1. Trees, BSTs- עצים ועצי חיפוש בינאריים
תרגול 5
Trees, BSTs- עצים ועצי חיפוש בינאריים

2. Tree - עץ ADT that stores elements hierarchically.
With the exception of the root, each node in the tree has a parent and zero or more children nodes.
Access methods in the tree ADT:
root() – returns the root of the tree
parent(node v) – returns the parent of node v
children(node v) – returns an iterator of the children of node v.
depth(node v)
The depth of node v = the number of ancestors of v
depth(root) = 0
depth(v ≠ root) = depth(v.parent) + 1
height(node v)
The maximum height of a node v in T
height(v) = 0 , if v is a leaf
height(v) = 1 + maximum-height of a child of v, if v is not a leaf.
height()
The height of the root of T

3. Binary Tree – עץ בינארי
Each node has at most two children, left-son and right-son.
Full Binary Tree – A binary tree in which each node has exactly zero or two children
A full binary tree with n leaves has n-1 inner nodes.
Complete Binary Tree - A binary tree in which every level, except possibly the deepest, is completely filled. At depth n, the height of the tree, all nodes must be as far left as possible.
A complete binary tree of height h has between 2h and 2h+1-1 nodes.
The height of a complete binary tree with n nodes is log⁡𝑛

4. הליכות בעץ בינארי
Inorder – inorder on the left sub tree, visit the current node and finally, inorder on the right sub tree. 15
Rec. call on left child
Write current node 8 7
Rec. call on right child 3 12 13
Return
Inorder: 3, 8,
12,
15, 7, 13

5. הליכות בעץ בינארי
Preorder – visit the current node, preorder on its left sub tree and finally, preorder on its right sub tree. 15
Write current node
Rec. call on left child 8 7
Rec. call on right child 3 12 13
Return
Preorder:
15, 8, 3,
12, 7, 13

6. הליכות בעץ בינארי
Postorder - postorder on the left sub tree, postorder on the right sub tree and finally, visit the current node. 15
Rec. call on left child
Rec. call on right child 8 7
Write current node and Return 3 12 13
Postorder: 3,
12, 8,
13, 7, 15

7. k-Tree Each node has k children at most.
Representation option: “left child - right sibling”,
each node has the following pointers:
parent
left child - a pointer to the left most child.
right-sibling - a pointer to the next sibling on the right.

8. תרגיל 3 שחזרו את העץ הבינארי T מההליכות Preorder וInorder הנתונות שלו:
Preorder: a,b,c,d,e,g,h,j,f. Inorder: c,d,b,a,h,g,j,e,f.

9. תרגיל 3 שחזרו את העץ הבינארי T מההליכות Preorder וInorder הנתונות שלו:
Preorder: a,b,c,d,e,g,h,j,f. Inorder: c,d,b,a,h,g,j,e,f.
לפני השורש – תת-עץ שמאלי
אחרי השורש – תת-עץ ימני
שורש העץ

10. תרגיל 3 שחזרו את העץ הבינארי T מההליכות Preorder וInorder הנתונות שלו:
Preorder: a,b,c,d,e,g,h,j,f. Inorder: c,d,b,a,h,g,j,e,f.
לתת-עץ b,c,d אנחנו יודעים את ההליכות Preorder וInorder כיוון שהן ההליכות המושרות מT:
Preorder: b,c,d. Inorder: c,d,b.

11. תרגיל 3 שחזרו את העץ הבינארי T מההליכות Preorder וInorder הנתונות שלו:
Preorder: a,b,c,d,e,g,h,j,f. Inorder: c,d,b,a,h,g,j,e,f.
לתת-עץ b,c,d אנחנו יודעים את ההליכות Preorder וInorder כיוון שהן ההליכות המושרות מT:
Preorder: b,c,d. Inorder: c,d,b.

12. תרגיל 3 שחזרו את העץ הבינארי T מההליכות Preorder וInorder הנתונות שלו:
Preorder: a,b,c,d,e,g,h,j,f. Inorder: c,d,b,a,h,g,j,e,f.
Preorder: e,g,h,j,f. Inorder: h,g,j,e,f.

13. תרגיל 3 שחזרו את העץ הבינארי T מההליכות Preorder וInorder הנתונות שלו:
Preorder: a,b,c,d,e,g,h,j,f. Inorder: c,d,b,a,h,g,j,e,f.
טענה: משני הילוכים שונים בעץ T, כאשר אחד מהם הוא Inorder, ניתן לשחזר את העץ.
אחת הדרכים להוכיח טענה זו היא ע"י שימוש בתהליך בו השתמשנו לפתרון התרגיל.

14. תרגיל 4
האם תמיד ניתן לשחזר עץ בינארי מהליכות הPreorder והPostorder שלו?
הוכיחו את הטענה או תנו דוגמא נגדית
פתרון: לא תמיד
דוגמא: Preorder:  AB Postorder: BA
ישנן שתי אפשרויות לעץ:

15. תרגיל 1 לעץ בינארי T נגדיר
L(T) – מספר העלים בעץ T
D2(T) – מספר הקודקודים בT עם דרגה 2 (2 ילדים בדיוק)
הוכיחו שבכל עץ בינארי T עם n קודקודים מתקיים D2(T)=L(T)-1
הערה: בעץ בינארי מלא (Full) מספר העלים הוא מספר הקודקודים הפנימיים + 1
פתרון:
הוכחה באינדוקציה על מספר הקודקודים בעץ. מקרה בסיס: n=1, L(T)=1, D2(T)=0

16. תרגיל 1 T1 הוכחה באינדוקציה על מספר הקודקודים בעץ.
צעד האינדוקציה: נניח שהטענה נכונה לכל k<n
נסתכל על השורש בעץ עם n קודקודים
2 מקרים אפשריים:
מקרה ראשון: דרגת השורש היא 1.
ל T ולT1 יש אותו מספר עלים
ל T ולT1 יש אותו מספר קודקודים עם דרגה 2
𝐷2(𝑇)=𝐷2(𝑇1)= 𝐿(𝑇1) – 1=𝐿(𝑇) – 1 T1
הנחת האינדוקציה 2 1

17. תרגיל 1
הוכחה באינדוקציה על מספר הקודקודים בעץ.
צעד האינדוקציה: נניח שהטענה נכונה לכל k<n
נסתכל על השורש בעץ עם n קודקודים
2 מקרים אפשריים:
מקרה שני: דרגת השורש היא 2.
מספר העלים ב T הוא סכום העלים בT1 וב T2
מספר הקודקים עם דרגה 2 ב T הוא סכום הקודקודים עם דרגה 2 בT1 וב T2 ועוד קודקוד 1 (השורש) T1 T2
𝐷2 𝑇 = 𝐷2 𝑇1 + 𝐷2 𝑇2 + 1
= 𝐿 𝑇1 − 1 + 𝐿 𝑇2 − = 𝐿(𝑇) – 1
ע"פ הנחת האינדוקציה
ע"פ 2
ע"פ 1

18. תרגיל 2 T עץ בינארי עם n קודקודים. לכל קודקוד x יש את השדות הבאים:
x.key – מספר טבעי
x.left – מצביע לבן השמאלי
x.right – מצביע לבן הימני
x.val – מספר טבעי לשימוש כללי (אינו בשימוש בT במקור)
נגדיר את maxPath(T) כסכום המקסימלי של מפתחות במסלול (פשוט) מהשורש לעלה כלשהו.
נגדיר Path(T) כמסלול כלשהו עם סכום זה.
דוגמא:
maxPath(T)=23
Path(T) = left, left

19. תרגיל 2 T עץ בינארי עם n קודקודים. לכל קודקוד x יש את השדות הבאים:
x.key – מספר טבעי
x.left – מצביע לבן השמאלי
x.right – מצביע לבן הימני
x.val – מספר טבעי לשימוש כללי (אינו בשימוש בT במקור)
נגדיר את maxPath(T) כסכום המקסימלי של מפתחות במסלול (פשוט) מהשורש לעלה כלשהו.
נגדיר Path(T) כמסלול כלשהו עם סכום זה.
תארו אלגוריתם למציאת הערך
maxPath(T) בזמן O(n)
כיצד ניתן לשנות את האלגוריתם כך
שגם ידפיס את המסלול המקסימלי?

20. תרגיל 2 תארו אלגוריתם למציאת הערך maxPath(T) בזמן O(n)
כיצד ניתן לשנות את האלגוריתם כך שגם ידפיס את המסלול המקסימלי?
פתרון:
מחשבים רקורסיבית את maxPath של הבן השאמלי וכן את maxPath של הבן הימני, ומוסיפים את המפתח של הקודקוד למקסימלי מביניהם

21. תרגיל 2 תארו אלגוריתם למציאת הערך maxPath(T) בזמן O(n)
כיצד ניתן לשנות את האלגוריתם כך שגם ידפיס את המסלול המקסימלי?
פתרון:
נחשב את maxPath כמו קודם, רק שנעדכן את x.val ל0 אם הסכום המקסימלי בא מתת-עץ השמאלי ו1 אם מהשמאלי. בהדפסת המסלול נשתמש בערך x.val להחליט לאיזה כיוון להמשיך.

22. תרגיל 2 תארו אלגוריתם למציאת הערך maxPath(T) בזמן O(n)
כיצד ניתן לשנות את האלגוריתם כך שגם ידפיס את המסלול המקסימלי?
ניתוח זמן:
מבקרים בכל קודקוד פעם אחת, לכן זמן הריצה O(n)
מבקרים פעם אחת בכל קודקוד במסלול, ומספר הקודקודים במסלול חסום ע"י n. לכן סה"כ O(n)

23. Binary Search Tree – עץ חיפוש בינארי

24. Binary Search Tree – עץ חיפוש בינארי

25. Binary Search Tree – עץ חיפוש בינארי

26. Binary Search Tree – עץ חיפוש בינארי
הדגמת מחיקות מעץ חיפוש בינארי: 15 20 8 3 12 23 13 10 11

27. Binary Search Tree – עץ חיפוש בינארי
הדגמת מחיקות מעץ חיפוש בינארי: 15 8 20 23 3 12 13 10 11

28. תרגיל 5
נתון BST T בגודל n, בו לכל קודקוד x יש שדה נוסף של x.size – מספר המפתחות של תת-העץ של x (כולל x עצמו) הציעו אלגוריתם בזמן O(h) (כאשר h גובה העץ) למימוש Greater(T,k) – מציאת מספר המפתחות שממש גדולים מk הדגמה:
key=20
size= 15
key=15
size= 36
key=8
size= 20
key=10
size= 8
key=4
size= 11
k = 10
key=12
size= 4
הקודקוד
Greater(T,k)=15+1+4=20
כל תת-העץ
כל תת-העץ

29. תרגיל 5
נתון BST T בגודל n, בו לכל קודקוד x יש שדה נוסף של x.size – מספר המפתחות של תת-העץ של x (כולל x עצמו) הציעו אלגוריתם בזמן O(h) (כאשר h גובה העץ) למימוש Greater(T,k) – מציאת מספר המפתחות שממש גדולים מk פתרון: זמן ריצה: O(h) הערה: h=O(n) במקרה הגרוע ביותר, וO(logn) במקרה הממוצע

30. תרגיל 6
נתון עץ חיפוש בינארי T עם גובה h שמכיל קודקוד עם ערך a וקודקוד עם ערך b. מצאו אלגוריתם שמחזיר את כל המפתחות בטווח [a,b] (a<b) בזמן O(h+k), כאשר k מספר המפתחות בטווח.

31. תרגיל 6 פתרון: Range(a, b)
Find nodes containing a and b in the tree, let Pa and Pb be the search path from the root to a and b respectively.
Let x be the node where Pa and Pb split.
For every node v in the search path from a to x do:     if (a < v){         print v;         inorder(v.right);    }
For every node v in the search path from x to b do:     if (b > v){           inorder(v.left);          print v;    }

32. תרגיל 7
נתונים שני עצי חיפוש בינאריים T1 וT2 עם גבהים h1 וh2 בהתאמה (h1 וh2 נתונים).
נתון בנוסף שכל הערכים בT1 קטנים ממש מכל הערכים בT2. הניחו שכל ערכי המפתחות שונים.
כיצד ניתן לאחד את שני העצים לעץ אחד המכיל את איחוד הערכים בזמן O(min(h1,h2)), כך שגובה עץ האיחוד יהיה O(max(h1,h2))?
מה יהיה גובה עץ האיחוד?

33. תרגיל 7
כיצד ניתן לאחד את שני העצים לעץ אחד המכיל את איחוד הערכים בזמן O(min(h1,h2)), כך שגובה עץ האיחוד יהיה O(max(h1,h2))?
פתרון:
case a: h1 ≤ h2
Extract from T1 the element v with the maximum key in T1 in O(h1) time.
v.left ← T1
v.right ← T2
v is the root of the new merged tree. T1 T2
max(T1)

34. תרגיל 7
כיצד ניתן לאחד את שני העצים לעץ אחד המכיל את איחוד הערכים בזמן O(min(h1,h2)), כך שגובה עץ האיחוד יהיה O(max(h1,h2))?
פתרון:
case a: h1 ≤ h2
Extract from T1 the element v with the maximum key in T1 in O(h1) time.
v.left ← T1
v.right ← T2
v is the root of the new merged tree.
case b: h1 > h2
Extract from T2 the element v with the minimum key in T2 in O(h2) time. T1 T2
min(T2)

35. תרגיל 7
מה יהיה גובה עץ האיחוד?
פתרון: max(h1,h2)+1

36. תרגיל 8 מצאו אלגוריתם הבודק אם עץ בינארי נתון T הוא BST.
הניחו שכל הערכים הינם מספרים שלמים שונים זה מזה
הניחו שלכל קודקוד יש מצביע לשני הילדים אך לא מצביע להורה.
פתרון (שגוי):
נבדוק בכל קודקוד בצורה רקורסיבית שערך הבן השמאלי קטן יותר מהערך הנוכחי וערך הבן הימני גדול יותר מהערך הנוכחי.
פתרון זה אינו מספיק – מצאו דוגמא נגדית

37. תרגיל 8
פתרון (שגוי): נבדוק בכל קודקוד בצורה רקורסיבית שערך הבן השמאלי קטן יותר מהערך הנוכחי וערך הבן הימני גדול יותר מהערך הנוכחי. פתרון זה אינו מספיק – מצאו דוגמא נגדית 15 8 20

38. תרגיל 8
פתרון (מתוקן):
נשתמש בפונקציית עזר ששומרת את הגבולות העליונים והתחתונים של הערכים המורשים בתת-העץ
boolean isValid(Node root) {
return isValidHelper(root, Integer.MIN_VALUE, Integer.MAX_VALUE) }
boolean isValidHelper(Node curr, int min, int max) {
if(curr.value < min || curr.value > max)
return false
if (curr.left != null && !isValidHelper(curr.left, min, curr.value))
if (curr.right != null && !isValidHelper(curr.right, curr.value, max))
return true }
זמן הריצה הינו O(n).
פתרון אפשרי נוסף הוא מציאת הליכת הInorder ובדיקה שהיא ממוינת. זמן ריצה O(n).

39. שאלות נוספות (אם יש זמן)
הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות
הקודקוד הראשון בסדר הליכת Preorder הוא הקודקוד האחרון בסדר הליכת Postorder.
הקודקוד במיקום ה i בסדר הליכת Preorder הוא הקודקוד במיקום ה (n+1-i) בסדר הליכת Postorder.
לכל קודקוד v במסלול מהשורש לעלה בעץ T מתקיים Height(v)+Depth(v)=Height(T)
בעץ חיפוש בינארי, אם לשורש יש שני ילדים, אז המסלול של maxPath עובר דרך הבן הימני.
בעץ חיפוש בינארי תמיד ניתן לשחזר את העץ מידיעת סדר הליכת הPreorder בלבד.
הארוך ביותר