2. Finite Element Procedures
روش عناصر محدود
Finite Element Procedures
کریم عابدی

3. فصل سوم : فرمول بندی روش عناصر
محدود در تحليل خطی
(بخش اول)

4. 1- مقدمه
- نخستین کاربرد روش های عملی عناصر محدود، در تحلیل خطی سازه ها بود و روش عناصر محدود، اساسا محرک اولیه خود را برای بسط و توسعه، در این حوزه پیدا کرده است.
روش استاندارد برای تحلیل حل عناصر محدود جامدات و محیط های پیوسته، روش تغییر مکان یا روش سختی است که به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرد. در تحلیل عناصر محدود با استفاده از روش تغییر مکان (Displacement method) یا همان روش سختی (Stiffness method) از دو نوع فرمول بندی استفاده می شود:
فرمول بندی عناصر محدود مبتنی بر تغییرمکان(Displacement-Based Finite Element Formulation)
فرمول بندی عناصر محدود آمیخته (Mixed Finite Element Formulation)
- در فرمول بندی عناصر محدود مبتنی بر تغییرمکان، متغیرهای حالت از نوع تغییرمکان های تعمیم یافته (تغییرمکان یا دوران) می باشند. برای تحلیل سازه های خمش صفحه و پوسته ای ترجیحا از فرمول بندی عناصر محدود آمیخته استفاده می شود که در آنها علاوه بر تغییرمکان های تعمیم یافته از تنش یا کرنش نیز به عنوان متغیر حالت استفاده می شود.
در این فصل، تاکید و تکیه اصلی ما بر روی فرمول بندی عناصر محدود مبتنی بر تغییرمکان خواهد بود.
" اصل کار مجازی یا تغییرمکان های مجازی" رابطه بنیادی است که برای فرمول بندی عناصر محدود مبتنی بر تغییرمکان مورد استفاده قرار خواهد گرفت. اصل مذکور، معادل کاربرد روش Ritz برای مینیمم سازی پتانسیل کلی سیستم می باشد.

5. 2- نحوه استخراج معادلات روش عناصر محدود
ابتدا معادلات روش عناصر محدود را برای یک جسم عمومی سه بعدی استخراج می کنیم و سپس این فرمول بندی عمومی را برای مسائل خاص اعمال می نماییم.
جسم عمومی سه بعدی زیر را در نظر می گیریم:
در تحلیل عناصر محدود، جسم را به صورت مجموعه همبسته (Assemblage) از عناصر محدود گسسته که فقط در نقاط گرهی در مرزها با یکدیگر اتصال یافته اند، تقریب سازی می کنیم.
بحثی در مورد تفاوت مجموعه همبسته عناصر محدود (Finite Element Assemblage) و سازه (Structure)

6. مراحل تشکیل ماتریس سختی در روش عناصر محدود در تحلیل ایستایی
الف: ارتباط تغییرمکان ها در درون هر عنصر بر حسب تغییرمکان های نقاط گرهی عنصر (یا مجموعه همبسته عناصر)
تغییرمکان ها که در یک دستگاه مختصات اختیاری در درون عنصر اندازه گرفته می شوند، تابعی از تغییرمکان ها در N نقطه گرهی عنصر (یا مجموعه همبسته عناصر محدود) فرض می شوند (در این مرحله دستگاه های محلی و کلی یکسان در نظر گرفته می شوند). بنابراین برای عنصر m داریم:
: ماتریس درون یابی تغییرمکان عنصر m
(که حاوی توابع شکل Shape functions است).
: بردار شامل سه مولفه تغییرمکانی ، و
در تمامی نقاط گرهی عنصر یا مجموعه همبسته عناصر می باشد، به عبارت دیگر برداری است که
شامل 3N درایه می باشد:

7. بردار مذکور را در حالت عمومی تر می توانیم به صورت زیر بنویسیم:
که در آن Ui می تواند یک تغییرمکان در هر یک از جهات X ،Y یاZ یا دوران در سازه های تیری، خمش صفحه و پوسته باشد.
نکات اساسی در مرحله اول تشکیل ماتریس سختی در یک تحلیل عناصر محدود:
1- انتخاب نوع عنصر،
2- انتخاب تعداد درجات آزادی در هر گره،
3- ایجاد توابع شکل که ماتریس درون یابی تغییرمکان را تشکیل می دهند.

8. ب: ارتباط کرنش ها در درون هر عنصر بر حسب تغییرمکان های نقاط گرهی عنصر (یا مجموعه همبسته عناصر)
در این مرحله کرنش ها در درون هر عنصر را می توان به تغییرمکان های نقاط گرهی عنصر (یا مجموعه همبسته عناصر محدود) به صورت زیر ارتباط داد:
: ماتریس کرنش- تغییرمکان می باشد که سطرهای آن با مشتق گیری و ترکیب مناسب از ماتریس
به دست می آیند.
پ: ارتباط تنش ها در درون هر عنصر بر حسب کرنش ها و تنش های اولیه عنصری یا بر حسب تغییرمکان های نقاط گرهی عنصر (یا مجموعه همبسته عناصر)
: ماتریس ارتجاعی مشخصه مصالح عنصر m
: تنش های معلوم اولیه عنصر m

9. ت: اعمال اصل تغییرمکان های مجازی و استخراج ماتریس سختی سازه (در مختصات کلی) و بردار بار (در مختصات کلی)
اصل کار مجازی برای یک جسم عمومی را به صورت زیر نوشتیم:
اصل کار مجازی مذکور را اگر به مجموعه همبسته عناصر اعمال کنیم، در این صورت خواهیم داشت:
: سطوح عناصر است که قسمتی از سطح کلی S جسم می باشند. برای عناصری که کاملا بوسیله سایر عناصر احاطه شده اند، چنان سطحی وجود ندارد، در حالی که برای عناصر واقع در سطح جسم، یک یا چند سطح در انتگرال گیری سطحی وارد می شوند.
در استفاده از اصل تغییرمکان های مجازی فرضیات یکسانی را برای تغییرمکان ها و کرنش های مجازی به کار
می بریم به عبارت دیگر داریم:

10. اگر روابط مذکور را در اصل کار مجازی جایگذاری کنیم:
رابطه زیر را بدست می آوریم:
ماتریس های درون یابی تغییرمکان های سطحی از جایگذاری مختصات مناسب سطحی عنصر در ماتریس های درون یابی عنصر به دست می آیند.
: بردار شامل بارهای متمرکز وارد بر گره های مجموعه همبسته عناصر می باشند که مولفه iام بردار
یک نیروی گرهی متمرکز است که متناظر با iامین مولفه تغییرمکان در بردار می باشد.

11. درنهایت به رابطه روبرو می رسیم:
بردار بار ناشی از نیروهای حجمی عنصری
بردار بار ناشی از نیروهای سطحی عنصری
بردار بار ناشی از تنش های اولیه عنصری

12. - یادآوری می کنیم که مجموع انتگرال های حجمی در بالا بیانگر ترکیب مناسب ماتریس های سختی عنصری برای بدست آوردن ماتریس سختی کل مجموعه همبسته عناصر است. به این ترتیب، بردار نیروی حجمی مجموعه همبسته عناصر ، مستقیما از جمع بردارهای نیروی حجمی عناصر حاصل می گردد و نیز به طور مشابهی و به دست می آیند.

13. بررسی دو مثال: مثال حالت تنش مسطح را در نظر می گیریم:
تنش مسطح (Plane Stress) در چارچوب مسائل الاستیسیته صفحه ای مطرح می شود.
ویژگی های مسائل الاستیسیته صفحه ای:
شامل بررسی محیط های پیوسته ای است که در صفحه خود بارگذاری شده اند،
مسائل الاستیسیته صفحه ای شامل دو حالت است:
1- مسائل تنش مسطح (Plane Stress)
2- مسائل کرنش مسطح (Plane Strain)
- در مسائل تنش مسطح، ضخامت محیط پیوسته (نظیر صفحه) نسبت به ابعاد دیگر کم بوده و تنش های عمود بر صفحه صفر می باشند ( ) و روابط بین تنش ها و کرنش ها به صورت زیر می باشند:
ماتریس مصالح
مثالی از شرایط تنش مسطح:
تیر تحت اثر کنش های درون صفحه ای ( از جمله دیوارهای برشی)

14. مثالی از شرایط کرنش مسطح :
در مسائل کرنش مسطح، کرنش عمود بر صفحه بارگذاری صفر است ( )،
روابط تنش- کرنش در این حالت به صورت زیر می باشند:
با حذف و حل معادلات بر حسب به رابطه ماتریسی زیر می رسیم:
ماتریس مصالح
مثالی از شرایط کرنش مسطح :
سد طویل تحت اثر فشار آب
در مسائل الاستیسیته صفحه ای، تمامی تغییرمکان ها در خود صفحه اتفاق می افتد و لذا هر گره دارای
دو درجه آزادی است (u (x ,y) , v (x ,y)).

17. مثال: تحلیل یک صفحه طره ای نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید
مثال: تحلیل یک صفحه طره ای نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. برای نشان دادن تکنیک تحلیل،
از ایده آل سازی عناصر محدود درشت که در شکل زیر مشخص شده است استفاده کنید. ماتریس های ،
و را ایجاد نمائید.

18. حل:
صفحه طره ای در شرایط تنش مسطح عمل می کند، پس ماتریس مصالح آن به صورت زیر می باشد:
ماتریس درون یابی عنصر 2، تغییرمکان های داخلی عنصر را به تغییرمکان های نقاط گرهی مجموعه همبسته عناصر محدود ارتباط می دهد:
که در آن U برداری است که شامل تمامی تغییرمکان های نقاط گرهی مجموعه همبسته عناصر محدود می باشد:

19. در این مرحله از تحلیل، مدل سازه ای را بدون شرایط مرزی تغییرمکانی در نظر می گیریم. اگر عنصر 2 را
در نظر بگیریم، درمی یابیم که تنها تغییرمکان های گره های 2،3، 5 و6 در تغییرمکان های عنصر مذکور موثرند.
(اشاره به نحوه شماره گذاری نقاط گرهی عنصر و درجات آزادی متناظر با آن نقاط)

20. برای استخراج ماتریس در (الف) درمی یابیم که در هر چهار نقطه گرهی، دو تغییرمکان u (x , y) و v (x , y) وجود دارد. بنابراین می توان فرض کرد که تغییرمکان های u , v عنصر در مختصات محلی به صورت چندجمله ای های زیر مشخص می شوند که بر حسب متغیرهای مختصات محلی x , y بیان گردیده اند:
ضرایب مجهول که به آنها مختصات تعمیم یافته نیز اطلاق می شود، بر حسب تغییرمکان های
مجهول نقاط گرهی عنصری و بیان خواهند شد. با تعریف زیر:
می توان (پ) را به صورت ماتریسی زیر نوشت:

21. که در آن داریم:
معادله (ث) باید برای تمام نقاط گرهی صادق باشد، بنایراین با استفاده از (ت) داریم:
اگر معادلات (ج) برای یافتن α حل شوند و نتیجه در (ث) جایگذاری شود، رابطه زیر بدست می آید:

22. تغییرمکان متناظر با تغییرمکان های نقاط گرهی عنصر در (ت) تعریف می شوند:
این واقعیت که اندیس بالا در H استفاده نمی شود، دلالت براین نکته دارد که ماتریس درون یابی
تغییرمکان متناظر با تغییرمکان های نقاط گرهی عنصر در (ت) تعریف می شوند:
با H مشخص شده در (ح) با توجه به شکل روبرو داریم:

23. در شرایط تنش مسطح، کرنش های عنصری عبارتند از:
ماتریس کرنش- تغییرمکان (B) را می توان با مشتق گیری مناسب از سطر های ماتریس (H) به دست آورد:
بنابراین ماتریس کرنش- تغییرمکان متناظر با درجات آزادی محلی عنصر عبارتست از:

24. اگر Bij عنصر (i , j )ام ماتریس B باشد، در این صورت داریم:
که در آن درجات آزادی عنصری و درجات آزادی مجموعه همبسته عناصر به همان طریق (ب) و (ت) مرتب شده اند.

25. مثال: مطلوبست تعیین برای عنصر m از یک مجموعه همبسته عناصر محدود که تحت اثر یک فشار سطحی گسترده خطی قرار دارد.

26. گام اول تعیین است. برای تغییرمکان های سطحی فرض می کنیم که :

27. گام دوم تعیین است :

28. برای بدست آوردن ، ابتدا را تعیین می کنیم:
بنابراین متناظر با درجات آزادی کلی داده شده داریم:

29. 3- درجات آزادی محلی عنصری و درجات آزادی کلی سازه
در این جا به بررسی درجات آزادی محلی عنصری (Element Local Degrees of Freedom) و
درجات آزادی کلی سازه (Structural Global Degrees of Freedom) می پردازیم:
در فرایند سوار نمودن ماتریس ها در روش عناصر محدود، تاکنون فرض شد که جهات تغییرمکان های نقاط
گرهی محلی عنصر با جهات تغییرمکان های نقاط گرهی کلی سازه U یکسان می باشند.
* تاکنون این روش را در پیش گرفتیم که در ابتدا ماتریس ها را متناظر با درجات آزادی محلی ایجاد کردیم. در این صورت ماتریس های عناصر محدود متناظر با درجات آزادی کلی مجموعه همبسته عناصر را می توان مستقیما با مشخص نمودن درجات آزادی کلی که متناظر با درجات آزادی محلی عنصر می باشند، ایجاد کرد (روش اول در حالتی که جهات تغییرمکان های نقاط گرهی محلی عنصر با جهات تغییرمکان های نقاط گرهی کلی سازه U یکسان می باشند) .
اگر ماتریس های را که متناظر با درجات آزادی کلی سازه می باشند در نظر بگیریم،
در این صورت فقط آن سطرها و ستون هایی که متناظر با درجات آزادی محلی عنصر هستند دارای عناصر
غیرصفر هستند.
* می توانستیم یک روش دیگری را در پیش بگیریم به این صورت که :
: تغییرمکان های نقاط گرهی عنصری که در هر دستگاه مختصات
مناسب و دلخواهی تعیین شده اند.

30. در روابط مذکور در ماتریس های H و B از اندیس بالای m استفاده نشده است که دلالت بر این نکته دارد که
ماتریس ها نسبت به درجات آزادی عنصر تعریف شده اند. بنابراین می توان ماتریس و بردارهای
و و را متناظر با مختصات محلی به صورت زیر داشت:
به محض این که ماتریس های مذکور متناظر با دستگاه مختصات محلی ایجاد شدند، می توان مستقیما با استفاده از آرایه اتصال (Connectivity array)، آنها را در ماتریس هایی که متناظر با دستگاه مختصات کلی می باشند سوار کرد.
آرایه اتصال LM برای هر عنصر شامل درجات آزادی کلی سازه می باشد که به ترتیب درجات آزادی محلی عنصر قرار گرفته اند و دارای مقدار صفر به ازای سطر و ستون متناظر عنصری است که در تشکیل ماتریس سختی کلی سازه نقشی ندارد.
به عبارت دیگر اگر ماتریس های سختی عناصر و آرایه های LM معلوم باشند، ماتریس سختی کل سازه را می توان مستقیما به طریقه ای خودکار بدست آورد ( روش دوم در حالتی که جهات تغیرمکان های نقاط گرهی محلی عنصر با جهات تغییرمکان های نقاط گرهی کلی سازه U یکسان می باشند) .

31. مثال : فرض كنيد ماتريس هاي سختي عنصري كه متناظر با تغييرمكان هاي عنصري نشان داده شده در شكل زير مي باشند محاسبه شده اند. عناصر با A , B , C , D نشان داده مي شوند. مستقيما ماتريس های عنصري مذكور را در ماتريس سختي كلي سازه با در نظر گرفتن شرايط مرزي تغييرمكاني نشان داده شده در شكل زیر سوار كنيد. همچنين آرايه اتصال LM را براي عناصر مزبور به دست آوريد.

32. حل: از آنجا كه تغييرمكان ها در تكيه گاه ها صفر مي باشند، ضروري است كه فقط ماتريس سختي متناظر با مولفه هاي مجهول تغييرمكانی U را تشكيل داد. آرايه اتصال (آرايه LM) براي هر عنصر شامل درجات آزادي كلي سازه مي باشد كه به ترتيب درجات آزادي محلي عنصري قرار گرفته اند و داراي مقدار صفر به ازاي ستون و سطر متناظر ماتريس سختي متناظر عنصري است كه در تشكيل ماتريس سختي كل سازه نقشي ندارد .

33. و معادله نتيجه زير را به دست مي دهد:

34. * با وجود این، در برخی تحلیل ها مناسب است که استخراج ماتریس ها را متناظر با درجات آزادی نقاط گرهی عنصری آغاز کرد که در امتداد درجات آزادی کلی مجموعه همبسته عناصر نمی باشند. در این صورت داریم:
ماتریس T (ماتریس دوران) ، درجات آزادی را به درجات آزادی تبدیل می کند.
مشخص است كه اگر تمامي ماتريس هاي عناصر محدود را كه متناظر با درجات آزادي ميباشند با يك ( ) مشخص كنيم، در اين صورت خواهيم داشت:
بنابراين در يك جمع بندي، با سه حالت مي توانيم فرمول بندي عناصر محدود را دنبال كنيم:

35. مثال : مطلوبست استخراج ماتريس دوران T براي يك عنصرخاص با جهات درجات آزادي محلي و كلي نشان داده شده در شكل زير:

36. مثال : مطلوبست استخراج ماتريس دوران T براي يك عنصر تنش مسطح چهارگرهی با جهات درجات آزادي محلي و كلي نشان داده شده در شكل زير:

37. 4- مدل هاي مختصات تعميم يافته (Generalized Coordinates Models) براي استخراج ماتريس سختی عناصر محدود براي مسائل خاص
الف) مقدمه
در بخش هاي پيشين، روش گسسته سازي عناصر محدود و استخراج معادلات تعادل در حالت كلي ارائه گرديد، به عبارت ديگر يك جسم عمومي سه بعدي در نظر گرفته شد.
مثال هاي مورد بررسي، نشان دادند كه معادلات عمومي استخراج شده بايد به صورت خاص براي شرايط معين تنش و كرنش بكار روند.
- هدف اين بخش بحث و بيان اختصاري اين نكته است كه چگونه مي توان ماتريس هاي عناصر محدود را براي مسائل خاص از معادلات عمومی عناصر محدود بدست آورد.
- اگر چه هر جسمي در تئوري، سه بعدي تلقي مي شود، ولي براي تحليل عملي آن در اغلب حالات، تبديل آن به جسم يك بعدي و يا دوبعدي الزامي و ضروري است. بنابراين اولين گام در يك تحليل عناصر محدود تصميم گيري در مورد نوع مساله يا نوع مدل رياضي مورد نظر براي تحليل مي باشد. تصميم مذكور بر اساس فرضياتي استوار است كه در تئوري ارتجاعي، مدل هاي رياضي براي مسائل خاص مورد استفاده قرار مي گيرند.

38. تنش مسطح (Plane stress) كرنش مسطح (Plane strain)
مسائلي را كه در تحليل مهندسي با آنها روبرو مي شويم، مي توان به صورت زير طبقه بندي كرد:
خرپا (Truss)
تير (Beam)
تنش مسطح (Plane stress)
كرنش مسطح (Plane strain)
خمش صفحه (Plate bending)
عنصر با محور تقارن (Axisymmetric) جدارنازك
جداركلفت
- عنصر پوسته ای(Shell )
- سه بعدي عمومي (General three dimensional)
براي هر يك از اين حالات، فرمول بندي عمومي را مي توان بكار برد، ولي تنها بايد متغيرهاي مناسب تغييرمكان، تنش و كرنش را مورد استفاده قرار داد (متغير حالت - تابع تغييرمكان - مولفه هاي كرنش- مولفه هاي تنش- ماتريس خواص مصالح - نوع انتگرال گيري براي تعيين درايه هاي ماتريس سختي).

39. ب) مفهوم مدل هاي مختصات تعميم يافته
در مثال هاي مورد نظر در بخش پيشين، در مساله تنش مسطح براي تغييرمكان هاي u , v ، چندجمله اي هاي
خطي ساده فرض كرديم كه در آنها ضرايب چندجمله اي ها را به عنوان مختصات تعميم يافته مشخص نموديم.
- تعداد ضرايب مجهول در چندجمله اي ها، مساوي مجموع درجات آزادي گره هاي عنصر بود.
- با بيان مختصات تعميم يافته ( ) بر حسب تغييرمكان هاي نقاط گرهي عنصر دريافتيم كه عموما هر ضريب چندجمله اي يك تغييرمكان واقعي نيست، بلكه مساوي با تركيب خطي تغييرمكان هاي گرهي عنصر مي باشد.

40. - اگر ماتريس هاي عناصر محدود با اين فرض فرمول بندي شوند كه تغييرمكان ها بر مبناي تابعي تغيير مي كنند كه ضرايب مجهول آن تابع، مختصات تعميم يافته باشند، در اين صورت به آنها مدل هاي عناصر محدود مختصات تعميم يافته (Generalized Coordinate Finite Element Models) اطلاق مي شود.
چندجمله اي ها رده اي از توابع مي باشند كه طبيعتا براي تقريب سازي هاي تغييرمكان هاي عناصر مورد استفاده قرار مي گيرند. زيرا اين توابع، عموما براي تقريب سازي توابع مجهول به كار مي روند و هر چقدر درجه چند جمله اي ها بالاتر باشد، به همان ميزان تقريب سازي بهتري را مي توان انتظار داشت.
همچنين چندجمله اي ها به آساني مشتق گيري مي شوند، به عبارت ديگر اگر چندجمله اي ها تغييرمكان هاي سازه را تقريب سازي كنند، در اين صورت كرنش ها را مي توان با سهولت نسبي تعيين نمود.
- هدف اين بخش توصيف فرمول بندي تعداد متنوعي از مدل هاي عناصر محدود مختصات تعميم يافته مي باشد كه در آنها برای تقريب سازي ميدان هاي تغييرمكان از چندجمله اي ها استفاده مي شود. در اصل از توابع ديگري – مثلا توابع مثلثاتي- نيز به طريق مشابه مي توان استفاده كرد، ولی كاربرد آنها در مسائل خاصي- نظير سازه با تقارن محوري تحت اثر بارگذاري غيرمتقارن محوري- مي تواند مفيد باشد.

41. پ) عناصر مختلف و وي‍ژگي هاي آنها
- يك نكته مهم: در ارائه مدل هاي عناصر محدود مختصات تعميم يافته به جاي پرداختن به عناصر محدودي كه از نظر عددي موثر مي باشند، بر فرمول بندي عمومي آن مدل ها تاكيد خواهد شد. بنابراين، نقش اين بخش عمدتا تقويت و افزايش فهم عمومي ما از روش عناصر محدود خواهد بود. عناصر محدود بسيار موثر براي كاربردهاي عمومي تر، عناصر ایزوپارامتریک مي باشند كه در فصل بعد توصيف خواهند شد.
پ) عناصر مختلف و وي‍ژگي هاي آنها
پ-1) عناصر خرپايي: از اين عنصر در تحليل خرپاها استفاده مي شود.
- مولفه هاي تغييرمكان: u(x)= تغييرمكان در امتداد طول ميله ( x در طول عنصر تغيير مي كند)، – در هر گره يك درجه آزادي وجود دارد.

42. - تابع تغيير مكان ( عنصر یک بعدی می باشد) :
- مولفه كرنش :
- مولفه تنش: ( كه در سرتاسر ميله در هر مقطعي يكنواخت مي باشد).
(تمامي مولفه هاي ديگر تنش صفر مي باشند).
ماتريس مصالح C: [E ]
- نحوه انتگرال گيري:

43. مثال الف : تحلیل عناصر محدود یک خرپا
مثال الف : تحلیل عناصر محدود یک خرپا
مشخصات خرپا:
E= , ν = , L = 100 (طول هر عضو) , P = , A=5

44. از روش مدل های مختصات تعمیم یافته استفاده می کنیم.,
از روش مدل های مختصات تعمیم یافته استفاده می کنیم.
ماتریس سختی عناصر 7 و 1 و 2 در مختصات محلی و کلی
ماتریس سختی عناصر 5 و 6 در مختصات کلی

45. ماتریس سختی عناصر 4 و 3 در مختصات کلی

46. For element (1)
For element (3)
For element (2)
For element (4)

47. For element (5)
For element (7)
For element (6)

48. حل توسط برنامه ABAQUS
حل دستی عناصر محدود
تغییر مکان
گره U1
گره V1
گره 2- U2
گره 2-V2

49. مثال ب: تحلیل عناصر محدود یک خرپا
مشخصات خرپا:
E= , ν = , L = 100 (طول هر عضو) , P = , A=5

50. از روش مدل های مختصات تعمیم یافته استفاده می کنیم.,
از روش مدل های مختصات تعمیم یافته استفاده می کنیم.
ماتریس سختی عناصر 7 و 1 و 6 در مختصات محلی و کلی
ماتریس سختی عناصر 5 و 4 در مختصات کلی

51. ماتریس سختی عناصر 2 و 3 در مختصات کلی

52. For element (1)
For element (3)
For element (2)
For element (4)

53. For element (5)
For element (7)
For element (6)

55. حل توسط برنامه sap
حل دستی عناصر محدود
تغییر مکان
0.1038
گره U1
0.0027
گره V1
0.0857
گره 4- U2
-0.028
گره 4-V2
0.1104
گره 5- U2
--0.12
گره 5-V2