Download presentation
Presentation is loading. Please wait.
1
NENAD BIJELIĆ Rješavanje jednadžbe gibanja diskretnog dinamičkog sustava u frekvencijskoj domeni seminar:
2
Procijeniti ponašanje konstrukcije u određenim uvjetima, a sa svrhom dokazivanja pouzdanosti konstrukcije Formulacija problema aproksimacija fizikalnog problema matematičkim modelom distribuirani sustav diskretni sustav funkcije kontinuiranih koordinata aproksimacija matematičkog modela numeričkim modelom jednadžba gibanja
3
Procijeniti ponašanje konstrukcije u određenim uvjetima, a sa svrhom dokazivanja pouzdanosti konstrukcije Formulacija problema distribuirani sustav diskretni sustav funkcije kontinuiranih koordinata aproksimacija fizikalnog problema matematičkim modelom aproksimacija matematičkog modela numeričkim modelom fizikalni problem numerički model aproksimacija
4
time-history analiza omogućava općeniti pristup rješavanju problema dinamike konstrukcija
Međutim, ponekad je zgodnije problemu pristupiti iz frekvencijske domene: fizikalna svojstva sustava ovisna o frekvenciji vibracija (interakcija fluid-konstrukcija, interakcija tlo-konstrukcija, histerezno prigušenje) konstitutivnu jednadžbu jednostavnije odrediti u frekvencijskoj domeni analizom sadržaja frekvencija određene pobude moguće procijeniti sposobnost pobuđivanja konstrukcije
5
Ideja – koristeći prikladnu transformaciju svesti
Ideja – koristeći prikladnu transformaciju svesti problem na jednostavniji oblik množenje zbrajanje vremenska domena frekvencijska domena F integral množenje F -1
6
Odgovor sustava prikazan integralom – kako?
razmotrimo odgovor na jedinični impuls uvrštavanjem u rješenje homogene jednadžbe gibanja (linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima) dobiva se odgovor sustava na jedinični impuls
7
Funkcije odgovora sustava na jedinični impuls
s prigušenjem: bez prigušenja: bez prigušenja sa prigušenjem
8
odgovor za impuls 1 odgovor za impuls 2 ukupni odgovor
9
(poseban slučaj konvolucijskog integrala)
Duhamelov integral (poseban slučaj konvolucijskog integrala) odgovor sustava u vremenskoj domeni jednak je konvoluciji funkcije pobude i funkcije odgovora
10
vremenska domena Fourierova transformacija u biti predstavlja Fourierove koeficijente pri razvoju neperiodične funkcije u Fourierov red Fourierovi koeficijenti su pritom funkcija kontinuirane varijable F integral Ideja
11
vremenska domena Fourierova transformacija u biti predstavlja Fourierove koeficijente pri razvoju neperiodične funkcije u Fourierov red Fourierovi koeficijenti su pritom funkcija kontinuirane varijable F integral Ideja
12
vremenska domena Fourierova transformacija u biti predstavlja Fourierove koeficijente pri razvoju neperiodične funkcije u Fourierov red Fourierovi koeficijenti su pritom funkcija kontinuirane varijable F integral F -1
13
F F -1 vremenska domena frekvencijska domena integral množenje
integral množenje F -1 promjena redoslijeda integracije
14
Dakle, analiza u frekvencijskoj domeni zahtijeva iznalaženje direktne i inverzne fourierove transformacije funkcije pobude i funkcije odgovora konstrukcije → kompleksna integracija iz praktičnih razloga potrebno pribjeći numeričkim metodama: rješenje u zatvorenom obliku?? funkcije u konvoluciji zadane diskretno Motivacija za fourierovu transformaciju u diskretnom obliku (DFT)
15
Diskretna fourierova transformacija
razmatranu neperiodičnu funkciju diskretiziramo po vremenu koeficijenti reda koje je potrebno odrediti će predstavljati diskretnu fourierovu transformaciju
16
parcijalna suma geometrijskog reda
Diskretna fourierova transformacija parcijalna suma geometrijskog reda
17
Fourierove transformacije – kontinuirani i diskretan oblik
18
F -1 F Diskretne fourierove transformacije – periodičnost
unutar perioda diskretna funkcija „prati” kontinuiranu funkciju značajne razlike potencijalno nastaju izvan perioda
19
Diskretne fourierove transformacije – konvolucija
periodička proširenja stvarnih funkcija – DFT primijenjiva na periodičke funkcije primijeni DFT promjena redoslijeda sumacije uvođenje supstitucije Teorem o konvoluciji Teorem o konvoluciji u diskretnom obliku + FFT algoritam –> praktično rješenje za sve naše probleme
20
Diskretne fourierove transformacije – primjena
akcelerogram potresa 2000 diskretnih vrijednosti Fourierova transformacija pretvara vremensku domenu u frekvencijsku domenu – kako? vremenski inkrement 0.02 sekunde, koliki je frekvencijski inkrement? vremenski raspon 40 sekundi, koliki je frekvencijski raspon? Odgovor:
21
Diskretne fourierove transformacije – vremenska vs frekvencijska skala
Vremenska domena Frekvencijska domena Što je zadano
22
Diskretne fourierove transformacije – primjena
DFT amplitudni spektar
23
Diskretne fourierove transformacije – primjena
DFT spektar realnih komponenti
24
Diskretne fourierove transformacije – primjena
DFT spektar imaginarnih komponenti
25
konjugirano kompleksne vrijednosti, Q.E.D.
konjugirano kompleksne vrijednosti, Q.E.D. „Nyquist frequency” „folding frequency” najviša frekvencija zastupljena u transformaciji
26
„Nyquist frequency” „folding frequency”
„Nyquist frequency” „folding frequency” najviša frekvencija zastupljena u transformaciji minimiziranje greške preslikavanja (aliasing) fizikalni smisao: ukoliko se funkcija brzo mijenja u ovisnosti o vremenu, tj. ima značajan sadržaj visokih frekvencija, tada je tu funkciju potrebno češće uzorkovati kako bi funkcija u vremenskoj domeni bila odgovarajuće prikazana
27
u ovoj zoni dolazi do preklapanja
Diskretne fourierove transformacije – aliasing pravokutni impuls u ovoj zoni dolazi do preklapanja superpozicija superpozicija funkcija daje traženu transformaciju kontinuirano
28
Analiza odgovora dinamičkog sustava – primjer
recimo da nas zanima odgovor sustava za prvih 1.9 sekundi minimalna duljina perioda potrebna da ne dođe do preklapanja funkcija u konvoluciji DFT IDFT
29
Analiza odgovora dinamičkog sustava – primjer
recimo da nas zanima odgovor sustava za prvih 1.9 sekundi minimalna duljina perioda potrebna da ne dođe do preklapanja funkcija u konvoluciji DFT IDFT
30
Literatura: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 9th edition, John Wiley & Sons, NJ, 2006., poglavlje 11 Brigham, E. O.: The Fast Fourier Transform and Its Applications, Prentice Hall, Engelwood Cliffs, New Jersey, 1988., poglavlja: 2, 4, 6, 7 Humar, J. L.: Dynamics of Structures, 2nd edition, Balkema Publishers, Lisse, Netherlands, 2002., poglavlja: 9, 13 Chopra, A. K.: Dynamics of Structures – Theory and Application to Earthquake Engineering, 3rd edition, Prentice Hall, New Jersey, 2006., poglavlja: appendix A Lee, U.; Cho, J.: FFT-based spectral dynamic analysis for discrete dynamic systems, Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering 25 (2007) 1, Lee, U.; Kim, S.; Cho, J.: Dynamic analysis of the linear discrete dynamic systems subjected to the initial conditions by using an FFT-based spectral analysis method, Journal of Sound and Vibration 288 (2005), Kerr, D. A.: The Fourier Analysis Tool in Microsoft Excel, Klingenberg, L.: Frequency Domain Using Excel,
Similar presentations
![DEPARTMENT OF MATHEMATI CS [ YEAR OF ESTABLISHMENT – 1997 ] DEPARTMENT OF MATHEMATICS, CVRCE.](/14/4213787/big_thumb.jpg "DEPARTMENT OF MATHEMATI CS [ YEAR OF ESTABLISHMENT – 1997 ] DEPARTMENT OF MATHEMATICS, CVRCE.>")
