1. Konveksni omotač (red O(n log (n)))
Seminarski rad
Konveksni omotač (red O(n log (n)))
Stefan Cerovina
Djordje Rakonjac
Marko Milošević
Perica Trajkov

2. UVOD Značaj I karakteristike:
Obrada konveksnih mnogouglova je mnogo lakša
Uvek postoji I jedinstven je
Postoji mnogo alogritama
Problem: ograditi n tačaka najmanjom zatvorenom poligonskom linijom

4. Direktni pristup (O(n³))
Posmatramo svaki par duži
Provera da li se sve ostale tačke nalaze sa iste strane duži
Da → duž ulazi u konveksni omotač
Ne → duž NE ulazi u konveksni omotač
Složenost O(n³)

5. Direktni pristup (O(n³)) - psedo-kod
for i:=1 to n-1 do
for j:=i+1 to n do
pripada=true; levo=false; desno=false;
for z:=1 to n do
if z je sa desne strane duzi(i,j) then
desno=true;
if levo=true then pripada=false; break
Else
levo=true;
if desno=true then pripada=false; break
If pripada then dodaj_u_konveksni(i,j)

6. Grahamov algoritam (O(n logn))
Formira se gornji i donji omotač i spajaju se
Koraci formiranja gornjeg (donjeg) omotača:
1. Tačke se sortiraju po x-koordinati, odnosno y, ako su x koordinate jednake
2. Ubacujemo sledeću tačku u skup (inicaijalno ima 2 tačke)
3. Proveravamo desni zaokret poslednje tri tačke
4. Da → predji na korak 2
Ne → predji na sledeći korak
5. Izbacujemo pretposlednju tačku iz skupa.
Skačemo na korak 3.

7. Grahamov algoritam (O(n logn)) - psedo-kod
Ulaz: Niz A[i] n sortiranih tačaka, Izlaz: Niz tačaka konveksnog omotača
gornji=(A[1], A[2]); k:=2;
for i:=3 to n do
dodaj_u_gornji(A[i]); k++;
while ((k>2) and not desni(gornji[k-2], gornji[k-1], gornji[k]))
izbaci_iz_gornjeg(A[k-1]); k- -;
donji=(A[n], A[n-1]); l:=2;
for i:=n-2 to 1 do
dodaj_u_donji(A[i]); k++;
while ((l>2) and not desni(gornji[l-2], gornji[l-1], gornji[l]))
izbaci_iz_donjeg(A[l-1]); l- -;
Spoji (gornji,donji);

8. Grahamov algoritam (n logn)
Složenost n*logn
Početno sortiranje O(n*logn),
Ostatak algoritma O(n) - svaka tačka se dodaje samo jednom, I eventualno briše samo jednom

9. Test primeri Za ulaz n=100 (i 10 iteracija istog koda):
n*logn: 0 sekundi milisekundi
n³ : sekundi milisekundi
Za ulaz n=10 (i 100 iteracija istog koda):
n*logn: 0 sekundi milisekundi
n³: sekundi milisekundi
Za ulaz n=1000 (i 100 iteracija istog koda):
n*logn: 0 sekundi milisekundi
n³: još uvek računa

10. Test primeri - zaključak
Za male ulaze (npr. n=10) n³ radi brže nego n*logn
Razlog: veliki konstantni faktor kod Grahamovog algoritma
Za velike ulaze, Grahamov algoritam je zantno brži