1. Modelarea matematica a proceselor biologice - Curs -

2. Structura cursului: Cap
Structura cursului: Cap. 1: Introducere in modelarea numerica a proceselor biologice Cap. 2: Ecuatii de transport Cap. 3: Difuzia. Conductia termica. Cap. 4: Microcurgeri

3. Cap. 5: Micropicaturi Cap. 6: Transportul speciilor biochimice Cap
Cap. 5: Micropicaturi Cap. 6: Transportul speciilor biochimice Cap. 7: Reactii biochimice Cap. 8: Curgerea si transportul de masa in domenii variabile Cap. 9: Transportul in camp magnetic Cap.10: Transportul in camp electric

4. BIBLIOGRAFIE: 1) Friedman M. H
BIBLIOGRAFIE: 1) Friedman M.H. 2008, Principles and models of biological transport; Springer. 2) Kojic M, et al. 2008, Computer modeling in bioengineering; Wiley & Sons. 3) Berthier J., Silberzan P. 2005, Microfluidics for Biotechnology; Artech House, Boston/London. 4) Alberts B, et al Molecular biology of the cell; 4th ed. New York, Garland Science. 5) Perthame B Transport equations in biology; Birkhauser Verlag. 6) Dym C Principles of mathematical modelling; Academic Press.

5. Capitolul 2: Ecuatii de transport
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
Capitolul 2: Ecuatii de transport
2.1 Ecuatia de continuitate
2.2 Ecuatia de transport a unei marimi fizice scalare
2.3 Conditii initiale si conditii pe frontiera
2.4 Adimensionalizare
2.5 Simularea numerica a unui proces de transport (seminar)

6. A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.1 Ecuatia de continuitate
(densitatea de flux)
Forma integrala a ecuatiei de continuitate:

7. 2.1 Ecuatia de continuitate -2-
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.1 Ecuatia de continuitate
Folosind teorema divergentei (Gauss) obtinem:
de unde rezulta forma diferentiala (locala) a ecuatiei de continuitate:
In absenta termenului sursa :
In mecanica fluidelor :
cu cazul particular pentru fluide incompresibile :

8. 2.2 Ecuatia de transport a unei marimi fizice scalare
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.2 Ecuatia de transport a unei marimi fizice scalare
Forma generala:

9. Tipuri de ecuatii cu derivate partiale:
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.2 Ecuatia de transport a unei marimi fizice scalare
Tipuri de ecuatii cu derivate partiale:
– dupa dependenta de variabila timp
stationare: solutia nu depinde de timp
nestationare: solutia depinde de timp
– dupa ordinul de derivare
de ordinul I:
de ordinul II:
eliptice
parabolice
hiperbolice
etc..

10. 2.3 Conditii initiale si conditii pe frontiera
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.3 Conditii initiale si conditii pe frontiera
Conditie initiala:
Tipuri de conditii pe frontiera:
- Dirichlet
- Neumann
- Robin
- Cauchy
- mixta

11. Conditie de tip Dirichlet Conditie de tip Neumann
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.3 Conditii initiale si conditii pe frontiera
Conditie de tip Dirichlet
(Johann Peter Gustav Lejeune; )
Conditie de tip Neumann
(Carl Gottfried; )

12. Conditie de tip Robin Conditie de tip Cauchy Conditie de tip mixt
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.3 Conditii initiale si conditii pe frontiera
Conditie de tip Robin
(Victor Gustave; )
Conditie de tip Cauchy
(Augustin-Louis; )
Conditie de tip mixt

13. A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.4 Adimensionalizare
Consta in impartirea marimilor fizice cu altele, de aceeasi natura,
considerate de referinta pentru sistemul analizat, astfel incat sa obtinem
in ecuatiile de transport si in conditiile initiale si pe frontiera doar
cantitati adimensionale;
Pe langa termenii initiali, vor aparea niste rapoarte adimensionalizate
(numere) numite parametri adimensionali;
Se urmareste ca valorile parametrilor adimensionali sa fie de ordinul
unitatii (caz ideal);
In urma unei adimensionalizari corecte se vor obtine in ecuatie termeni
de marimi comparabile, fara dimensiuni fizice, ceea ce usureaza din
punct de vedere numeric rezolvarea problemei.

14. Exemplu de adimensionalizare:
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.4 Adimensionalizare
Exemplu de adimensionalizare:
Obs: am notat cu “*” marimile fizice adimensionalizate

15. 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.5 Simularea numerica a unui proces de transport
ETAPE DE LUCRU:
Construirea geometriei problemei si generarea retelei de calcul
Definirea modelului fizic (Preprocesare) :
- ecuatii matematice
- conditii initale si pe frontiera
- parametrii de material
Rezolvarea numerica a problemei
Vizualizarea si analiza (numerica si fizica)
a rezultatelor (Postprocesare)
- Feedback/Debugging (daca este cazul!)

16. Crearea geometriei (domeniului de calcul) si generarea retelei:
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.5 Simularea numerica a unui proces de transport
Crearea geometriei (domeniului de calcul) si generarea retelei:

17. Construirea geometriei si generarea retelei de calcul:
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.5 Simularea numerica a unui proces de transport
Construirea geometriei
si generarea retelei de calcul:

18. 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -4-
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.5 Simularea numerica a unui proces de transport

19. Ce este FREEFEM++? (http://www.freefem.org/ff++/)
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.5 Simularea numerica a unui proces de transport
Ce este FREEFEM++? (
Solver de ecuatii cu derivate partiale (EDP) liniare bazat pe metoda elementului finit (FEM)
Sintaxa imprumutata din C++
Geometrie 2D sau 3D axisimetrica
Generator de retea automat si performant
Permite lucrul cu geometrii si retele variabile (deformabile)
Descriere variationala a problemei (formula Green)
Foloseste o gama larga de solvere, la alegerea utilizatorului
Utilizeaza mai multe tipuri de functii de interpolare
Reprezentarea rezultatelor sub forma de grafice sau fisiere de date

20. Conditie pe frontiera :
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.5 Simularea numerica a unui proces de transport
Exemplu de calcul:
Conditie pe frontiera :
Caz particular: f (x, y) = 1.

21. Programul (fisier ***.edp):
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.5 Simularea numerica a unui proces de transport
Programul (fisier ***.edp):
mesh dom=square(20,20);
fespace Vh(dom,P1);
Vh u,w;
solve prob1(u,w)=int2d(dom)(dx(u)*dx(w)+dy(u)*dy(w))+
int2d(dom)(-1*w) +on(1,2,3,4,u=0);
plot(dom,wait=1);
plot(u,value=true);

22. 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -8-
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.5 Simularea numerica a unui proces de transport
Geometria si reteaua de calcul:
Formulare variationala (formula Green)
int2d(dom)( dx(u)*dx(w) + dy(u)*dy(w) ) (forma biliniara)
int2d(dom)( f*w ) (forma liniara)

23. Vizualizare si analiza rezultatelor:
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.5 Simularea numerica a unui proces de transport
Vizualizare si analiza rezultatelor:

24. Exercitii: Construirea geometriei si generarea retelei de calcul
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.5 Simularea numerica a unui proces de transport
Exercitii: Construirea geometriei si generarea retelei de calcul
Generarea unui domeniu dreptunghiular:
border a (t=0,1) {x=t; y=0; label=1;};
border b (t=0,0.5) {x=1; y=t; label=2;};
border c (t=1,0) {x=t; y=0.5; label=3;};
border d (t=0.5,0) {x=0; y=t; label=4;};
border ii (t=0,1) {x=t; y=0.25; label=5;};
plot(a(30)+b(20)+c(30)+d(20)+ii(30), wait=1);
mesh ex1 = buildmesh (a(30)+b(20)+c(30)+d(20)+ii(30));
plot (ex1);

25. 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -11-
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.5 Simularea numerica a unui proces de transport
Generarea unui domeniu circular:
border a (t=0,2*pi){x=cos(t);y=sin(t);label=1;};
border b (t=0,2*pi){x= *cos(t);y=0.3*sin(t);label=2;};
plot(a(50)+b(30),wait=1);
plot(a(50)+b(-30),wait=1);
mesh cerc1=buildmesh (a(50)+b(30));
mesh cerc2=buildmesh (a(50)+b(-30));
plot(cerc1,wait=1);
plot(cerc2);

26. 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -12-
A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs)
2.5 Simularea numerica a unui proces de transport