روش تکراري تعديل يافته Newton-Raphson
Central difference method : which is based on finite difference approximation of the time derivatives of displacement (i.e., velocity and acceleration
The Houbolt method : Standard finite difference expressions are used to approximate the acceleration and velocity components in terms of the displacement components.
Ignore extra explanations

13. Methods based on interpolation of excitation function
Interpolation the excitation over each time interval and developing the exact solution.
. The response is sum of three parts: (1) free vibration due to initial (2) response to step force with zero initial conditions and (3) Response to ramp force with zero initial conditions. Since the recurrence formulas are derived from exact solution of motion, the only restriction on the size of the time step is that it provides response results at closely spaced time intervals so that the response peaks are not missed. This numerical procedure is especially useful when the excitation is defined at closely spaced time intervals-as for earthquake ground acceleration-so that linear interpolation is essentially perfect.
تغيير مکان : معياري واقع بينانه
رواداري همگرايي: چون در U(t+dt) از تقريب سازي استفاده مي کنيم بهتر است رواداري همگرايي به حد کافي کوچک استفاده باشد.
دور بودن جواب : در تحليل الاستوپلاستيک و تحت شرايط بارگذاري در هنگام استفاده از روش تکراري تعديل يافته Newton-Raphson
Explicit

14. Central difference method
This method is based on a finite difference approximation of the time derivatives of displacement. . Substituting in eq. [I] and….The solution at time i+1 is determined from [I] at time i without using {II] at time i+1. Such methods are called explicit methods. This method will blow up, giving meaningless results, in the presence of numerical round-off if the time step chosen is not short enough. The requirement for stability is:
تغيير مکان : معياري واقع بينانه
رواداري همگرايي: چون در U(t+dt) از تقريب سازي استفاده مي کنيم بهتر است رواداري همگرايي به حد کافي کوچک استفاده باشد.
دور بودن جواب : در تحليل الاستوپلاستيک و تحت شرايط بارگذاري در هنگام استفاده از روش تکراري تعديل يافته Newton-Raphson
Explicit

15. Central difference method
تغيير مکان : معياري واقع بينانه
رواداري همگرايي: چون در U(t+dt) از تقريب سازي استفاده مي کنيم بهتر است رواداري همگرايي به حد کافي کوچک استفاده باشد.
دور بودن جواب : در تحليل الاستوپلاستيک و تحت شرايط بارگذاري در هنگام استفاده از روش تکراري تعديل يافته Newton-Raphson
جواب مبتني بر استفاده از شرايط تعادل در زمان t است. در چنان روش هاي انتگرال گيري نيازي به تجزيه ماتريس سختي (موثر) در حل گام به گام نيست. روش هاي انتگرال گيري نظير روش تفاضلات مرکزي که استفاده از يک پله زماني کوچکتر از يک پله زماني بحراني را ايجاب مي کنند، به طور مشروط پايدارند.

16. Ignore extra explanations
روش هاي انتگرال گيري مستقيم
Methods based on assumed variation of acceleration
Average acceleration
Linear acceleration
Nonlinear acceleration
The Wilson θ method is essentially an extension of linear acceleration method, in which a linear variation of acceleration in time domain t to t+ θΔt is assumed where θ≥1.0.
In 1959 Newmark developed a family of time-stepping methods based on following equations
تغيير مکان : معياري واقع بينانه
رواداري همگرايي: چون در U(t+dt) از تقريب سازي استفاده مي کنيم بهتر است رواداري همگرايي به حد کافي کوچک استفاده باشد.
دور بودن جواب : در تحليل الاستوپلاستيک و تحت شرايط بارگذاري در هنگام استفاده از روش تکراري تعديل يافته Newton-Raphson
Ignore extra explanations

17. Newmark method
In 1959, Newmark developed a family of time-stepping methods based on the following equations: .define the variation of acceleration over a time step and determine the stability and accuracy characteristics of method (typically ).These combined with [II] provide the basis for computing response at time i+1from known response at time i. Iteration is required to implement these computations becauseappears in the right side of above eq(especially for fs term). For linear system it is possible to modify Newmark’s original formulation, however, to permit solution without iteration.
Implicit
تغيير مکان : معياري واقع بينانه
رواداري همگرايي: چون در U(t+dt) از تقريب سازي استفاده مي کنيم بهتر است رواداري همگرايي به حد کافي کوچک استفاده باشد.
دور بودن جواب : در تحليل الاستوپلاستيک و تحت شرايط بارگذاري در هنگام استفاده از روش تکراري تعديل يافته Newton-Raphson
There are tables summarize the development of the relationship between responses at time i+1 to the corresponding quantities at time i. Tables describe assumptions are that variation of acceleration over a time step is constant, equal to the average acceleration (Newmark’s equation with ) or linear (Newmark’s equation with ).

18. Nodal point force vector obtained upon chapter 6
انتگرال گيري صريح
Introduction
Incremental formulation in chapter 6
Iterative solution procedures 8
Time integration algorithms in 9
Overall employment of prescribed procedures
Explicit Integration
Introduction :
Explicit integration:
Central difference: the equilibrium at time t is considered at time t in order to calculate displacement at time t+dt
Central difference method is an explicit method
Time step solution: .
The solution for the nodal point displacements at time t+Δt is obtained using central difference method for the accelerations to substitute for in above equation upon chapter 9
Nodal point force vector obtained upon chapter 6

19. انتگرال گيري صريح
Explicit Integration
Advantage : With M a diagonal matrix the solution of does no not involve a triangular factorization of a coefficient matrix ( L D LT)
Disadvantage : Time step restriction for stability
Introduction :
Explicit integration:
Central difference: the equilibrium at time t is considered at time t in order to calculate displacement at time t+dt
The central difference method will ‘blow up’, giving meaningless results, in the presence of numerical round-off

20. روش هاي انتگرال گيري ضمني در تحليل خطي
روشNewmark
روش انتگرال گيري Newmark را مي توان به عنوان بسطي از روش شتاب خطي تلقي نمود.
از فرض هاي زير استفاده مي شود:
(6)
(7)
که در آن و پارامترهايي هستند که مي توان آنها را براي به دست آوردن دقت انتگرال گيري و پايداري روش تعيين نمود. در حالتي که و است، روابط (6) و (7) متناظر با روش شتاب خطي است.

21. روش هاي انتگرال گيري ضمني در تحليل خطي
اساساً Newmark روش شتاب ميانگين ثابت (که قاعده ذوزنقه اي نيز ناميده مي شود) را به عنوان روشي که به طور غيرمشروط پايدار است پيشنهاد نمود که در آن و مي باشد.
براي بدست آوردن تغييرمکان ها، سرعت ها و شتاب ها در زمان ، معادلات تعادل در زمان
در نظر گرفته مي شوند.
(8)

22. روش هاي انتگرال گيري ضمني
بر حسب
بر حسب
بر حسب

23. الگوريتم کامل با استفاده از روش انتگرال گيري Newmark
الف. محاسبات اوليه
1- ماتريس سختي K، ماتريس جرم M و ماتريس ميرايي را تشکيل دهيد.
، و را مشخص کنيد.
3- پله زماني و پارامترهاي و را انتخاب کنيد، و مقادير ثابت انتگرال گيري را محاسبه کنيد.
4- ماتريس سختي را محاسبه کنيد.
را مثلثي سازي کنيد.

24. الگوريتم کامل با استفاده از روش انتگرال گيري Newmark
ب. براي هر پله زماني
1- بارهاي موثر در زمان را محاسبه کنيد.
2- تغييرمکان ها در زمان را به دست آوريد.
3- شتاب ها و سرعت ها در زمان را به دست آوريد.

25. حل معادلات غيرخطي در تحليل ديناميکي با استفاده از روش انتگرال گيري ضمني
تکنيک بسيار رايجي که در محاسبات پاسخ ديناميکي غيرخطي مورد استفاده قرار مي گيرد، روش Newmark مبتني بر قاعده ذوزنقه اي با و است.
با استفاده از روش تکراري تعديل يافته Newton- Raphson معادلات تعادل حاکم در زمان عبارتند از:
(9)
(10)
با استفاده از قاعده ذوزنقه اي انتگرال گيري زماني، فرض هاي زير به کار گرفته مي شوند.
(11)
(12)

26. حل معادلات غيرخطي در تحليل ديناميکي با استفاده از روش انتگرال گيري ضمني
(13)
(14)
(15)
مشاهده مي شود که معادلات تکراري در تحليل غيرخطي ديناميکي با استفاده از انتگرال گيري ضمني زماني مشابه فرم معادلاتي مي باشد که در تحليل غيرخطي ايستايي در نظر گرفته شدند، جز اين که ماتريس ضريب و بردار نيروي نقاط گرهي شامل سهم هايي از اينرسي سيستم مي باشند. بنابراين مي توان نتيجه گرفت که کليه استراتژي هاي حل تکراري براي تحليل ايستايي، براي حل معادله (14) نيز قابل کاربرد مي باشند.

27. حل معادلات غيرخطي در تحليل ديناميکي با استفاده از روش انتگرال گيري ضمني
اينرسي سيستم عموماً موجب مي شوند که پاسخ ديناميکي ”هموارتر“ از پاسخ ايستايي باشد، از اينرو مي توان انتظار داشت که همگرايي تکرارها در تحليل ديناميکي سريعتر از تحليل ايستايي باشد و رفتار همگرايي را مي توان با کاهش ، بهبود داد. دليل عددي براي مشخصات همگرايي بهتر در يک تحليل ديناميکي در هنگام کاهش ، در سهم ماتريس جرم در ماتريس ضريب نهفته است. به نسبتي که پله زماني کاهش مي يابد، سهم مذکور افزايش مي يابد و سرانجام نقش تعيين کننده پيدا مي کند.

28. *دليل اهميت تکرار در تحليل غيرخطي ديناميکي*
هرگونه خطايي که به وسيله حل نموي در يک زمان خاصي پذيرفته مي شوند، مستقيماً به طريقه اي وابسته به مسير (زمان- تغييرمکان)، جواب مربوط به زمان بعدي را تحت تاثير قرار مي دهد. در واقع به دليل اينکه هرگونه پاسخ ديناميکي غيرخطي بسيار وابسته به مسير است، از اينرو در تحليل يک مساله ديناميکي غيرخطي استفاده از تکرار در هر پله زماني شديدتر از يک تحليل ايستايي ضروري مي باشد.
(16)
رواداري نيرويي
(17)
رواداري انرژي

29. 1 2 3 جمع بندي راجع به تحليل غيرخطي ديناميکي
بايد از عملگري استفاده شود که در تحليل خطي به طور غير مشروط پايدار است (استفاده از قاعده ذوزنقه اي انتخاب مطلوبي است). 1 2
از تکرارهاي تعادل با رواداري هاي همگرايي که به حد کافي سفت باشند، استفاده گردد.
اندازه پله زماني بايد در حدود باشد که در آن مي باشد و نيز بر اساس اين واقعيت که همگرايي در تکرارهاي تعادل بايد حاصل شود، انتخاب گردد. 3

30. مقدمه
با توجه به روند حل روشهاي انتگرال‌گيري مستقيم ضمني، اگر يك ماتريس جرم قطري فرض شده و از اثر ميرائي صرفنظر شود ، در اينصورت تعداد عمليات براي يك پلة زماني – با يك تخمين تقريبي – حدوداً بزرگتر از 2nmK است ،كه در آن n و mK به ترتيب مرتبه و نيمة‌عرض نوار ماتريس سختي مورد نظر مي‌باشند .
در هر پلة زماني 2nmK عمليات براي حل معادلات سيستم مورد نياز است . كه تجزية مثلثي اولية ماتريس سختي مؤثر عمليات اضافي ديگري را ايجاب مي‌كند .
بنابراين ، با صرف‌نظر كردن از عمليات مربوط به محاسبات اوليه ، در كل فرآيند انتگرال‌گيري حدوداً تعداد nmKs عمليات مورد نياز است . كه در آن  بستگي به مشخصات ماتريس‌هاي مورد استفاده دارد و s تعداد پله‌هاي زماني است .
بنابراين ، با توجه به ملاحظات مذكور ، كاربرد انتگرال‌گيريِ مستقيمِ ضمني تنها هنگامي مؤثر خواهد بود كه پاسخ مورد نظر براي يك مدت زمان نسبتاً كوتاهي ( بعبارت ديگر براي تعداد پله‌هاي زماني كم) مورد نياز باشد .

31. مقدمه
همچنين از آنجا كه تعداد عمليات مورد نياز مستقيماً متناسب با نيمة عرض نوار mK ماتريس سختي است ، از اينرو كاهش در mK هزينة روش حل گام به گام را با نسبت مستقيم كاهش خواهد داد .
ماتريس‌هاي حاصل در معادلات تعادل ديناميكي ( K , M , C ) داراي عرض نواري هستند كه بوسيلة شماره‌گذاري نقاط گرهي عناصر محدود تعيين مي‌شود. در نتيجه براي كاهش عرض نوار ماتريس‌هاي سيستم ، مي‌توان ترتيب شماره‌گذاري نقاط گرهي را بار ديگر تغيير داد؛ ولي حدي براي مينيممِ عرض نواري كه مي‌تواند بدين طريق حاصل شود ، وجود دارد ؛ از اينرو در اين بخش يك روش متفاوتي براي كاهش عرض نوار ماتريس‌هاي سيستم ، ارائه مي‌گردد .

32. تغيير پايه به تغييرمكان‌هاي تعميم يافتة مُدي
در اين روش پيشنهاد مي‌شود كه معادلات تعادل بصورتي تبديل شوند كه براي انتگرال‌گيري مستقيم مؤثر باشند، براي اين منظور تبديل زير در روي n تغيير مكان نقاط گرهي عناصر محدود مربوط به U انجام مي‌شود :
كه در آن P يك ماتريس مربعي nn و X(t) يك بردار وابسته به زمان از مرتبة n است .
مؤلفه‌هاي X به عنوان تغييرمكان‌هاي تعميم‌يافته ناميده مي‌شوند . از جايگذاري (1) در معادلة تعادل ديناميكي و پيش ضرب آن در PT نتيجة زير حاصل مي‌شود:
كه در آن داريم :

33. تغيير پايه به تغييرمكان‌هاي تعميم يافتة مُدي
لازم به يادآوري است كه تبديل مذكور از جايگذاري رابطة (1) در رابطة تغيير مكان عناصر محدود :
براي بيان تغييرمكانهاي عنصري برحسب تغييرمكانهاي تعميم‌يافتة زير :
و سپس با استفاده از (4) در معادلة كار مجازي بدست مي‌آيد .
بنابراين ، در اساس ، براي بدست آوردن رابطة (1) از معادلة تعادل ديناميكي ، يك تغيير پايه از پاية تغييرمكان عناصر محدود به پاية تغييرمكان تعميم يافته انجام شده است .
هدف از اين تبديل ،‌بدست آوردن ماتريس‌هاس جديد سختي ، جرم و ميرائي است كه داراي عرض نوار كوچكتري نسبت به ماتريس‌هاي اوليه مي‌باشند و ماتريس P بايد بطور مناسبي انتخاب گردد .

34. تغيير پايه به تغييرمكان‌هاي تعميم يافتة مُدي
در عمل ، يك تبديل ماتريسي مؤثر P با استفاده از جواب‌هاي تغييرمكانِ معادلات تعادل ارتعاش آزاد – بدون اثر ميرائي – بدست مي‌آيد :
مي‌توان فرض نمود كه جواب (5) به صورت زير است :
كه در آن  برداري از مرتبة n ، t متغير زماني و t0 ثابت زماني و  مقدار ثابتي است كه فركانس ارتعاش(ثانيه/ راديان) بردار  را نمايش مي‌دهد.
از جايگذاري (6) در (5) ويژه مسألة تعميم يافتة زير بدست مي‌آيد كه از آن  و  بايد تعيين شوند :
از حل ويژه مسألة ‌(7) ، n ويژه جواب بدست مي‌آيد كه در آن ويژه بردارها نسبت به M يكا متعامد شده‌اند ؛ بعبارت ديگر :
بردار i ، iامين بردار شکل مُد ناميده مي شود و i  فركانس ارتعاش متناظر با آن است(ثانيه/ راديان).

35. تغيير پايه به تغييرمكان‌هاي تعميم يافتة مُدي
با تعريف يک ماتريس  که ستونهاي آن ويژه بردارهاي i مي‌باشند و يک ماتريس قطري 2 که ويژه مقادير در قطر آن ذخيره شده است ، بعبارت ديگر :
مي‌توان n جواب رابطة (7) را به صورت زير نوشت :
از آنجا که ويژه بردارها نسبت به M يکا متعامداند، از اينرو داريم :

36. تغيير پايه به تغييرمكان‌هاي تعميم يافتة مُدي
حال بنظر مي‌رسد که ماتريس  يک ماتريس مناسب تبديل P در رابطة (1) باشد. با استفاده از :
معادلات تعادلي را بدست مي‌آوريم که متناظر با تغييرمکان‌هاي تعميم يافتة مُدي است :
شرايط اوليه در X(t) با استفاده از رابطة (13) و يكامتعامدي ماتريس  بر M به دست مي‌آيد ، به عبارت ديگر در زمان 0 داريم :
معادلات (14) نشان مي‌دهند که اگر ماتريس ميرايي در تحليل وارد نشود ، هنگامي که در ماتريس تبديل P از شکل‌هاي مُد ارتعاش آزاد سيستم عناصر محدود استفاده شود ، در اين صورت معادلات تعادل عناصر محدود تفکيک مي‌شوند .
از آنجا که معادلات تعادل ديناميکي در پاية بردارهاي شکل مد تفکيک مي‌شوند ، از اينرو هنگامي تحليل جمع آثار مدها مي‌تواند مؤثر باشد که تنها برخي مدهاي ارتعاش بوسيلة بارگذاري تحريک شوند .

37. حل معادلات غيرخطي با استفاده از روش جمع آثار مُدها
با در نظر گرفتن تحليل خطي ، که در بخش قبل اشاره شد ، اساس روش جع آثار مدها ، تبديل از درجات آزادي نقاط گرهي عناصر محدود به درجات آزادي تعميم يافته شکل هاي مد ارتعاش است .
همين اصول بنيادي در تحليل غيرخطي نيز قابل اعمال‌اند . ولي در اين حالت ، شکل‌هاي مد و فرکانس‌هاي ارتعاش تغيير مي‌کنند و نيز براي ماتريس ضريب بصورت قطري ، ضروري است که در تبديل مذکور از شکل‌هاي مد ارتعاش آزاد سيستم در زمان t استفاده شود .
ماتريس ضريب :
در اينحالت نيز براي حل معادلات تعادل ديناميکي مي‌توان از روش انتگرال‌گيري مستقيم ضمني استفاده نموده و همچنين براي محاسبة شكل‌هاي مد و فركانس‌هاي ارتعاش در زمان t ، مي‌توان از روش تكرار زيرفضا بهره جست .

38. حل معادلات غيرخطي با استفاده از روش جمع آثار مُدها
تحليل کامل جمع آثار مدهاي پاسخ غيرخطي ديناميکي غالباً تنها هنگامي مؤثر خواهد بود که جواب را بتوان بدون به هنگام کردن مکرر ماتريس سختي بدست آورد . در اين حالت معادلات تعادل عناصر محدود حاکم براي حل پاسخ در زمان t+t عبارتند از :
که در آن K ماتريس سختي متناظر با بافتار تعادل در يک زمان پيشين  است . حال در تحليل جمع آثار مدها ، از رابطة زير استفاده مي‌کنيم :
که در آن t+tx i ، i امين تغييرمکان مدي تعميم يافته در زمان t+t است و
به عبارت ديگر i و i فركانس ارتعاش آزاد (ثانيه / راديان )و بردارهاي شكل مد سيستم در زمان  هستند .
اگر از رابطة (17) به طريقه‌اي معمول استفاده شود ، معادلات (16) بصورت زير تبديل مي‌شوند :
كه در آن داريم :

39. حل معادلات غيرخطي با استفاده از روش جمع آثار مُدها
روابط (19) معادلات تعادل در زمان t+t در تغييرمكان ‌هاي مدي تعميم‌يافتة مربوط به زمان  مي‌باشند ؛ ماتريس جرم متناظر ، يك ماتريس هماني است ، 2 ماتريس سختي است ،R T t+t بردار بار خارجي بوده وF(k-1) T t+t بردار نيروهاي متناظر با تنش‌هاي عنصري در انتهاي تكرار (k-1) است.
بطور كلي ، استفاده از روش جمع آثار مُدها در تحليل غيرخطي ديناميكي تنها هنگامي مؤثر است كه تعداد نسبتاً كمي از شكل‌هاي مد در تحليل در نظر گرفته شود . چنين شرايطي به عنوان مثال در تحليل پاسخ زلزله و تحريك ارتعاشي پيش مي‌آيند و در چنين حوزه‌هايي است كه از تكنيك مذكور استفاده مي‌شود .

40. Some Practical considerations
Physical problem
Finite element idealization
Appropriate time integration
Effective integration scheme
Appropriate finite element idealization

41. Some Practical considerations
Only few intermediate modes are being excited by load vector
Appropriate finite element model of structural dynamics
Upper limit of frequency content ωu
Fourier analysis of load input
The finite element mesh should at most represent at most accurately the frequencies to about ωco =4ωu of actual system.

42. Some Practical considerations
Smal l static displacement
Mode shapes orthogonal to load vector
And /Or
Frequencies are high
ωco can be chosen closer to ωu

43. Some Practical considerations
Identify the frequencies significantly contained in the loading, using a Fourier analysis , ωu
Choose a finite element mesh that can accurately represent the static response and accurately represents all frequencies up to about ωco =4ω
Some Practical considerations
Procedure for modeling of a structural vibration problem
Perform the direct integration analysis. The time step Δt for this solution should equal about 1/20Tco ,where Tco=2π/ωco

44. با سپاس فراوان از توجه شما