1. NUMERICAL INTEGRATION

2. שגיאת אינטרפולציה
שגיאת האינטרפולציה של טבלת הפונקציה (x)f ע"י הפולינום (x)pn בכל נקודה x מוגדרת כ
משפט: תהיי (x) fפונקציה המוגדרת על הקטע [a, b] וגזירה n+1 פעמים.
אם (x)pn פולינום האינטרפולציה מדרגה ≤ n בנקודות השונות ,
אזי לכל x קיים [a, b] ξ, (x)ξ =ξ, כך ש

3. אינטגרציה נומרית . Abscissas במרחקים שונים רוצים לחשב:
אינטגרנד
כל השיטות שנלמד תהינה מהצורה:
Abscissas
משקלים
נלמד 2 סוגי אינטגרציה נומרית:
. Abscissas במרחקים שווים ... ,h0+2x ,h+0x ,0x
. Abscissas במרחקים שונים
נתחיל מהסוג הראשון: מרחקים שווים
Newton-Cotes Quadrature Formulas
יש 2 קבוצות של שיטות ניוטון-קוטס:
) נוסחאות סגורות – כאשר גבולות האינטגרל הם אבסציסות
) נוסחאות פתוחות – גבולות האינטגרל לא נכללים בין אבסציסות

4. נוסחאות ניוטון-קוטס סגורות
מחשבים את האינטגרל לפי:
כאשר , b= xn,... ,+i h0x=xi , a=0x.
כל 1+n נקודות ממוקמות במרחקים שווים:
(x) pn
הדרך לפיתוח נוסחאות נ"ק היא לבנות פולינום אינטרפולציה (x) pnלערכי
הפונקציה באבסציסות (xi)f , (n ,... ,0=i) ולחשב אינטגרל מאותו הפולינום:
הפולינום אפשר לבנות בצורה של לגרנג'
ומכן רואים כי
המשקליםHi נקראים "מספרי קוטס"

5. שיטת הטרפז
נתחיל מהפולינום הפשוט ביותר עם 1= n, (x) p1, העובר בין 2 נקודות b ,a
נקבל
נבצע אינטגרציה:

6. שיטת סימפסון
נגדיל את מספר הנקודות ל 3 , (2= n) ונבנה פולינום אינטרפולציה (x) p2
(x)p2
נקבל: h h
נזכור כי
נציב ל (x) p2:
נבצע אינטגרציה של הפולינומים li ונקבל את המשקלים:
אזי נוסחת סימפסון לאינטגרל היא:

7. נוסחאות ניוטון-קוטס פתוחות
בסוג הזה של הנוסחאות נקודות הקצה (b ,a) לא נכללות בין האבסציסות.
נפתח את השיטה ל 2 נקודות פנימיות (1=n):
(x) p1
נציב את הפולינום לאינטגרל ונבצע אינטגראציה:
באותה הדרך נפתח נוסחה ל 3 נקודות פנימיות
(2=n):
(x) p2

8. שגיאת האינטגרציה (שגיאת הקיטוע)
שגיאת האינטגרציה לפי נוסחאות ניוטון-קוטס נובעת משגיאת האינטרפולאציה
של הפונקציה ע"י פולינום:
כאשר נזכור כי שגיאת האינטרפולציה היא
נניח קודם ש n הוא מספר זוגי ונחשב את האינטגרל של en בחלקים. נקבל:
האיבר החוץ-אינטגראלי מתאפס רק עבור n זוגי. עבור n אי-זוגי התוצאה היא:
את האינטגרלים הנותרים בנוסחת השגיאה ניתן לחשב בצורה אנאליטית ולרשום
את התוצאה הסופית בטבלה שבדף הבא:

9. נוסחאות ניוטון-קוטס ושגיאת הקיטוע
את כל הנוסחאות נציג בצורה
המשקלים עבור נוסחאות סגורות הם:
כאשר עבור n זוגי
עבור n אי-זוגי

10. Closed Newton-Cotes Formulas
n=1: Trapezoidal Rule
n=2: Simpson’s Rule

11. Closed Newton-Cotes Formulas (cont.)
n=3: Simpson’s Three-Eight Rule
n=4:

12. נוסחאות ניוטון-קוטס (פתוחות) ושגיאת הקיטוע
המשקלים עבור נוסחאות פתוחות הם:
הערה: בטבלה הזאת n הוא דרגת פולינום אינטרפולציה לנקודות פנימיות בלבד. צריך להדגיש שבנוסף לנקודות פנימיות יש עוד 2 נקודות קצה שלא נלקחים בחשבון בבניית הפולינום.

13. Open Newton-Cotes Formulas
n=0: Midlpoint Rule
n=1:

14. Open Newton-Cotes Formulas (cont.)

15. Newton-Cotes Formulas: Example
Closed formulas
Error
Open formulas
Error

16. דרגת הדיוק והתכנסות שיטת נ"ק
נתבונן עוד פעם בנוסחת השגיאה:
כאשר הפונקציה (x) f היא בעצמה פולינום מדרגה קטנה מ 2)+ n) אם n זוגי
או מ 1)+n) אם n אי-זוגי, אזי שגיאת האינטגרציה היא 0. ז"א שיטת האינטגרציה
עבור פולינומים כאלה היא מדויקת.
הגדרות: דרגת הפולינום n הגדולה ביותר וכזאת שהשיטה היא מדויקת עבור
כל פולינום מדרגה נקראת דרגת הדיוק של שיטת האינטגראציה.
סדר השגיאה זה החזקה של h בנוסחת השגיאה.
(דרגת הדיוק 3, סדר השגיאה 5)
מהם דרגת הדיוק וסדר השגיאה של שיטת סימפסון?
לא בהכרח!
האם הגדלת n משפרת את הדיוק?
א) השיטה עם n זוגי עדיפה משיטה של 1+n
(x) f
ב) כפי שראינו קודם, הגדלה של n לא בהכרח
מקטינה את שגיאת האינטרפולציה
ולכן גם לא את שגיאת האינטגרציה.
התנודות של פולינום גורמות לשינוים בסימנים
של המשקלים עבור
(x) pn

17. שיטות ניוטון-קוטס מרוכבות
כמו לאינטרפולציה, הדרך להגדלת דיוק השיטה היא לא הגדלת n אלא חלוקת
הקטע (b ,a) ל m תת-קטעים ובניית פולינומים מדרגה נמוכה בכל תתי-הקטעים
האלו: …
a0=a a1 a2
b=am
נפרק את האינטגרל לסכום של m אינטגרלים
וכל אחד מהאינטגרלים נחשב לפי נוסחת נ"ק עם 1+n נקודות.
שאלה: כמה סה"כ אבסציסות נצטרך לחישוב האינטגרל?
התשובה:
תת-קטעים
נקודות בכל תת-קטע
נקודות משותפות
מרחק בין הנקודות הוא h=(b-a)/mn. ניתן להקטין את h ע"י הגדלת m
ללא שינוי של n. ז"א אפשר להסתפק ב n קטן (למשל 1 או 2) ועדייו להגיע לדיוק גבוה. זה יתרון גדול של שיטות מרוכבות.

18. שיטות הטרפז וסימפסון מרוכבות
נתחיל משיטת הטרפז המרוכבת. בכל תת-קטע i נוסחת הטרפז היא:
נסכם את הביטויים האלה על כול תתי-הקטעים. נקבל:
נכתוב נוסחה לשיטה יעילה ושימושית מאד - שיטת סימפסון המרוכבת .
נזכור כי שיטת סימפסון היא שיטה עבור 2=n כך ש h=(b-a)/2m
ומספר האבסציסות חייב להיות אי-זוגי!

19. הערכת השגיאה בשיטות ניוטון-קוטס מרוכבות
בכל תת-קטע של האינטגרציה ניתן להשתמש בנוסחת השגיאה שפיתחנו קודם:
אבל עכשיו השגיאה הכללית היא סכום של השגיאות בכל m תתי-הקטעים.
נעריך את השגיאה בהתחלה לשיטה הפשוטה ביותר – שיטת הטרפז המרוכבת.
ולכן,
נזכור גם כי בשיטות מרוכבות
השגיאה הכוללת היא מסדר 2 והשיטה מתכנסת כאשר !
באותה הדרך נפתח גם נוסחה לשיטת סימפסון מרוכבת (2=n).
נציב
ונקבל:
השגיאה היא מסדר 4!

20. Composite Newton-Cotes Formulas

21. Composite Simpson’s Rule

22. Composite Simpson’s Rule: Exams
Use the transformation and then the Composite Simpson’s rule and the given values of n to approximate the following integrals:

23. Composite Trapezoidal Rule

24. הערכת השגיאה לפי אקסטראפולציה של ריצ'רדסון
נוסחאות השגיאה שפיתחנו לשיטות מרוכבות לא מאפשרות עדיין להעריך את
השגיאה מספרית כי בדרך כלל לא נתון הערך של נגזרת הפונקציה בנקודה
לא ידועה η. השיטה של אקסטראפולצית ריצ'רדסון מסייעת להתגבר על הבעיה.
בשלב ראשון נפעיל את השיטה להערכת השגיאה בשיטת הטרפז. לפי הגדרת
השגיאה הערך המדויק של האינטגרל הוא
אם נזכור כי בשיטת הטרפז השגיאה הכוללת היא מסדר 2 אזי נקבל:
כאשר הקבוע Cהוא
המקדם C הלא ידוע נמצא ע"י חישוב האינטגרל פעמים:
פעם ראשונה עם 1m חלוקות לתת-קטעים, ז"א עם
ופעם שנייה עם 2m חלוקות

25. אקסטראפולציית ריצ'רדסון (המשך)
נקבל:
נחלץ את Cממשוואה הזאת:
ובכן, השגיאות בחישוב הראשון והשני הם:
אפשר לתקן את החישוב הנומרי של האינטגרל ע"י הוספת אבר השגיאה:

26. אקסטראפולציית ריצ'רדסון (המשך)
באותה הדרך נעשה הערכת השגיאה בשיטת סימפסון מרוכבת. נזכור כי השגיאה
בשיטה הזאת היא מסדר 4, ז"א
המקדם C נמצא שוב ע"י חישוב האינטגרל פעמים. פעם אחת עם 1m
חלוקות לתת-קטעים, ז"א עם ופעם שנייה עם 2m חלוקות:
מכן
השגיאות בחישוב הראשון והשני הם:
מוסיפים את התיקון לחישוב הנומרי של האינטגרל ומקבלים:

27. Richardson’s Extrapolation (general case)
Suppose that for each small h we have a numerical
formula N(h) that approximates an unknown value M:
in other words
1st order accuracy
but
and

28. Richardson’s Extrapolation (cont.)
we define
then
2nd order accuracy

29. Richardson’s Extrapolation (cont.)
3rd order accuracy
where

30. Richardson’s Extrapolation (cont.)
In general