ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID
POGLAVJE 5 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 1

Do sedaj smo preučevali kinematiko kontinuuma, opis stanja napetosti in zapis petih zakonov klasične termodinamike in mehanike za kontinuum. - ohranitev mase ohranitev gibalne količine ohranitev vrtilne količine ohranitev energije entropijsko neenačbo Opisane enačbe niso dovolj za popis obnašanja specifične snovi pod vplivom sil. Iz izkušenj vemo, da je vpliv enakih sil npr. na železo drugačen kot npr. vpliv enakih sil na vodo. Vpliv sil pa je lahko celo odvisen od smeri in velikosti sil. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Velik razred snovi, pri katerih deformacija izgine s tem, ko izgine vpliv sil, imenujemo elastični materiali. Nad neko velikostjo sil ostrane permanentna deformacija. V tem primeru se snov obnaša plastično. V tem poglavju obravnavamo: - konstitucijske zveze za linearno elastično snov. - nekatere izbrane probleme s področja linearnih elastičnih snovi. - razred problemov z ravninskimi deformacijami in napetostmi. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.1 MEHANSKE LASTNOSTI Najprej obravnavajmo nekaj tipičnih laboratorijskih mehanskih eksperimentov. Iz snovi izrežemo prizmatični vzorec s prečno površino . Snov statično obremenimo s silo v osni smeri, velikosti Merimo podaljšek v osni smeri 0A - linearni elastični režim. Vzorec se po vplivu sile povrne v 0 ABBC - plastični režim. Vzorec se po vplivu sile povrne v točko C Snov se po plastični deformaciji običajno utrdi. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

V smislu od laboratorijskih razmer čimbolj neodvisnega popisa problema, rišemo naslednjo krivuljo napetost osna relativna deformacija Napetost v odvisnosti od relativne osne deformacije. Naklon daljice 0A imenujemo Youngov modul. za jekla Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Pri nateznem poskusu pa lahko merimo tudi spremembo prečne dimenzije
Deformacije kovin v elastičnem režimu so relativno majhne, reda velikosti Pri nateznem poskusu pa lahko merimo tudi spremembo prečne dimenzije vzorca v odvisnosti od sile. Relativna prečna (radialna) deformacija je Eksperimenti pokažejo, da je razmerje v primeru majhnih deformacij (se skrči, zato minus) Razmerje imenujemo Poissonovo število in ga označimo z Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 6

Tipično Poissonovo število za železo je 0,3. V primeru, ko ima vzorec, ki ga obravnavamo, različne lastnosti glede na orientacijo, iz katere je bil izrezan iz bloka, je material anizotropen. Tipični primeri anizotropnih snovi so les valjana jeklena plošča biološka tkiva V nasprotnem primeru je material izotropen. V primeru, ko ima vzorec, ki ga obravnavamo, različne lastnosti glede na položaj iz katerega je bil izrezan iz bloka, je snov nehomogena. Npr. ulita jeklena brama. V nasprotnem primeru je snov homogena. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Nadalje lahko snov testiramo s hidrostatično napetostjo. V tem primeru je napetost oblike Količino za jekla imenujemo elastični modul. Naslednji poskus nam da novo snovno konstanto. Krožni valj z dolžino zvijemo za kot ko uporabimo navor Strižni modul definiramo kot za jekla Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

V nadaljevanju nas zanima, koliko takšnih neodvisnih eksperimentov lahko naredimo za elastično snov. Koliko neodvisnoh snovnih lastnosti lahko pripišemo snovi, ki se obnaša elastično? Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.2 LINEARNA ELASTIČNA TRDNINA
V prejšnjem poglavju obravnavani eksperimenti imajo naslednje skupne štiri značilnosti Zveza med silo in deformacijo je linearna. Hitrost uporabe sile ne vpliva na deformacijo. Po odstranitvi sile deformacija povsem izgine. Deformacija je zalo majhna. Zgornje značilnosti uporabimo za definicijo linearno elastične ali Hookove snovi. Osnovna predpostavka za takšno snov je Pri čemer je Cauchijev napetostni tenzor Infinitezimalni deformacijski tenzor Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 10

Če je relacija med Cauchijevim napetostnim tenzorjem in infinitezimalnim deformacijskim tenzorjem linearna, lahko zapišemo Opisanih devet enačb lahko v kompaktni obliki zapišemo kot Tenzorja in sta tenzorja drugega reda. Tenzor je tenzor četrtega reda, ki ga imenujemo tenzor elastičnosti. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Tenzor elastičnosti se transformira iz baze v bazo kot Če je telo homogeno je neodvisen od položaja. V tem poglavju obravnavamo zgolj homogena telesa. V celoti tenzor vsebuje 81 (9x9) koeficientov. Ker je tenzor simetričen, lahko vedno kombiniramo dva člena v en člen. Na ta način postane en neodvisen koeficient. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Zaradi simetrije infenitezimalnega deformacijskega tenzorja mora imeti tenzor elastičnosti naslednjo lastnost Na ta način zmanjšamo število neodvisnih koeficientov iz 81 na 54. Zaradi simetrije Cauchijevega napetostnega tenzorja mora imeti tenzor elastičnosti naslednjo lastnost Sledi Ta enačba zmanjša število neodvisnih koeficientov iz 54 na 36. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Nadalje predpostavimo, da je koncept elastičnosti povezan z obstojem notranje energije, imenovane tudi energijska funkcija deformacije, ki je pozitivno definitna funkcija deformacijskih komponent Zaradi te predpostavke lahko pokažemo Na ta način nadalje zmanjšamo število neodvisnih koeficientov elastičnega tenzorja s 36 na 21. Če nadalje predpostavimo, da je snov izotropna, nam preostaneta samo 2 neodvisna koeficienta. V primeru anizotropne monoklinične snovi imamo 13 neodvisnih koeficientov. V primeru anizotropne ortotropne snovi 9 koeficientov in v primeru anizotropne transverzno izotropne snovi 5 koeficientov. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

SPECIFIČNA OBLIKA ELASTIČNEGA TENZORJA ZA IZOTROPNO SNOV Identični tenzor je edini izotropni tenzor drugega reda. Iz njega lahko naredimo naslednje izotropne tenzorje četrtega reda. Elastični tenzor izrazimo s tremi izotropnimi tenzorji četrtega reda Kjer so konstante. Zaradi zgornje oblike lahko zapišemo Označimo in dobimo ali dilatacija Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

V brezkoordinatni obliki lahko zapišemo Po komponentah lahko zapišemo Zgornje enačbe predstavljajo konstitucijske zveze za linearno elastično trdnino. Konstanti imenujemo Laméjevi konstanti. Določimo ju z eksperimenti. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.4 YOUNGOV MODUL, POISSONOVO RAZMERJE, STRIŽNI MODUL, TLAČNI MODUL Zvezo med napetostmi in deformacijami za elastično trdnino lahko zapišemo tudi v inverzni obliki. Se pravi, deformacijo v odvisnosti od napetosti. Dobimo (vaje): Izpeljemo (vaje) pa lahko tudi naslednjo zvezo V primeru, ko je samo ena pravokotna komponenta napetosti različna od nič, imenujemo takšno stanje napetosti enoosno. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Enoosno stanje napetosti je dober približek nateznemu poslusu. Enoosno stanje napetosti v smeri lahko zapišemo Za Youngov modul in Poissonovo število dobimo Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Običajno enačbe z Youngovim modulom in Poissonovim številom ter drugo Laméjevo konstanto zapišemo v naslednji obliki Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

V zgornjih enačbah so tri snovne konstante. Vendar sta neodvisni konstanti samo dve. lahko izrazimo iz ali Dobimo pomembno zvezo Tako lahko napišemo samo z dvema konstantama Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

V primeru, da samo dve strižni napetosti nista enaki nič, imenujemo tovrstno stanje napetosti preprosti strig. V tem primeru imamo vidimo, da je druga Laméjeva konstanta strižni modul Tretje stanje napetosti imenujemo hidrostatična napetost. V tem primeru izpeljemo Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Elastični modul je definiran kot Vidimo, da so Laméjeve konstante, Youngov modul, strižni modul, Poissonovo število, in elastični modul vsi povezani! Samo dva od njih pa sta neodvisna pri izotropni elastični snovi! Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Zbirka relacij med med Laméjevimi konstantami, Youngovim modulom,
strižnim modulom, Poissonovim številom in elastičnim modulom. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 23

Zbirka elastičnih snovnih lastnosti za nekatere snovi
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 24

5.5 POGLAVITNE ENAČBE INFINITEZIMALNE TEORIJE ELASTIČNOSTI
Napišimo Cauchyjevo enačbo gibanja za katerokoli snov Enačba opisuje gibanje delca na položaju V primeru, da obravnavamo samo majhne premike, velja Iz enačbe izračunamo Zanemarimo majhne člene, pa velja Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 25

Diferencial deformiranega volumna izrazimo z diferencialom začetnega volumna (glej kinematiko) kot Zaradi tega sta končni in začetni gostoti oblike To seveda velja samo za majhne pomike. Zaradi tega enačba gibanja za majhne pomike postane Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Kako ugotovimo ali polje premika ustreza elastični snovi?
Polje premika opisuje možno gibanje elastične snovi z majhnimi deformacijami, če zadošča ** Kako ugotovimo, da predstavlja možno gibanje Najprej izračunamo Nato izračunamo Nato vstavimo premike in napetosti v enačbo ** in preverimo, ali velja. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 28

Rob se mora pri tem gibati kot veleva Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.6 NAVIER-OVE ENAČBE GIBANJA ELASTIČNE SNOVI
V tem poglavju izrazimo enačbe gibanja samo s komponentami premika. Te enačbe so poznane kot Navierove enačbe Zaradi tega Upoštevajmo in Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 30

Zardi tega enačba gibanja postane Tri komponente zgornje enačbe so oblike Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Kjer velja V koordinatno invariantni obliki so Navier-ove enačbe gibanja oblike Ali Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.7 NAVIER-OVE ENAČBE GIBANJA ELASTIČNEGA MEDIJA V
CILINDRIČNIH IN SFERIČNIH KOORDINATAH Še ni opisano. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 33

Imejmo dve polji premika
5.8 NAČELO SUPERPOZICIJE Imejmo dve polji premika zaradi volumskih sil Naj bosta ustrezni napetostna polji. Potem za elastični medij velja Seštevanje zgornjih dveh enačb da Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 34

Iz zgornje enačbe jasno sledi, da polje premika ustreza volumski sili ter napetosti Sile na površini, potrebne za vzpostavitev premika, so Opisano predstavlja princip superpozicije. Princip je praktičen, ker lahko problem razcepimo na več podproblemov in rešimo vsakega izmed podproblemov posebej. Na koncu pa rešitve seštejemo. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

RAVNINSKI ELASTIČNI VALOVI
RAVNINSKI NEVRTINČNI VALOVI Še ni opisano. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 36

5.10 RAVNINSKI IZOHORNI VALOVI

5.11 ODBOJ RAVNINSKIH ELASTIČNIH VALOV

5.12 VIBRACIJE NESKONČNE PLOŠČE

A.2 PREPROSTI NATEG, TORZIJA IN UPOGIBANJE

5.13 PREPROSTI NATEG Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 41

5.13 PREPROSTI NATEG Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 42

5.14 TORZIJA KROŽNEGA VALJA

On the lateral surface, the unit normal vector is given by ; therefore, the surface traction on the lateral surface is , Thus on the lateral surface, Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 45

On the right end face, That is, On the left end face, , Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 46

On the faces , the components of the resultant force are given by Components of the resultant moment are given by The resulting moment is where Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 47

The resultant moment on the left end face is clearly , a moment equal in magnitude and opposite in direction to that on the right end face so that indeed, the bar is in equilibrium, under a twisting action. We recall that Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 48

5.15 TORZIJA NEOKROGLEGA VALJA: ST. VENANTOV PROBLEM

5.16 TORZIJA ELIPTIČNEGA VALJA

5.17 PRANDTLOVA FORMULACIJA TORZIJSKEGA PROBLEMA
The function is known as Prandtl’s stress function. The only equation of equilibrium that needs to be checked is the equation: Substituting the above stress components into it, we obtain The stress function and the warping function defined for the displacement field in the last section. Prandtl’s stress function is related to the warping function by Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 52

This equation provides a relationship between the stress function and the angle of twist per unit length is known as the Poisson Equation. To derive the boundary condition for , we let the lateral surface be described by Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 53

The normal to the lateral surface is The boundary condition becomes That is, is parallel to Since is perpendicular to the surface, so is , which is also perpendicular to = constant. Thus, Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 54

We can choose the constant C to be zero. Thus, in summary, in Prandtl’s formulation, the torsion problem is reduced to The twisting moment is given by Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 55

where and are the two end points (on the boundary) along a constant line, and and are the two extreme boundary points for the region of integration. Thus, since on the boundary, we have Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 56

5.18 TORZIJA PRAVOKOTNE PRIZME
Let the cross-section be defined by and We seek a solution of the stress function satisfying the boundary value problem Boundary conditions Due to symmetry of the problem, the stress function will clearly be an even function of and Thus, we let Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 57

This choice of clearly satisfies the boundary condition at Substituting the preceding equation, we obtain From Fourier analysis Comparing the preceding two equations, we have Which is: Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 58

For to be an even function of , the constant A must be zero. The boundary condition that at then gives: The maximum shearing stress occurs at the midpoint of the longer sides, given by Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 59

The relation between the twisting moment and the twisting angle per unit length is given by For a very narrow rectangle we have Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 60

5.19 ČISTO UPOGIBANJE NOSILCA
To satisfy equilibrium in the absence of body forces, we must have That is, The corresponding strains are Substituting the strains into the compatibility equations we obtain Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 61

It can be satisfied only if T11 is a linear function of the form We shall take because it corresponds to the state of stress in simple extension. With , let us evaluate the surface traction on the boundaries of the bar. On the lateral surface, the normal vector does not have a component in the direction, i.e., As a consequence, Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 62

On the right end face, , so that This distribution of surface tractions gives rise to zero resultant force, as shown With the resultant force being zero, the resultant is a couple at (the right face) with Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 63

We now assume, without any loss of generality, that we have chosen the and axes to coincide with the principal axes of the cross-sectional area. Then the product of second moment In this case, from The stress component is known as the flexural stress Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 64

For simplicity we let The strain components are then Using strain-displacement relations, , can be integrated to give the following displacement field where are constants Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 65

A.3 REŠITVE RAVNINSKIH NAPETOSTNIH IN DEFORMAFCIJSKIH PROBLEMOV Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.20 REŠITVE POVEZANE Z RAVNINSKO DEFORMACIJO
Telo je v stanju ravninske deformacije pri naslednjih predpostavkah telo ima v smereh enako obliko, ne glede na koordinato na zunanjih stranicah telesa komponente sil na površini nimajo osne komponente. na končnih ravninah ni deformacije v smeri. Površina se lahko prosto giba. Iz tega sledi Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 67

Za to stanje deformacije so od nič različne komponente napetosti
Iz Hookovega zakona sledi Oziroma Ta komponenta napetosti je potrebna zato, da ohranimo nično osno deformacijo. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 68

5.20 REŠITVE RAVNINSKE DEFORMACIJE
Ravninsko deformacijo lahko opišemo tudi z naslednjim poljem premika V primeru, da imamo statično stanje napetosti in v primeru, da nimamo volumskih sil, lahko zapišemo Zadnja enačba je trivialno zagotovljena. Prvi dve enačbi pa sta zagotovljeni, če ju izrazimo iz skalarne funkcije , ki jo imenujemo Airijeva napetostna funkcija Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 69

Vendar napetostne komponente, ki jih dobimo na ta način, niso vse primerne kot možne elastične rešitve. Zaradi tega, ker so lahko nekompatibilne. Nekompatibilnost pomeni, da ni možno najti komponente premika, ki so kompatibilne s komponentami napetosti. Za zagotovitev kompatibilnosti deformacijskih komponent najprej izpeljemo deformacijske komponente iz na naslednji način. * Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

V primeru ravninske deformacije je edina komponenta napetosti, ki ni avtomatično zadoščena ** Substitucija zgornjih enačb * v enačbo **, da Funkcija , ki zadosti zgornji biharmonični enačbi, generira elastostatično rešitev. Pokažemo lahko tudi Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Zgornjo enačbo lahko napišemo tudi v obliki Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.21 ZVIJANJE PRAVOKOTNEGA NOSILCA
Consider a rectangular beam whose length is defined by and whose height by and whose width by Let us try the following Airy stress function for this beam: Clearly, this function satisfies the biharmonic equation, so that it will generate a possible elastic solution (a) If the beam is constrained by frictionless walls at , then Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 73

On the end faces and , the surface tractions are given by and , respectively. These surface tractions are clearly equivalent to equal and opposite bending couples at and In fact, the magnitude of the bending moment is given by The nonzero stress components are: Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 74

(b) If the beam is unconstrained at , we need to remove the surface traction at from the beam. This is done by applying on the end faces in the problem of part (a), a surface traction Being linear in , the effect of this surface traction is simply a stress field, where is the only nonzero stress component Thus, we have, for the beam that is free to move in the width – direction, Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 75

5.22 RAVNINSKI NAPETOSTNI PROBLEM
Imejmo tanko ploščo s ploskvama, pravokotnima na os. Plošča naj bo v stanju ravninske deformacije. Zgornje stanje napetosti v splošnem ne daje elastične rešitve, razen v posebnih primerih. Napake, ki jih naredimo pri komponentah napetosti so reda velikosti , kjer je debelina plošče. Enačbe ravnovesja zagotovimo z vpeljavo Airijeve napetostne funkcije, ki jo ponovimo Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 76

Komponente deformacije so Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Če hočemo, da so te komponente deformacije kompatibilne, morajo zadoščati kompatibilnostnim pogojem. Ti pogoji so, zapisani z Airijevo napetostno funkcijo Kompatibilnostni pogoji pa tudi določajo Sledi, da mora biti linearna funkcija in Ker velja Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Zato mora biti tudi linearna funkcija in V tem primeru je ravninsko stanje napetosti možno za telo katerikoli debeline v smeri V primeru pa, ko ni linearna funkcija in , potem je stanje ravninske napetosti dobra aproksimacija, če je telo dovolj tanko. Pri tem so napake reda velikosti , kjer je brezdimenzijska debelina telesa. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.23 CANTILEVER BEAM WITH END LOAD
Consider a rectangular beam, whose cross-section is defined by and and whose length, by , with the origin of the coordinates located at the center of the left cross-section Let us try the following Airy stress function ’ for this beam. The in-plane stresses are Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 80

On the boundary planes , we demand that they are traction-free. Thus On the boundary plane , the surface traction is given by Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 81

There is a parabolic distribution of shear stress on the end face Let the resultant of this distribution be denoted by , then In terms of , the in-plane stress components are where is the second moment of the cross-section. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 82

If the beam is in a plane strain condition, there will be normal compressive stresses on the boundary whose magnitude is given by The nonzero strain components are Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 83

Since is not a linear function of and , it cannot be simply removed from the equation to give a plane stress solution without affecting the other stress components. If the beam is very thin, then a good approximate solution for the beam is The nonzero strain components are and The strain is of no interest since the plate is very thin and the compatibility conditions involving are not satisfied. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 84

5.24 SIMPLY SUPPORTED BEAM UNDER UNIFORM LOAD
Consider a rectangular beam, its length defined by , its height by , and its width by The origin of the coordinates is at the center of the beam. Let us try the following Airy stress function for this beam, The stress components are Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 85

Let the bottom of the beam be free of any traction. That is, at . Then Let the top face of the beam be under a uniform compressive load That is, at , then, Thus, On the left and right end faces, the surface tractions on each face are equivalent to a vertical resultant force only. These are known as the weak conditions for the beam, which is freefrom normal stresses at For a beam with large ,the stresses obtained under the weak conditions are the same as those under the conditions Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 86

is an odd function of ; therefore, That is, the resultant force is zero on both ends. We now impose the condition that there are no resultant couples, either. That is, we require that Now, Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 87

5.25 KONCENTRIRANO OBREMENJENI VITKI NOSILEC IN ST. VENANTOV PRINCIP
Consider a thin bar defined by where and are very small. The bar is acted on by equal and opposite compressive concentrated load at the long ends We wish to determine the stress distribution inside the bar and to demonstrate the validity of St. Venant’s principle. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 88

A concentrated line compressive force at on the planes can be described as , where and is the Dirac function, having the dimension of reciprocal length. Now, can be expressed as a Fourier Cosine series as We look for solutions of the Airy stress function in the form of Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 89

The function will now be determined so that the biharmonic equation is satisfied Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 90

5.26 KONVERZIJA MED NAPETOSTMI IN DEFORMACIJAMI V RAVNINSKEM PRIMERU
Deformacijske komponente so v primeru ravninskega stanja deformacije, izražene s strižnim modulom in Poissonovim številom, oblike Za ravninsko stanje napetosti Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 95

Če imamo In zgornje enačbe na prejšnji strani se spremenijo v spodnje enačbe na prejšnji strani. Po drugi strani pa velja In spodnje enačbe se spreminijo v zgornje enačbe. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.27 DVO-DIMENZIONALNI PROBLEMI V POLARNIH KOORDINATAH

5.28 PORAZDELITEV NAPETOSTI SIMETRIČNA OKOLI OSI

5.29 PREMIKI ZA SIMETRIČNO PORAZDELITEV NAPETOSTI V PRIMERU
RAVNINSKE NAPETOSTI Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 99

5.30 DEBELOSTENSKI KROŽNI VALJ POD ZUNANJIM IN NOTRANJIM PRITISKOM

5.31 ČISTO ZVIJANJE UKRIVLJENEGA NOSILCA

5.32 ZAČETNA NAPETOST ZAVARJENEGA OBROČA

5.33 AIRIJEVA NAPETOSTNA FUNKCIJA

5.34 KONCENTRACIJA NAPETOSTI ZARADI MAJHNE KROŽNE
LUKNJE V PLOŠČI VSLED VLEKA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 104

5.34 KONCENTRACIJA NAPETOSTI ZARADI MAJHNE KROŽNE
LUKNJE V PLOŠČI VSLED STRIGA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 105

5.36 PREPROSTA RADIALNA DISTRIBUCIJA NAPETOSTI V VOGALU,
OBREMENJENEM V KOTU Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 106

5.37 KONCENTRIRANA LINIJSKA OBREMENITEV V
DVO-DIMENZIONALNI POL-RAVNINI: FLAMONTOV PROBLEM Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 107

A.4 ELSATOSTATIČNI PROBLEMI REŠENI S POTENCIALNIMI FUNKCIJAMI
5.38 FUNDAMENTALNE POTENCIALNE FUNKCIJE PRI ELASTOSTATIČNIH PROBLEMIH Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 108

5.38 FUNDAMENTALNE POTENCIALNE FUNKCIJE PRI ELASTOSTATIČNIH PROBLEMIH

5.39 KELVINOV PROBLEM: KONCENTRIRANA SILA V NOTRANJOSTI
NESKONČNEGA ELASTIČNEGA MEDIJA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 111

5.40 BOUSSINESQOV PROBLEM: NORMALNA KONCENTRIRANA SILA
NA ELASTIČNI POLPROSTOR Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 112

5.41 VOTLA KROGLA Z UNIFORMNIM ZUNANJIM IN NOTRANJIM TLAKOM

5.43 SFERIČNA LUKNJA V POLJU NATEGA

5.44 VTIS TOGEGA RAVNEGA VTISKOVALCA NA ELASTIČNI POL-PROSTOR

5.45 VTISK TOGE KROGLE NA ELASTIČNI POL-PROSTOR

5A.1 REŠITEV INTEGRALSKIH ENAČB IZ DELA 5.45

MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 118 118

POGLAVJE 5 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.1 MEHANSKE LASTNOSTI Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.2 LINEARNA ELASTIČNA TRDNINA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.3 IZOTROPNA LINEARNA ELASTIČNA TRDNINA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.4 YOUNGOV MODUL, POISSONOVO RAZMERJE, STRIŽNI MODUL, TLAČNI MODUL Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.5 ENAČBE INFINITEZIMALNE TEORIJE ELASTIČNOSTI Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.6 NAVIER-OVE ENAČBE GIBANJA ELASTIČNEGA MEDIJA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.7 NAVIER-OVE ENAČBE GIBANJA ELASTIČNEGA MEDIJA V CILINDRIČNIH IN SFERIČNIH KOORDINATAH Not yet. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.8 NAČELO SUPERPOZICIJE Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

RAVNINSKI ELASTIČNI VALOVI RAVNINSKI NEVRTINČNI VALOVI Skip the whole A chapter. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.10 RAVNINSKI IZOHORNI VALOVI Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.11 ODBOJ RAVNINSKIH ELASTIČNIH VALOV Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.12 VIBRACIJE NESKONČNE PLOŠČE Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

A.2 PREPROSTI NATEG, TORZIJA IN UPOGIBANJE 5.13 PREPROSTI NATEG Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.14 TORZIJA KROŽNEGA VALJA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.15 TORZIJA NEOKROGLEGA VALJA: ST. VENANTOV PROBLEM Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.16 TORZIJA ELIPTIČNEGA VALJA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.17 PRANDTLOVA FORMULACIJA TORZIJSKEGA PROBLEMA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.18 TORZIJA PRAVOKOTNE PRIZME Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.19 ČISTO UPOGIBANJE NOSILCA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

A.3 REŠITVE RAVNINSKIH NAPETOSTNIH IN DEFORMAFCIJSKIH PROBLEMOV 5.20 REŠITVE RAVNINSKE DEFORMACIJE Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.21 ZVIJANJE PRAVOKOTNEGA NOSILCA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.22 RAVNINSKI NAPETOSTNI PROBLEM Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.25 KONCENTRIRANO OBREMENJENI VITKI NOSILEC IN ST. VENANTOV PRINCIP Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.26 KONVERZIJA MED NAPETOSTMI IN DEFORMACIJAMI V RAVNINSKEM PRIMERU Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.27 DVO-DIMENZIONALNI PROBLEMI V POLARNIH KOORDINATAH Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.28 PORAZDELITEV NAPETOSTI SIMETRIČNA OKOLI OSI Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.29 PREMIKI ZA SIMETRIČNO PORAZDELITEV NAPETOSTI V PRIMERU RAVNINSKE NAPETOSTI Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.30 DEBELOSTENSKI KROŽNI VALJ POD ZUNANJIM IN NOTRANJIM PRITISKOM Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.31 ČISTO ZVIJANJE UKRIVLJENEGA NOSILCA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.32 ZAČETNA NAPETOST ZAVARJENEGA OBROČA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.33 AIRIJEVA NAPETOSTNA FUNKCIJA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.34 KONCENTRACIJA NAPETOSTI ZARADI MAJHNE KROŽNE LUKNJE V PLOŠČI VSLED VLEKA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.34 KONCENTRACIJA NAPETOSTI ZARADI MAJHNE KROŽNE LUKNJE V PLOŠČI VSLED STRIGA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.36 PREPROSTA RADIALNA DISTRIBUCIJA NAPETOSTI V VOGALU, OBREMENJENEM V KOTU Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.37 KONCENTRIRANA LINIJSKA OBREMENITEV V DVO-DIMENZIONALNI POL-RAVNINI: FLAMONTOV PROBLEM Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

A.4 ELSATOSTATIČNI PROBLEMI REŠENI S POTENCIALNIMI FUNKCIJAMI 5.38 FUNDAMENTALNE POTENCIALNE FUNKCIJE PRI ELASTOSTATIČNIH PROBLEMIH Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.39 KELVINOV PROBLEM: KONCENTRIRANA SILA V NOTRANJOSTI NESKONČNEGA ELASTIČNEGA MEDIJA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.40 BOUSSINESQOV PROBLEM: NORMALNA KONCENTRIRANA SILA NA ELASTIČNI POLPROSTOR Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.41 VOTLA KROGLA Z UNIFORMNIM ZUNANJIM IN NOTRANJIM TLAKOM Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.43 SFERIČNA LUKNJA V POLJU NATEGA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.44 VTIS TOGEGA RAVNEGA VTISKOVALCA NA ELASTIČNI POL-PROSTOR Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5.45 VTISK TOGE KROGLE NA ELASTIČNI POL-PROSTOR Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5A.1 REŠITEV INTEGRALSKIH ENAČB IZ DELA 5.45 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID 163

ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Similar presentations

Presentation on theme: "ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID"— Presentation transcript:

Similar presentations

About project

Feedback

Log in

Auth with social network:

ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

Similar presentations

Presentation on theme: "ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID"— Presentation transcript:

Similar presentations

About project

Feedback