1. دکتر حسين بلندي/ دکتر سید مجید اسماعیل زاده / دکتر بهمن قربانی واقعی
بسم ا... الرحمن الرحيم
درس کنترل ديجيتال
مهر 1391
دکتر حسين بلندي/ دکتر سید مجید اسماعیل زاده / دکتر بهمن قربانی واقعی

2. فصل پنجم مقدمه ”تحليل فضاي حالت“
در فصل هاي سوم و چهارم تمركز بر روي قيد Conventional براي تحليل و طراحي سيستم هاي كنترل بود. اينگونه روش هاي كنترلي از قبيل مكان هندسي ريشه ها و پاسخ فركانسي فقط براي سيستم هاي SISO كارآيي دارند. اگرچه اينگونه متدها بسيار ساده و داراي محاسبات اندكي مي باشند اما كارآئيشان براي سيستم هاي مستقل از زمان SISO مي باشد. در اينگونه سيستم ها تمركز بر روي ارتباط بين خروجي و ورودي سيستم يعني تابع تبديل يا تابع تبديل پالسي سيستم مي باشد. اينگونه روش ها براي سيستم هاي غيرخطي مگر بسيار ساده و همچنين براي سيستم هاي Optimal و سيستم هائي كه در بسياري مواقع وابسته به زمان يعني Time-Varying يا غيرخطي هستند كارآيي نداشتند.

3. در سيستم هاي كنترل مدرن، سيستم ها داراي تعدادي ورودي و خروجي هستند كه گاهي بصورت پيچيده بهم مربوط مي باشند. لذا براي تحليل و طراحي اينگونه سيستم ها بايد از روابط خسته كننده رياضي عدول نموده و يك حالت سيستماتيك را اثبات نمود.
بيشتر سيستم هاي كنترل مدرن به سيستم هاي كنترل ديجيتال تبديل مي شوند. در نتيجه متدهاي فضاي حالت، بهترين روش ها براي بررسي، تحليل و طراحي اينگونه سيستم هاست.
در واقع فضاي حالت به طراح اين فرصت را مي دهد كه سيستم را با توجه به شاخص هاي كيفيت عملكرد مورد طراحي قرار دهد. همچنين در اين متدها طراحي براي يك كلاس از ورودي ها بجاي يك ورودي خاص انجام مي پذيرد.

4. تعاريف
State حالت : حالت يك سيستم ديناميك عبارت است از كوچكترين مجموعه از متغيرها (متغيرهاي حالت) كه داشتن اين متغيرها در و داشتن ورودي براي ، با هم مي توانند رفتار سيستم را براي هر زمان ، مشخص و معين نمايند. بايد توجه داشت كه مفهوم حالت فقط براي سيستم هاي فيزيكي بكار گرفته نمي شود بلكه براي هر سيستم مانند سيستم هاي Biological، Economical، و اجتماعي نيز بكار گرفته مي شود.
متغيرهاي حالت = State Variables : عبارتند از كوچكترين مجموعه اي از متغيرها كه حالت=State يك سيستم ديناميك را تشكيل مي دهند. اگر حداقل n متغير را مورد نياز داريم تا رفتار سيستم را تعريف كنيم اين n متغير را متغيرهاي حالت مي ناميم.

5. بردار حالت State Vector : اگر n متغير حالت براي تعريف كامل رفتار يك سيستم مورد نياز است، آنگاه n متغير حالت را مي توان، n جزء بردار دانست. اين بردار را بردار حالت مي ناميم.
فضاي حالت (State Space) : فضاي n بعدي كه محورهاي مختصات آن عبارتند از: را فضاي حالت مي ناميم. هر حالت را مي توان توسط يك نقطه در فضاي حالت نمايش داد.
معادلات فضاي حالت : در معادلات فضاي حالت با سه متغير براي مدل كردن يك سيستم روبرو هستيم: متغيرهاي ورودي، متغيرهاي خروجي و متغيرهاي حالت.

6. معادلات فضاي حالت
براي يك سيستم وابسته به زمان،Time-Varying ، گسسته (خطي يا غيرخطي) معادلات فضاي حالت عبارتند از:
و معادله خروجي عبارت است از:
براي سيستم هاي گسسته زمان خطي وابسته به زمان، معادلات حالت و معادله خروجي عبارت است از:

7. و در بردار حالت بردار خروجي بردار ورودي ماتريس حالت ماتريس ورودي
ماتريس خروجي
ماتريس انتقال مستقيم
نمايانگر Time-Varying بودن و در
حضور
سيستم است.

8. اگر سيستم Time-Invariant يا ثابت باشد:
State Space Representation of Discrete-Time Systems
سيستم كنترل Discrete زير را در نظر بگيريد.
تابع تبديل پالسي (*) عبارت است از:

9. يا چندين روش براي بدست آوردن معادلات فضاي حالت اين تابع تبديل پالسي
وجود دارند:
1) برنامه سازي مستقيم
Controllable Canonical 1- Direct Programming Method
2) برنامه سازي تو در تو
Observable Canonical 2- Nested Programming Method
3) گسترش كسرهاي جزئي
Jordan Canonical 3- Partial Fraction Expansion Method

10. Direct Programming Method Or Controllable Canonical Form

11. از اين معادله مي توان دو معادله زير را بدست آورد:

12. Let’s define state variables as:

13. را مي توان اينگونه نوشت:
معادله
بنابراين:

14. مدل فضای حالت ( ) k u x a n ú û ù ê ë é + - = 1 2 M L

16. Controllable Canonical Form
مي توان متغيرهاي حالت را بشرح زير تعريف نمود:

17. Controllable Canonical Form

19. اين متغيرها بصورت زير بهم مرتبط مي شوند:

20. Nested Programming Method Or Observable Canonical Form
در اين متد هم نيازي به فاكتور كردن مخرج تابع تبديل پالس نيست.

21. Now let’s define state variables:

22. را مي توان اينگونه نوشت:
بر اين اساس معادله
خواهيم داشت:
و ضرب طرفين در در
با قرار دادن معادله

23. از معادلات فوق در جهت معكوس خواهيم داشت:
با عكس تبديل

24. بنابراين در فرم ماتريسي داريم:

26. مي توان متغيرهاي حالت را بشرح زير تعريف نمود:

27. بنابراين در فرم ماتريسي داريم:

28. Partial-Fraction-Expansion
در اين روش مخرج تابع تبديل پالسي را بصورت فاكتوري در مي آوريم .

29. حالت اول- تمام قطبها متمايز هستند:
Let’s define:

30. Can be written as:

31. From

33. ، حالت دوم- وجود قطبهاي تکراري: مرتبه تكرار شده و بقيه قطب ها
حالت دوم- وجود قطبهاي تکراري: ،
مرتبه تكرار شده و بقيه قطب ها
فرض كنيد كه قطب
همگي متمايز باشند:

34. بنابراين:
Let’s define: و

35. معادله حالت اول با حالت بعدي خود داراي ارتباط زير هستند:
بگيريم آنگاه:
عكس تبديل
لذا اگر از معادله

36. From

38. Non-Uniqueness of State-Space Representation
همانگونه كه ملاحظه شد، مي توان با توجه به يك تابع تبديل پالسي، فرم هاي مختلفي از معادلات حالت را تعريف نمود. به هر حال كليه فرم هاي ارائه شده با توجه به Similarity Transformation به هم مربوطند:
Consider:
Let’s define:
Where
is a non-singular matrix
Exists

39. با هم Similar هستند. و

40. دو ماتريس مشابه يكديگرند اگر :
1) A و B داراي يك مرتبه باشند.
2) ماتريس
بنحوي وجود داشته باشد كه:
خواص: 1) داراي دترمينان مساوي هستند.
2) داراي معادله مشخصه برابر هستند.
3) داراي مقادير ويژه مساوي مي باشند.
بايد توجه داشت كه:
1) اگر قطب هاي G متمايز باشند:
2) اگر قطب هاي G تكراري باشند: