1. Similarity transformation
تبديلات همانندی
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
Similarity transformation
Two matrices A & B of the same order are said to be similar , if there exists a matrix s such that inv(S*(A* S=B
Actually the Matrix B is said to be the similarity of A by s And A is similar transform of B by inv(S).
اهميت بهره‌گيري از تبديل همانندي به علل زير مي‌باشد:

2. اثبات
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi 1) 2) 3)

3. ماتريس S از بردارهاي ويژه ساخته مي‌شود كه non singular است.
An important , special similarity relation is the similarity of A to a diagonal Matrix as follow :
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
مثال 1 : ماتريس داده شده زير را با استفاده از تبديلات همانندی به فرم قطری تبديل نماييد.
ماتريس S از بردارهاي ويژه ساخته مي‌شود كه non singular است.

4. مثال 2 : ماتريس داده شده زير را با استفاده از تبديلات همانندی به فرم قطری تبديل نماييد.
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi

5. الف : مقادير ويژه مقاديري مجزا و غيرتكراري باشند.
قطري كردن يك ماتريس
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
الف : مقادير ويژه مقاديري مجزا و غيرتكراري باشند.
اگر كه
باشد به نحوي
يك بردار ويژه A مربوط به
مقادير ويژه ماتريس A باشند و اگر
که :
نمايش A نسبت به پايه
به عنوان يك پايه منظور خواهد شد اگر
آنگاه مجموعه بردارهاي
نسبت به
نمايش
باشد بنحوي كه i امين ستون
باشد آنگاه :

6. زمستان 1382
Dr. H. Bolandi

7. 2 linearly independently associated eigen vector exist.
ب : وقتي كه مقادير ويژه تكراري باشند.
مثال 1 : ماتريس داده شده زير را با استفاده از تبديلات همانندی به فرم قطری تبديل نماييد.
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
2 linearly independently associated eigen vector exist.

8. لذا نياز داريم تا به محاسبه بردار ويژه تعميم يافته بپردازيم.
مثال 2 :
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
لذا نياز داريم تا به محاسبه بردار ويژه تعميم يافته بپردازيم.

9. لذا مي‌توان از اين مثال نتيجه گرفت كه اگرماتريسی دارای مقادير ويژه تكراري باشد همواره امكان‌پذير نخواهد بود که n بردار ويژه مستقل خطي را محاسبه كنيم. لذا ماتريس A را نمي‌توان به فرم قطري تبديل نمود.
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
فرم جردن
مدلهای جردن ماتريس فوق

10. مدلهای جردن ماتريس فوق زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
شايان توجه است كه هر يك از فرمهاي فوق بسته به خاصيت ماتريس A دارند. كليه ماتريسهاي نشان داده شده در بالا بصورت بلوكهاي قطري مي‌باشند. كليه بلوكهاي واقع شده در قطرها بصورت زير مي‌باشند.

11. تبديل ماتريس حالت سيستم به فرم كانونيكي جردن
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
خواص فرم کانونيکی جردن :
1) تمامي عناصر قطري ماتريس مقادير ويژه A مي‌باشند.
2) تمامي عناصر زير قطر اصلي صفر مي‌باشند.
3) هنگامي كه عناصر در قطر اصلي مساوي باشند تعدادي عناصر واحد در فوق قطر قرار مي‌گيرند.
فرم کلی کانونيکی جردن

12. مثال : فرم جردن ماتريسی با يک مقدار ويژه مکرر مرتبه سوم :
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
مثال : فرم جردن ماتريسی با يک مقدار ويژه مکرر مرتبه سوم :

13. 2ـ S بلوك Jordan متناظر با S بردار ويژه متناظر وجود دارد.
داراي مقدار ويژه مكرر مرتبه K ام باشد آنگاه مي‌توان نشان داد كه :
اگر كه يك ماتريس
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
است آنگاه S بردار ويژه
1ـ اگر فرض كنيم كه رتبة
برابر K-S باشد كه در آن
وجود خواهد داشت.
مستقل خطي متناظر با
2ـ S بلوك Jordan متناظر با S بردار ويژه متناظر وجود دارد.
3ـ مجموع رتبه‌هاي
بلوك جردن برابر با مرتبه تكرار k است.
پس همانطور كه نشان داده شد حتي اگر مرتبة تكرار مقدار ويژه يكسان باشد تعداد بلوكهاي جردن و ترتيب آنها بسته به ساختار A ممكن است كه متفاوت باشد.

14. مثال : زمستان 1382 پس 1 تا بلوك جردن پس2 تا بلوك جردن
Dr. H. Bolandi
پس 1 تا بلوك جردن
پس2 تا بلوك جردن
پس 3 تا بلوك جردن

15. فقط داراي يك پاسخ مستقل است
در حالت كلي فرض مي‌كنيم كه ماتريس
را دارا بوده و مقادير
يك مقدار ويژه با تكرار مرتبه k
ويژه ديگر آن
باشد.
متفاوت و متمايز از
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
يعني مقادير ويژه A عبارتند از :
دو حالت را درنظر مي‌گيريم :
الف :
و تنها يك بردار ويژه متناظر با اين مقدار
در اين حالت فقط يك بلوك جردن براي مقدار ويژه مكرر
مرتبة بلوك جردن K است.
ويژه مكرر وجود دارد.
براي ساده سازي فرض مي‌كنيم كه n=4
فقط داراي يك پاسخ مستقل است
3 تا بردار ويژه مستقل را جهت شكل‌گيري پايه پيدا كنيم.

16. يك بردار ويژه V را بردار ويژه تعميم يافته درجة n مي‌گوييم :
به نحوی که :
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
يك بردار ويژه V را بردار ويژه تعميم يافته درجة n مي‌گوييم :
مي‌توانيم تعريف كنيم كه :
براي حالتي كه

17. اين معادلات بايد داراي خواص زير باشند:
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
مثال :

18. stop زمستان 1382 پس بنابراين بردار V را به نحوي پيدا مي‌كنيم كه :
Dr. H. Bolandi
stop
پس بنابراين بردار V را به نحوي پيدا مي‌كنيم كه :

19. به ترتيب عبارتند از :
نمايش
نسبت به پايه
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
ب :
از آنجايي كه فرض كرده‌ايم ماتريس A داراي مقدار ويژه
از مرتبة K (كه مكرر است ) بوده و مقادير ويژه ديگر
لذا S بردار ويژه مستقل خطي مربوط به مقدار ويژه
باشند.
آن تماماً متمايز بوده و متفاوت از
وجود دارند.
خواهيم داشت از اين رو S بلوك جردن متناظر با مقدار ويژه
بصورت
براي راحتي طرز نمايش گيريم S بردار ويژه متناظر با
تعريف مي‌كنيم .
تعريف خواهيم كرد.
را بصورت
بردارهاي ويژه تعميم يافته مربوط به

20. زمستان 1382
Dr. H. Bolandi

21. زمستان 1382
Dr. H. Bolandi

22. مثال : ماتريس A را قطري كنيد.
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
1) find eigen values
2) find

23. زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
3) find eigen vector

24. if a=1
زمستان 1382
Dr. H. Bolandi

25. زمستان 1382
Dr. H. Bolandi
Example: Consider the following equations of motion for a submarine in the dive plane