1. Metóda Konečných Prvkov vo výrobných technológiach
prednáška č. 2

2. Obsah prednášky Vektor, matica, tenzor Základné matematické operácie
Spôsoby riešenia sústavy lineárnych algebraických rovníc
Príklady
Spôsoby riešenia sústavy nelineárnych algebraických rovníc
Riešiče používané programom ANSYS

3. Základná terminológia
Tenzor
je fyzikálna veličina nezávislá od aktuálne definovaného súradnicového systému
je určená stupňom a usporiadaním
Matica
tenzor 2-ého rádu (stupňa)
Vektor
tenzor 1-ého rádu (stupňa)
pre úplné určenie veličiny je potrebné poznať veľkosť, smer a nositeľku
(voľný, viazaný, polohový, jednotkový)
Skalár
tenzor 0-tého rádu (stupňa)
je určený veľkosťou

4. Základná terminológia
pri uvažovaní 3D súradnicového systému je tenzorom 2-ého rádu napr. napätie v bode telesa
tenzorom 1-ého rádu je napr. sila
materiálové vlastnosti, ...

5. Základné matematické operácie
Systém lineárnych algebraických rovníc
môžeme v maticovom tvare zapísať
A x = b

6. Základné matematické operácie
kde
aij - prvok matice na i-tom riadku a j-tom stĺpci
Ak:
m = n - štvorcová matica
m = 1 - riadková matica (vektor)
n = 1 - stĺpcová matica (vektor)

7. Základné matematické operácie
Sčítavanie (odčítavanie) matíc:
! matice A, B musia mať rovnaký rozmer (m  n)
C = A + B [cij] = [aij] + [bij]
C = A - B [cij] = [aij] – [bij]
Násobenie matíc:
kA = C [k aij] = [cij]
i = 1, 2, ... l j = 1, 2, ... n
asociatívnosť: A (B C) = (A B) C
avšak: A B  B A

8. Základné matematické operácie
Transponovaná matica:
ak: A = [aij] potom: AT = [aji]
Symetrická matica:
štvorcová (n  n) matica A sa nazýva symetrická ak platí:
A = AT [aij] = [aji]
Jednotková matica:
IA = AI = A

9. Základné matematické operácie
Determinant matice:
Cramerovo pravidlo
Singulárna matica:
det A = 0

10. Základné matematické operácie
Pozitívne definitná matica:
štvorcová (n  n) matica A sa nazýva pozitívne definitná ak pre ľubovolný nenulový vektor x platí:
xTA x > 0
Matica A je potom nesingulárna.
Inverzná matica:
! existuje iba pre štvorcové a nesingulárne matice, ak det A ≠ 0
A A-1 = A-1A = I
kde C = [cij] cij = (-1)i+j Mij
Mij – je determinant matice, ktorá vznikne vynechaním i-teho riadku a j-teho stĺpca z matice A.

11. Základné matematické operácie
Derivovanie a integrovanie matíc:
Okrem toho platí:
(A B)T = BTAT
(A B C)T = CT(A B)T = CTBTAT
pre štvorcové matice:
A B = BTA
(A B)-1 = B-1A-1

12. Riešenie systému lineárnych algebraických rovníc
Na vyriešenie systému lineárnych algebraických rovníc môžeme použiť
Priame metódy
inverznú maticu
Gaussovu eliminačnú metódu (Gauss Elimination)
Gauss-Jordanovu metódu (Gauss-Jordan Elimination)
Cramerove pravidlo (Cramer´s Rule)
LU rozklad (LU Decomposition)
Choleskyho rozklad (Cholesky Decomposition)
Nepriame metódy
iteračné metódy (približné) – napr. Gauss-Seidelovu metódu, Jacobiho metódu – vhodné pre riešenie veľkých sústav rovníc
...

13. –x1 + 3x2 – 2x3 = 2 2x1 – 4x2 + 2x3 = 1 4x2 – x3 = 3 Príklad
Nájdite riešenie (x1 až x3) sústavy rovníc
–x1 + 3x2 – 2x3 = 2
2x1 – 4x2 + 2x3 = 1
4x2 – x3 = 3
Sústavu je možné v maticovom tvare zapísať

14. A x = b A-1A x = A-1b I x = A-1b x = A-1b Inverzná matica:
Matica kofaktorov:

15. Inverzná matica:
det A = |A| = -6
Výpočet koreňov: x = A-1b

16. Inverzná matica:
Vzhľadom na náročný výpočet inverznej matice, z dôvodu nutnosti počítať determinanty matíc, sa táto metóda v počítačovej mechanike prakticky nepoužíva.
(viď Cramerova metóda)

17. Cramerovo pravidlo:
kde D(i) je matica, ktorej i-ty stĺpec je nahradený vektorom b.
Výpočet koreňov:

18. Cramerovo pravidlo:

19. Cramerovo pravidlo:
Praktické použitie tejto metódy je obmedzené na malé matice n  m (približne n,m ≤ 5).
Napr. pre výpočet determinantu matice 10x10 by bolo potrebné vykonať cez 30 miliónov operácií. Determinant by mal 10! = členov.
Preto sa táto metóda v počítačovej mechanike, podobne ako metóda inverznej matice, nepoužíva.

20. Gaussova eliminačná metóda:

21. Gaussova eliminačná metóda:
1. krok

22. Gaussova eliminačná metóda:
úprava druhého riadku matice

23. Gaussova eliminačná metóda:

24. Gaussova eliminačná metóda:

25. Gaussova eliminačná metóda:

26. Gaussova eliminačná metóda:
1. krok

27. Gaussova eliminačná metóda:
2. krok

28. Gaussova eliminačná metóda:
Spätnou substitúciou
- posledný koreň n
- ostatné korene (n-1) až 1
Výpočet koreňov:

29. Gaussova eliminačná metóda:
Táto metóda v počítačovej mechanike používa veľmi často.

30. LU dekompozícia:
A = L U
A x = L U x = L (U x) = b
L y = b U x = y

31. LU rozklad:

32. LU rozklad:

33. LU rozklad:
L y = b
Doprednou substitúciou:

34. LU rozklad:
U x = y
Spätnou substitúciou:

35. LU rozklad:
Skúška správnosti:
A x = b

36. LU rozklad:
Táto metóda v počítačovej mechanike používa veľmi často.

37. A = U T U alternatívne: A = L LT Choleskyho dekompozícia:
metóda použiteľná len pre symetrické matice
matica musí byť „dostatočne“ pozitívne definitná
A = U T U
alternatívne:
A = L LT

38. Choleskyho rozklad:
A x = b

39. Choleskyho rozklad:

40. Choleskyho rozklad:

41. Choleskyho rozklad:
Doprednou substitúciou:

42. Choleskyho rozklad:
Spätnou substitúciou:

43. Choleskyho rozklad:
Skúška správnosti:
A x = b

44. Choleskyho rozklad:
Táto metóda v počítačovej mechanike používa veľmi často.

45. A x = b A = AL + AD + AU Majme sústavu rovníc
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda:
Majme sústavu rovníc
A x = b
Pre maticu A (n x n) platí: aii ≠ 0 pre i = 1...n
Maticu A rozložme
A = AL + AD + AU
AL – dolná trojuholníková matica
AD – diagonálna matica diag[aii]
AU – horná trojuholníková matica
príp. ALT transponovaná dolná trojuholníková matica
Ďalej uvažujeme len prípad: AU = ALT (pre symetrické matice)
teda: A = AL + AD + ALT

46. Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda:

47. Iteračný algoritmus pre výpočet koreňov Jacobiho iteračná metóda
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda:
Iteračný algoritmus pre výpočet koreňov
Jacobiho iteračná metóda
Gauss-Seidelova iteračná metóda

48. Iteračný algoritmus pre výpočet koreňov Jacobiho iteračná metóda
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda:
Iteračný algoritmus pre výpočet koreňov
Jacobiho iteračná metóda
kde
Gauss-Seidelova iteračná metóda

49. Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda:
Príklad:
Jacobiho metódou nájdite korene sústavy rovníc s presnosťou
 ≤ 0,0003
A x = b
Rozložíme maticu A

50. Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda:

51. Štartovacie riešenie (zvolené riešenie)
Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda:
Štartovacie riešenie (zvolené riešenie)
1. iterácia

52. Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda:
2. iterácia

53. Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda:
3. iterácia

54. Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda:
4. iterácia

55. 164. iterácia Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda:
Presné riešenie:

56. A x = b Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: Skúška správnosti:
Presné riešenie:

57. A x = b Majme sústavu rovníc
Zle podmienené matice:
Majme sústavu rovníc
A x = b
Ak je matica A zle podmienená (ill-conditioned matrix), riešenie úlohy môže byť obtiažne. Napr. malé zaokrúhlenia členov b vektora, môže výrazne ovplyvniť riešenie /korene/ sústavy rovníc (x vektor).

58. Zle podmienené matice:
Príklad:
Riešením sústavy rovníc
9x + 8y = 0,8
8x + 7y = 0,7
sú korene:
x = 0 y = 0,1
Ak zavedieme malú chybu do pravej strany rovníc (vektor b) (napr. zaokrúhlovacou chybou)
9x + 8y = 0,81
8x + 7y = 0,69
x = -0,15 y = 0,27

59. Riešenie systému nelineárnych algebraických rovníc

60. Riešiče implementované v programe ΛNSYS®
Direct Solvers - priame riešiče
Sparse Direct Solver – využíva LU rozklad
Frontal (Wavefront) Solver – založený na metóde Gaussovej eliminácie
Iterative Solver - iteratívne riešiče
Jacobi Conjugate Gradient (JCG) Solver
Preconditioned Conjugate Gradient (PCG) Solver
Incomplete Cholesky Conjugate Gradient (ICCG) Solver
Automatic Iterative (Fast) Solver Option
Parallel/Distributed Solvers - distribuované riešiče
Algebraic Multigrid (AMG) Solver
Distributed Jacobi Conjugate Gradient (DJCG) Solver
Distributed Preconditioned Conjugate Gradient (DPCG) Solver