1. درس کنترل ديجيتال مهر 1391 بسم ا... الرحمن الرحيم
دکتر بهمن قربانی واقعی

2. کنترل پذيري
اگر سيستم:
سيستم فوق را بطور کامل کنترل پذيريا کنترل پذيرحالت مي گوييم که اگر يک سيگنال ورودي
بنحوي وجود داشته باشدکه:
U (kT): -piecewise continuous (1)
-Defined over a finite # of sampling time (2)

3. با توجه به تعريف، شرط کنترل پذيري را بشرح زير تعريف کرديم:
پس اگر از هر حالت اوليه بتوانيم حالت X(KT) را به هر حالت دلخواه در n دوره نمونه برداری منتقل کنيم.(Xf يک arbitrary state در فضاي n بعدي شامل originمی باشد).
با توجه به تعريف، شرط کنترل پذيري را بشرح زير تعريف کرديم:
By definition:

4. هرکدام از ستونهاي يک بردار ستوني مي باشند ، پس اگر رتبه ماتريس
هرکدام از ستونهاي يک بردار ستوني مي باشند ، پس اگر رتبه ماتريس
بعدي را فرا گيرد. اين ماتريس را
n ميتواند کل فضاي
بردار n پس،
ماتريس کنترل پذيري مي گوييم.
بايد توجه داشت که تمام حالاتي را که مي توان ازمبدأ به آنها دسترسي پيدا نمود، توسط ماتريس کنترل پذيري (ستونهاي آنها) فرا گرفته ميشوند. به عبارت ديگر:
را که مي توان ستونهاي ماتريس کنترل پذيري است که دسترسي به حالاتي spanning فرا گيري
ازمبدأ به آنها دسترسي پيدا نمود را فراهم ميسازد.

5. u((n-1)T),…,u(T),u(0) لذا: اگر ، يک سلسله سيگنالهاي ورودي
پس براي هر حالت دلخواه
u((n-1)T),…,u(T),u(0)
را تأمين مي نمايد.(**)
هستند بنحوي وجود دارد که معادله
Unbounded که همگي
پس شرط
جهت تست كنترل پذيري، شرط كافي است.
که همچنين شرط لازم براي تست کنترل پذيري کامل است، (**)براي آنکه ثابت کنيم
فرض مي کنيم که :

6. ميتواند بعنوان يک تركيب خطي از
دلخواه عبارتi سپس با استفاده از قضيه كيلي-هميلتون، مي توان نشان داد که براي هر
ميتواند بعنوان يک تركيب خطي از
شرح داده مي شود، لذا براي هر i
بعدي را فرا گيرند ودر نتيجه n
نمي توانند کل فضاي
خواهد بود وبردارهاي
ها. i براي تمام
ممکن نيست که داشته باشيم
براي هر
پس شرط
شرط لازم براي کنترل پذيري نيز هست.

7. در نتيجه: شرط لازم وکافي براي کنترل پذيري آنست که
در نتيجه: شرط لازم وکافي براي کنترل پذيري آنست که
unbounded , u(kT) بايد توجه داشت که اين امر زماني تحقق خواهد يافت که
باشد. براي توضيح بيشتر رجوع شود به piecewise-constant
A6-2
يک بردار باشد، يعني: U (kT)حال اگر
آنست که:
شرط کنترل پذيري ماتريس

8. II. Output controllability
1- گفتيم که در حالتهاي واقعي طراحي، گاهي اوقات بجاي آنکه بخواهيم توسط کنترل حالت، طراحي را بانجام برسانيم، لازم است که با کنترل خروجي اينکار را بانجام برسانيم
2- شرط کنترل پذيري حالت، نه شرط لازم ونه شرط کافي براي کنترل پذيري خروجي است. (3) لذا، لازم است تا کنترل پذيري خروجي را بصورت مجزا تعريف کنيم:

9. پريود نمونه گيري منتقل نماييم. n در فضاي خروجي، حداکثر در دلخواه
U (kT) را بطور کامل کنترل پذيري خروجي مي گوييم که اگر بتوان سيگنال ورودي(E) سيستم
را (بطوريکه
Unconstrained control signal
Defined over a finite # of sampling period
را بتوانيم به نقطه y(kT) شروع کنيم، خروجي y(0) بنا نمود بنحوي که اگر هر خروجي اوليه
پريود نمونه گيري منتقل نماييم. n در فضاي خروجي، حداکثر در دلخواه
PROVE:

10. بايد توجه داشت که نقطه دلخواه
بعدي خروجي است. m نماينده يک نقطه دلخواه در فضاي

11. بعدي خروجي را فرا گيرند، يعني اينکه: بتوانند فضاي
پس همانند حالت کنترل پذيري حالت، شرط لازم و کافي براي کنترل پذيري خروجي آنست که
بردارهاي
بعدي خروجي را فرا گيرند، يعني اينکه:
بتوانند فضاي m
، بطور کامل کنترل پذير حالت باشد، آنگاه شرط لازم و کافي E ميتوان نتيجه گرفت که اگر (E) از سيستم
، مستقل خطي باشند.C رديف ماتريس m براي کنترل پذيري خروجي آنست که
بشرح زير باشد: (E) اگر سيستم

13. شرط لازم و کافي براي کنترل پذيري خروجي آنست که رتبه ماتريس
.همواره مي تواند جهت ايجاد وتأسيس کنترل پذيري خروجي مهم باشد D وجود ماتريس

14. III. Observability را اگر هر حالت اولیه
گفتیم که یک سیستم را بطور کامل مشاهده پذیر می گوییم،
بدست آوریم.Y (kT) over a finite # of sampling period
بتوانیم از مشاهده
اگر سیستم :

15. ورودی سیستم یعنی
هستند و known همگی D,C,H,G از آنجا که ماتریس های
شناخته شده می باشند.
هم شناخته شده است، لذا ترمهای دوم وسوم معادله
U (kT)
،تفریق نمود.پس بنابراین برای
Y(kT)
می توان از تعداد مشاهده شده
بنابراین آنها را
جهت بررسی کافی خواهد بود.
و کافی مشاهده پذیری سیستم
بدست آوردن شرط لازم

16. تعریف :
که Y (Kt) سیستم را بطور کامل مشاهده پذیر می گوییم،اگرخروجی
تعریف شده باشد،بتوان حالت اولیه
Over a finite # of sampling period
را از آن بدست آورد.
X(0)
To prove:
Given :

17. y(0),y(T),y(2T),…
از فضای مشاهده پذیری در می یابیم که مشاهده پذیری یعنی
اگر
را بدست آورد،
باشند، این امر ممکن است که
داده شده
را نیاز داریم.
Y (kT)
مقدار از
n ما فقط مجهول، n
یعنی برای بدست آوردن
مقدار
y((n-1)T),…,y(T),y(0)
یا y (kT) مقدار n لذا ما می توانیم اولین
استفاده کنیم.
را برای بدست آوردن

19. simultaneous
معادله n
است، و در بالا
یک بردار
Y (kT)
از آنجا که
معادله خواهیم داشت.nm
داریم لذا در نتیجه
برای unique برای آنکه یک پاسخ nm از
معادله nm
معادله بدست آوریم، ما باید
، معادله مستقل خطی از
n بتوانیم دقیقاً
بدست آوریم.در نتیجه شرط مشاهده پذیری
آنست كه :

20. با هم برابرند لذا می توان شرط لازم وكافی برای مشاهده پذیری را
conjugate transpose
باید توجه داشت ،از آنجا كه رتبه یك ماتریس و ماتریس
با هم برابرند لذا می توان شرط لازم وكافی برای مشاهده پذیری را
همان ماتریس
بشرح زیر بیان نمود.
شرط لازم وكافی برای مشاهده پذیری سیستم آنست كه:
باشند: real ،G,C اگر

21. - اگر سیستم بفرم جردن باشد، شرط لازم وکافی برای مشاهده پذیری عبارتست از:
(1) درفرم جردن، دو بلوک جردن بستگی به یک مقدار ویژه ندارند.
که مربوط به اولین ردیف هر بلوک جردن هستند، همگی صفر Cs (2) ستونهای
نمی باشند.
که مربوط به یك مقدار ویژه مجزا است،صفر نمی باشد.Cs (3) هیچ ستونی از
مثال:

25. S1 : X ((k+1) T)=G x (kT) +H u (kT)
ارتباط بين مشاهده پذيري وکنترل پذيري:
قانون دوگاني
S1 : X ((k+1) T)=G x (kT) +H u (kT)
Y (kT)=C x (kT)
سيستم دوگان آنرا بشرح زير تعريف مي کنيم:
s2:

26. s2 طور کامل کنترل پذير(مشاهده پذير) است
principle of duality
اگر s1 سيستم مشاهده پذير (کنترل پذير) باشد.
s2 طور کامل کنترل پذير(مشاهده پذير) است
For system s1:
(1) شرط لازم وکافي براي کنترل پذيري عبارتست از:

27. (2) شرط لازم وکافي براي مشاهده پذيري عبارتست از:
For system s2:
(1) شرط لازم وکافي براي کنترل پذ يري عبارتست از:
(2) شرط لازم وکافي براي مشاهده پذيري عبارتست از:

28. در مورد سيستمهايي که از حالت پيوسته به گسسته زمان تغيير يافته اند، بايد توجه داشت که دخيل نمودن نمونه گيري ممکن است که باعث از بين رفتن مشاهده پذيري/ کنترل پذيري سيستم بدست آمده بشود. علت آنهم حذف صفروقطبهاي سيستم گسسته زمان خواهد بود. اگر سيستمي بطور کامل کنترل پذير/ مشاهده پذير باشد، درعدم حضور نمونه گيري، کنترل پذير/ مشاهده پذير باقي خواهد ماند.

29. انتقال بفرم كنترل پذير را توسط انتقال زير انجام مي دهيد:
Useful transformations in s.s. analysis & design
Transforming s.s. equs. into canonical forms:
a) Controllable canonical form
b) Observable canonical form
c) Diagonal/Jordan canonical form
Given:
X (k+1)=G X (k) + H U (k)
Y (k) =C X (k) + D U (k)
a) I. Controllable canonical form
انتقال بفرم كنترل پذير را توسط انتقال زير انجام مي دهيد:

30. اجزاء را از معادله مشخصه بدست مي آوريم:

31. جائيکه

33. II. Observable canonical form

34. III. Diagonal/Jordan canonical form
Transformation:
III. Diagonal/Jordan canonical form
باشند و بردارهاي ويژه مربوطه به صورت زير باشند: distinct ، G ماتريس ، (1) اگر مقادير ويژه

36. در حاليکه ، عبارتند از مانده قطب يعني در صورت
حضورخواهند داشت، بعبارتي:

37. در بسياري موارد انتخاب مي کنيم:
- شرط لازم وکافي براي کنترل پذيري عبارتست از:
- شرط لازم وکافي براي مشاهده پذيري عبارتست از:
وجود دارند: G(2) مقادير ويژه بصورت تکراري در ماتريس
در اينحالت تبديل روبرو را انتخاب ميکنيم.

38. در حاليکه ، عبارتند ازبردارهاي ويژه (که مربوط به distinct هستند) يا مقادير ويژه generated مي باشند.

39. ضرايبي هستند که در تابع تبديل پالسي حضور دارند:
در بسياري موارد انتخاب مي کنيم:
- شرط لازم وکافي براي کنترل پذ يري عبارتست از:
- شرط لازم وکافي براي مشاهده پذيري عبارتست از:

40. Classic stabilizing controller
Separates into observer and controller
Closed loop dynamics same as designed dynamics
Observer error known to go asymptotically to zero
Controller
Observer
State Feedback Controller
Plant 47

41. Pole placement طراحي توسط
مفروضات:
تمام متغيرهاي حالت قابل اندازه گيري مي باشند.
تمام متغيرهاي حالت در دسترس مي باشند.
طراحي : اگر سيستمي بطور کامل کنترل پذير باشد،سپس قطبهاي حلقه بسته را مي توان در هر محل دلخواه با استفاده از فيدبک حالت و توسط ماتريس بهره فيدبک قرار داد.
است. unbounded : سيگنال کنترل که اندازه آنu(k)
: ماتريس بهره فيدبکk
عبارتند از قطبهاي دلخواه G-HK يعني مقادير ويژه

42. - شرط لازم وکافي براي آنکه بتوانيم poleplacement را بانجام برسانيم آنست که سيستم بطور کامل کنترل پذير باشد .
شرط لازم :
اگر سيستم کنترل پذيرنباشد آنگاه مقادير ويژه اي از G-HK وجود خواهند داشت که نمي توان آنها را توسط فيدبک حالت کنترل نمود.
شرط کافي:
اگر سيستم بطور کامل کنترل پذيرباشد آنگاه ماتريس K بنحوي وجود خواهد داشت که باعث مي شود تا مقادير ويژه G-HK در محلهاي دلخواه قرار گيرند.

43. بررسي اثر فيدبك حالت بر روي صفرهاي سيستم حلقه بسته
فرض كنيد كه سيستم زیر داده شده است :
تابع تبديل
نکته :
اگرچه قطبها از فيدبك حالت تأثيرپذيرند اما صفرهاي آن تغييري نمي‌نمايند.
تابع تبديل سيستم بدون فيدبک حالت :
اثبات :

44. نکته : تابع تبديل سيستم حلقه بسته در حضور فيدبک حالت :
اين امر مي‌تواند بر روی مشاهده پذيری سيستم اثر بگذارد. در واقع می تواند مشاهده‌ ناپذيري سيستم را بدنبال داشته باشد. چون مي‌توانيم يكسري قطبهاي دلخواه تعريف كنيم كه با صفرهای سيستم برابر باشند.