1. mag. Aleš Klemenčič, univ. dipl. ing. el.
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Analiza slik s sklopljenimi aktivnimi modeli
mag. Aleš Klemenčič, univ. dipl. ing. el.
Spoštovana komisija, cenjeni obiskovalci, danes vam bom predstavil doktorsko disertacijo z naslovom Analiza slik s sklopljenimi aktivnimi modeli.

2. Uvod Predstavitev aktivnih modelov Koncept aktivne točke
Algoritem aktivne točke
Sklopljeni aktivni modeli
Primer sintetične slike: olimpijski krogi
Primer realne slike: rentegenske slike vratnih vretenc
Celotno predstavitev lahko razdelimo na tri sklope. V prvem delu si bomo ogledali kaj so to aktivni modeli, kje jih uporabljamo in kakšne vrste aktivnih modelov poznamo. Temu bo sledila predstavitev idej koncepta aktivne točke, ki so udejanjene z algoritmom aktivne točke. Ta algoritem nam tudi omogoča, da smo pri konstrukciji aktivnih modelov naredili še korak naprej in zgradili t.i. sklopljene aktivne modele. Algoritem aktivne točlke in učinkovitost sklopljenih aktivnih modelov si bomo ogledali na primeru sintetične slike olimpijske zastave in na primeru realnih rentgenskih slik vratnih vretenc.

3. Aktivni modeli
Aktivni modeli
Aktivne krivulje
Aktivna telesa
Aktivne površine
Aktivni modeli združujejo geometrijo modela s fizikalnimi lastnostmi elastičnih materijalov.
Aktivni modeli se preoblikujejo pod vplivom lastnih, notranjih sil ter vplivom zunanjih sil, ki izhajajo iz okolice (slike).
Aktivni modeli so namenjeni segmentaciji slik. Uporabni so zlasti za segmentacijo bio-medicinskih (2D, 3D) slik in za sledenje objektom v zaporedju slik.
Najprej bom definiral nekaj osnovnih izrazov, ki jih bom pogosto uporabljal v tej predstavitvi. Ime aktivni modeli je splošno in zajema tri vrste aktivnih modelov, ki se med seboj razlikujejo po prostorski dimenziji. Tako so aktivne krivulje enodimenzionalni aktivni modeli, aktivne površine so dvodimenzionalni, aktivna telesa pa tridimenzionalni aktivni modeli.
Kaj so to aktivni modeli? Aktivni modeli so geometrijske strukture, torej krivulje, površine ali telesa, katerim poleg oblike in položaja v prostoru dodamo še fizikalno lastnost elastičnosti. Tako aktivni modeli vsebujejeo fizikalne lastnosti kot sta elastičnost in togost in se zato lahko preoblikujejo pod vplivom zunanjih sil, ki izhajajo iz podatkov v njihovi okolici.
Namenjeni so predvsem za polavtomatsko ali avtomatsko segmentacijo slik. To pomeni, da je uporabnik le približno določil začetni položaj, rečemo inicializira v bližini željenega položaja, sile slike pa model nato dokončno potegnejo v željeni končni položaj. Še posebej so se izkazali na področju segmentacije bio-medicinskih slik, kjer se naravna variabilnost objektov zanimanja dobro pokriva z deformabilnostjo aktivnih modelov. Drugo tako področje, kjer se aktivni modeli pogosto uporabljajo je sledenje objektom v zaporedju slik.

4. Aktivna krivulja v(r)=(x(r),y(r),z(r)); r  [0,1] x(r)  [0,xmax]
y(r)  [0,ymax]
z(r)  [0,zmax]
Krivulji pripada energijski funkcional:
Minimum energijskega funkcionala poiščemo z reševanjem Eulerjeve diferencialne enačbe:
Kar takoj si bomo ogledali, kako je formulirana aktivna kriuvlja. Kot rečeno, je to 1D aktivni model, ki ga največkrat uporabljamo na 2D podatkih ozrioma na 2D sliki, čeprav načeloma ni nobenih ovir, da aktivnih krivulj ne bi mogli uporabljati tudi na 3D podatkih oziroma slikah. Klasična aktivna krivulja je definirana tako, da ji določimo položaj v parametrični obliki, torej vzdolž ene neodvisne spremenljivke, ki ima vrednost med 0 in 1. Krivulja postane aktivna s tem, da ji pripišemo energijski funkcional, ki zajema dva izvora sil, ki vplivata na obliko aktivne krivulje. To so notranje sile, ki izvirajo iz same elastičnosti modela in zunaje sile, ki izvirajo iz slike oziroma podaktov.
Druga enačba nam podrobneje prikazuje, kako je formulirana elastičnost modela. Sestavljena je iz dveh prispevkov. Prispevek prvega odvoda povzroči, da se aktivni model obnaša kot raztegnjena elastika, ki se želi skrčiti v točko. Prispevek drugega odvoda povzroči, da se akivni model obnaša kot upognjena kovniska struna, ki se želi zravnati. Ta dva člena nadziramo s parametroma elastičnosti alfa in beta in z njima določamo, kako močne so te notranje sile, ki želijo skrčiti oziroma zravnati aktivni model.
Minimum energijskega funkcionala izračunamo z reševanjem Eulerjeve diferencialne enačbe. Tretja enačba nam prikazuje Eulerjevo diferencialno enačbo za primer aktivne krivulje. Kot vidimo je sestavljena iz treh členov. Prva dva ustrezata notranji energiji energijskega funkcionala, v tretjem členu pa so zajete zunanje sile.
Enačbo lahko zapišemo tudi nekoliko drugače, tako, da zunanje sile postavimo na drugo stran enačaja in ta enačba nam bolje razkrije, da gre pri minimizaciji dejansko za iskanje ravnovesja med notranjimi in zunanjimi silami. Če zunanjih sil ni, se bo aktivni model krčil proti točki. Kadar pa zunanje sile so prisotne, se lahko vzpostavi ravnovesje. Zunanje sile pa morami izbrati tako, da se ravnovesje vzpostavi na zaželjenem mestu.
Ta enačba je zapisana v zveznem prostoru. Če želimo enačbo reševati s pomočjo računalnika, jo moramo ustrezno predelati, kar storimo z diskretizacijo s končnimi diferencami.

5. Diskretna oblika Eulerjeve enačbe krivulje
Zapis z metodo končnih diferenc diskretizirane Eulerjeve diferencialne enačbe aktivne krivulje:
Preurejena enačba, primerna za matrični zapis aktivnega modela
Prva enačba prikazuje diskretizirano Eulerjevo diferencialno enačbo aktivne krivulje, kjer sta zapisana člena drugega in četrtega odvoda s parametroma elastičnosti alfa in beta. V naslednjem koraku moramo opraviti vsa nakazana množenja, nato pa združimo vse koeficiente, ki so upoštevani pri posamezni točki. Ta enačba nam predstavlja izračun notranjih in zunanji sil v eni točki aktivne krivulje. Če zapišemo enačbe za vse točke aktivnega modela, jih lahko združimo v matričnem zapisu, ki je podan s sledečo enačbo. A je takoimenovana matrika elastičnosti in njene elemente sestavljajo koeficienti, ki so zapisani v drugi enačbi.
Spodaj imamo še skicirano, kako izgleda matrika elastičnosti. V primeru, da je le parmeter alfa večji od nič, imamo v enačbi prisotne le člene pri točkah vi, vi-1 in vi+1 in je zato matrika tridiagonalna. Če je od nič različen parameter beta, so prisotni vsi členi iz te enačbe in matrika elastičnosti je petdiagonalna.

6. Aktivna površina v(r,s)=(x(r,s),y(r,s),z(r,s)); r  [0,1], s  [0,1]
x(r,s)  [0,xmax]
y(r,s)  [0,ymax]
z(r,s)  [0,zmax]
Površini pripada energijski funkcional:
Minimum energijskega funkcionala poiščemo z reševanjem Eulerjeve diferencialne enačbe:
Tukaj vidimo formulacijo aktivne površine. Aktivna površina je 2D aktivni model, ki ga največkrat uporabljamo na 3D podatkih ozrioma na 3D sliki, čeprav načeloma ni nobenih ovir, da aktivne površine ne bi mogli uporabljati tudi na 2D podatkih oziroma slikah. Klasična aktivna površina je definirana tako, da ji določimo položaj v parametrični obliki, torej vzdolž dveh neodvisnih spremenljivk, ki imata vrednost med 0 in 1. Površina postane aktivna s tem, da ji pripišemo energijski funkcional. Kot vidimo je to tokrat dvojni integral, ki pa ravno tako zajema dva izvora sil, ki vplivata na obliko aktivne površine.
Druga enačba nam podrobneje prikazuje, kako je formulirana elastičnost aktivne površine. Ta je zdaj sestavljena je iz dveh prispevkov prvega odvoda, vzdolž vsake dimenzije posebej, dveh prispevkov drugega odvoda vzdolž vsake dimenije posebej in še dodatnega mešanega člena drugega odvoda, ki pri aktivni krivulji ni bil prisoten. Vpliv posamenih prispevkov je enak kot pri aktivni krivulji. Pripspevek prvega odvoda povzroči, da se aktivni model obnaša kot raztegnjna elastična membrana, prispevek drugega odvoda pa povzroči, da se akivni model obnaša kot upognjena kovinska plošča, ki se želi zravnati na mestih ukrivljenosti. Tudi tokrat moč notranjih sil nadziramo s parametri elastičnosti alfa in beta.
Tudi za aktivno površno velja, da minimum energijskega funkcionala poiščemo z reševanjem Eulerjeve diferecialne enačbe, ki je zapisana tukaj. Za reševanje enačbe s pomočjo računalnika, moramo enačbo spet diskretizirati s končnimi diferencami.

7. Diskretna oblika Eulerjeve enačbe površine
Zapis z metodo končnih diferenc diskretizirane Eulerjeve diferencialne enačbe aktivne površine:
Tukaj vidimo zapisano diskretizirano Eulerjevo diferencialno enačbo aktivne površine. Tukaj sta zapisana oba druga odvoda enačbe, ki sta nadzirana s parametroma alfa, potem imamo dva četrta odvoda in mešani člen, ki so vsi nadzirano s parametrom elastičnosti beta.
Ta slika nam prikazuje, katere točke so vpletene v izračun drugega in četrtega odvoda Eulerjeve diferencialne neačbe v točki vi. V nadaljevanju moramo zopet zmnožiti vse člene in jih nato združiti, da dobimo koeficiente pri posameznih točkah. Če tako urejeno enačbo zapišemo za vse točke aktivne površine, lahko celotni model zapišemo v matrični obliki. Opazimo lahko, da se ta zapis nič ne razlikuje od tistega pri aktivni krivulji. Razlika med matrikama elastičnosti aktivne krivulje in aktivne površine je predvsem v tem, da ima matrika tokrat več pasov, njihovo število in širina pa sta odvisna od vrednosti parametrov elastičnosti.

8. Aktivno telo v(r,s,t)=(x(r,s,t),y(r,s,t),z(r,s,t));
x(r,s,t)  [0,xmax]
y(r,s,t)  [0,ymax]
z(r,s,t)  [0,zmax]
Telesu pripada energijski funkcional
Minimum energijskega funkcionala poiščemo z reševanjem Eulerjeve diferencialne enačbe:
Nazadnje si oglejmo še formulacijo aktivnega telesa. Aktivno telo je 3D aktivni model, ki ga uporabljamo le na 3D podatkih oziroma na 3D sliki. Klasično aktivno telo je definirano tako, da mu določimo položaj v parametrični obliki, torej vzdolž treh neodvisnih spremenljivk, ki imajo vrednost med 0 in 1. Površina postane aktivna s tem, da ji pripišemo energijski funkcional. Kot vidimo je to zdaj trojni integral, ki pa ravno tako zajema dva izvora sil, ki vplivata na obliko aktivne površine.
Druga enačba nam podrobneje prikazuje, kako je formulirana elastičnost aktivnega telesa. Ta je zdaj sestavljena je iz treh prispevkov prvega odvoda, vzdolž vsake dimenzije posebej, treh prispevkov drugega odvoda vzdolž vsake dimenije posebej in še treh mešanih členov. Vpliv posamenih prisevkov je enak kot pri aktivni krivulji. Pripsevek prvega odvoda povzroči, da se aktivni model obnaša kot raztegnjeno elastično telo, prispevek drugega odvoda pa želi zravnati morebitne ukrivnjenosti telesa. Tudi tokrat moč notranjih sil nadziramo s parametri elastičnosti alfa in beta.
Tudi za aktivno površno velja, da minimum energijskega funcionala poiščemo z reševanjem Eulerjeve diferecialne enačbe, ki je zapisana tukaj. Tudi to enačbo, ki je zdaj že precej razpotegnjena moramo za reševanje s pomočjo računalnika diskretizirati s končnimi diferencami.

9. Diskretna oblika Eulerjeve enačbe telesa
Zapis z metodo končnih diferenc diskretizirane Eulerjeve diferencialne enačbe aktivnega telesa:
Tukaj je podan zapis diskretizirane Eulerjeve diferencialne enačbe aktivnega telesa. Tukaj so zapisani vsi trije drugi odvodi enačbe, nadzirani s parametroma alfa, potem imamo tri člene četrtega odvoda in tri mešane člene.
Ta slika nam prikazuje, katere točke so vpletene v izračun drugega in četrtega odvoda Eulerjeve diferencialne enačbe v točki vi. V nadaljevanju moramo zopet zmnožiti vse člene in jih nato združiti, da dobimo koeficiente pri posameznih točkah. Če tako urejeno enačbo zapišemo za vse točke aktivnega telesa, lahko spet celotni model zapišemo v matrični obliki, ki je tudi tokrat identična zapisoma pri aktivni krivulji in aktivni površini, le da ima tokrat matrika elastičnosti še več pasov.
S temi enačbami smo pregledali, kako zgradimo aktivni model. Glavni sestavni del aktivnega modela je matrika elstičnosti. Brez te matrike, ki nam dela točke modela soodvisne in jih povezuje skupaj, aktivnega modela ni. Ostane nam le kup neodvisnih točk. Matriko elastičnosti dejansko zgradimo tako, da rezerviramo prostor za matriko, ki ima dimenizije NxN, kjer je N število točk modela, jo inicilaiziramo na 0, nato pa pokličemo funkcijo, ki v posamezne elemente matrike zapiše koeficiente, ki jih izračuna po podanih enačbah.

10. Zunanja energija Izvor zunanje energije je slika:
2D, 3D
statične slike, časovno zaporedje 2D ali 3D slik, realni čas
barvna slika, teksture
Zunanja energija izhaja iz slike in je neodvisna od aktivnega modela.
Izvorno sliko preoblikujemo tako, da so na njej čimbolj poudarjene iskane strukture. Najpogosteje iščemo robove objektov na gradientnih slikah.
Zunanja energija izvira iz podaktov oziroma iz slike. S kakšnimi slikami imamo opravka je zelo odvisno od primer do primera uporabe. Slike so lahko 2D, 3D, lahko so statične posamične slike, lahko gre za časovno zaporedje slik, ki ima včasih še omejitev realnega časa. Želimo torej, da se slike obdela v realnem času, tako hitro kot prihajajo, obstajajo pa tudi aktivni modeli, ki svoje zunanje sile črpajo iz barvnih slik ali tekstur.
Velikost in smer zunanje sile je popolnoma neodvisna od aktivnega telesa. Ko v neki točki izračunamo smer in velikost zunanje sile, bo ta sila delovala na točko aktivnega modela enako ne glede na to, ali je to točka aktivne krivulje, aktivne površine ali aktivnega telesa. Naša naloga pa je, da zunanje sile oblikujemo tako, da bodo aktivni model vlekle ali potiskale k iskanim strukturam na sliki. Najpogosteje na slikah išemo robove objektov, zato uporabimo gradientne slike, ki imajo minimum v točkah, kjer prihaja do velikih sprememb v svetilnosti slike ozrioma na robovih.
Tukaj imamo podan primer sivonivojske slike olimpijske zastave, poleg je gradientna slika, na koncu pa še profil oziroma prerez slike v približno tejle višini.

11. Variacijski pristop Iščemo rešitev Eulerjeve diferencialne enačbe
Direktna metoda
Aktivni modeli z vgrajenimi modeli oblike
Elastični model (vm=v0): oblika modela je nespremenljiva
Plastični model (vm=vt ): oblika modela se spreminja
Rešitev Eulerjeve diferencialne enačbe, ki je zapisana v matrični obliki, lahko izračunamo na več načinov. Mi smo uporabili direktno metodo, kjer desno stran enačbe postavimo enako časovnemu odvodu položaja. Ko enačbo preuredimo dobimo zapis, ki nam pove, kako se izračuna položaj aktivnega modela za naslednjo iteracijo. Na nov položaj tako vplivajo zunanje sile, kot tudi notranje sile v obliki matrike elastičnosti A.
V nadaljevanju bomo pogosto omenjali še aktivne modele z vgrajenimi modeli oblike. Za te aktivne modele je značilno, da pri minimizaciji energijskega funkcionala upoštevajo še poseben model oblike. Aktivni model torej pod vplivom notranjih sil ne konvergira v točko, kot je to značilno za klasične aktivne modele, pač pa konvergira v obliko, ki je podana z modelom oblike. Ta model oblike je v enačbo vnešen s posebnim členom A krat vm, pri čemer pa je vm lahko nespremenljiv med samo minimizacijo ali pa se spreminja iz iteracije v iteracijo. V naših preizkusih bomo uporabili dve vrsti vgarjenih modelov, ki smo jih poimenovali elastični model in plastični model. Elastični model, ko je vm enako v0, pomeni, da je začetni položaj v0 tudi model oblike, h kateremu stremi aktivni model. Če zunanje sile preoblikujejo aktivni model, nato pa jih odstranimo, se bo model povrnil v začetno obliko. Od velikosti notranjih sil je odvisno, kako hitro se bo to zgodilo. Pri plastičnem modelu pa nam model predstavlja trenutni položaj. Model se iz iteracije v iteracijo sicer upira preoblikovanju vendar nato prevzame novo obliko. Če odstarnimo zunanje sile, ki model preoblikujejo, bo model obdržal svojo trentuno obliko.

12. Koncept aktivne točke
Pri klasičnem pristopu se najprej diskretizira zvezni model, nato se na osnovi enačb zapiše matrika elastičnosti A.
Urejenost množice točk se odraža v pasovni urejenosti matrike A.
Pri metodi končnih diferenc so točka in njene povzave na sosednje točke osnovni sestavni del vsakega aktivnega modela.
Pri konceptu aktivne točke, na vsako točko modela gledamo kot na samostojen in neodvisen delček celotnega sistema.
Informacijo vsake aktivne točke posebej uporabimo za gradnjo matrike elastičnosti A.
Ne zanima nas kakšna je geometrijska struktura modela kot celote. Vse vrste modelov obravnavamo na enoten način.
Postopek izgradnje aktivnega modela je običajno tak, da določimo strukutro modela v zvezenem prostoru, nato pa ta model diskretiziramo in nato zapišemo matriko elastičnosti na osnovi prej pokazanih enačb. Pri diskretizaciji z metodo končnih diferenc model diskretiziramo z urejeno množico, to pomeni, da si indeksi lepo sledijo, enakomerno oddaljenih točk. Ta urejenost se odraža tudi v pasovni urejenosti matrik elastičnosti.
Pri pregledu vseh treh vrst klasičnih aktivnih modelov smo ugotovili, da je točka s svojimi povezavami najmanjši skupni element vsakega modela. Pri konceptu aktivne točke popolnoma spremenimo svoje izhodišče. Na aktivni model ne gledamo več od zunaj, ne vidimo ga kot celoto, ki je diskretizirana, pač pa se postavimo v mikrosvet same točke aktivnega modela. Na točko gledamo kot na samostojen in neodvisen delček celotnega sistema in nas ne zanima, kakšen je ta celotni sistem. Ne zanima nas ali je točka del aktivne krivulje, aktivne površine ali aktivnega telesa. Vse kar vemo o točki je njen položaj, indeks, parametri elastičnosti ter število in indeksi sosednjih točk. Kar želimo doseči, je, da bi na osnovi te informacije, ki se nahaja v vsaki točki posebej, zgradili aktivni model oziroma z drugimi besedami, zgradili matirko elastičnosti.

13. Dekompozicija matirke elastičnosti A
Matrika elastičnosti vsebuje koeficiente diskretizirane Eulerjeve diferencialne enačbe.
Dekompozicija matrike elastičnosti A
=0: A = A
=0: A = A
>0,  > 0: A = A + A
Posebni primeri matrike elastičnosti A
=1, =0, h=1: A = D
=0, =1, h=1: A = D
=1, =1, h=1: A = D + D
Najprej si oglejmo, kako lahko matriko elastičnosti razstavimo na dva dela. Tukaj imamo podan zapis diskretizirane Eulerjeve diferencialne enačbe, zdaj pa predpostavimo, da je vrednost parametra beta enaka 0. V tem primeru nam vsi tile členi odpadejo, ostaneta nam le še ta dva člena, ki ju nadziramo z parametrom alfa. Matriko elastičnosti nam torej sestavljajo le elementi izračunani na osnovi parametra alfa, zato smo to matirko označili z Aalfa. V drugem primeru, je vrednost parametra alfa enaka nič, odpadeta nam prva dva člena, matrika A pa je zgrajena le iz koeficientov s parametrom beta. To matriko smo poimenovali Abeta. Kadar sta oba parametra večja od nič, pa je matrika A kar preprosta vsota obeh matrik.
Za nas je zanimiv še sledeč primer, ko je parameter beta enak nič, alfa in ha pa sta enaka 1. Od gornje enačbe nam ostanejo le še tile členi in matriko A v tem primeru poimenujemo Dalfa. Če je alfa enaka 0, beta in ha pa sta enaka, nam od zgornje enačbe ostane le še tole in vtem primeru matriko A imenujemo Dbeta. Zopet velja, da v primeru, ko sta alfa in beta ter h enaki 1, je matrika A kar vsota obeh zgoraj omenjenih matrik.
Tisto, kar bo zdaj zanimivo bo povezava med vsemi temi matrikami.

14. -komponenta notranjih sil
Diskretizirana Eulerjeva diferencialna enačba aktivne krivulje:
=1, =0, h=1: A = D =
Geometrijska predstavitev
Zopet imamo zapisano diskretizirano eulerjevo diferencialno enačbo aktivne krivulje in poglejmo si primer, ko je alfa enaka 1, beta enaka nič in h enak 1. To je za primer, ko je matrika elastičnosti A enaka Dalfa. Tukaj imamo zapisano tisto, kar ostane od eulerjeve d. E. Oziroma v drugem delu nekoliko preurejeno enačbo. Zanimovo je, da na to enačbo oziroma na posamezne točke lahko gledamo kot na vektorje. Vi nam torej ne predstavlja le točke v prostoru ampak vektor, ki določa položaj točke v prostoru. Enačba je torej dejansko le seštevanje in odštevanje vektorjev, kar lahko tudi geometrijsko ponazorimo.
Druga slika nam tudi prikazuje, zakaj je notranja sila v točkah manjše ukrivljenosti, manjša.

15. -komponenta notranjih sil
Diskretizirana Eulerjeva diferencialna enačba aktivne krivulje:
=0, =1, h=1: A = D =
Poglejmo si še primer, ko je alfa enak 0, beta in ha pa enaka 1 ozrioma, kako je zapisana enačba Dbeta. Od eulerjeve df ostane le tole. Tule spodaj pa imamo še enkrat zapisano enačbo pri drugem odvodu. Če jo še nekoliko preuredimo ugotovimo, da je
Bistvenega pomena je torej ugotovitev, da lahko elemente matrike Dbeta v celoti predstavimo z elementi matrike Dalfa.

16. Algoritem aktivne točke
Notranje sile, ki izvirajo iz četrtega odvoda Eulerjeve diferencialne enačbe in so zapisane v matriki D lahko izračunamo direktno iz matrike D po enačbi
Algoritem aktivne točke:
Matriko D izračunamo iz topologije aktivnega modela
Matriko D izračunamo neposredno iz matrike D
Matriko elastičnosti izračunamo po enačbi
Bistvo algoritma aktivne točke je v tem, da lahko matirko elastičnosti kateregakoli aktivnega modela izračunamo po enostavnem postopku iz topologije modela. Imamo torej enoten postopek, ki nam omogoča obravnavo aktivnih krivulj, aktivnih površin in aktivnih teles.

17. Izračun matrike D
Kadar imamo opravka s klasičnim aktivnim modelom z enakomerno razporejenimi točkami, lahko uporabimo skrajšani algoritem aktivne točke.
Zdaj nas seveda zanima, kako izračunamo matriko Dalfa. Obstajata dva načina. Kadar imamo opravka s klasičnimi aktivnimi modeli, ki ima enakomerno razporejene točke in nima nekih hudih zahtev glede uravnavanja elastičnosti posemeznega dela modela, lahko uporabimo skrajšani algoritem aktivne točke. Tega bomo ilustrirali na sledečem primeru.

18. Sklopljeni aktivni modeli
Sklopljene aktivne modele dobimo, kadar med seboj povežemo klasične aktivne modele (krivulje, površine, telesa).
Matriko elastičnosti A sklopljenega aktivnega modela izračunamo z algoritmom aktivne točke.
Če nam aktivna točka predstavlja redukcijo aktivnih modelov na najmanjši skupni imenovalec, pa nam sklopljeni aktivni modeli predstavljajo njihovo ekstrapolacijo. Sklopljene aktivne modele dobimo tako, da med seboj povežemo več klasičnih aktivnih modelov. Na sliki imamo podan primer, ko sta skupaj speti dve aktivni krivulji. Tako smo dobili model, ki ni krivulja, pa tudi površina ne. Matriko elastičnosti takega sklopljenega aktivnega modela zgradimo po istem enostavnem algoritmu aktivne točke, kot smo to storili prej.

19. Sklopljeni aktivni modeli
Pri klasičnih aktivnih modelih vsaki točki pripišemo eno vrednost parametra elastičnosti  in eno vrednost parametra elastičnosti .
S temi vrednostmi vplivamo na moč povezave med točkami. Ker uporabljamo diferenco nazaj, oslabimo ali ojačamo zgolj povezave do točk z nižjim indeksom.
Značilnost klasičnih aktivnih modelov je, da jim za vsako točko predpišemo vrednost parametra elastičnosti alfa in beta. Običajno rečemo, da z njimi uravnavamo elastičnost in togost modela v dotični točki. Vendar pa je to malo zavajajoče. S parametri elastičnosti dejansko vplivamo na moč povezave med točkami in ne na dogajanje v točki sami. Na sliki je podan primer, ko smo v točki 3 zmanjšali vrednost parametrov elastičnosti. S tem smo oslabili povezavo med obema točkama, in zaradi diference nazaj se ta oslabitev pozna le pri povezavi na točke z nižjim indeksom, k višjim pa ne.

20. Sklopljeni aktivni modeli
V vsaki točki aktivnega modela potrebujemo toliko vrednosti parametrov elastičnosti  in , kolikor je povezav na sosednje točke.
Zato je naša ugotovitev, ki je tudi novost na področju aktivnih modelov, da bi dejansko v vsaki točki potebovali toliko parametrov elastičnosti, kot je povezav na sosednje točke. S tem imamo vpliv na vsako posamezno povezavo posebej.

21. Algoritem aktivne točke
Če želimo imeti možnost nastavljanja moči posameznih povezav, izračunamo matriki A in A na sledeč način:
Če želimo to fleksibilnosti pri določanju moči posameznih povezav vključiti v algoritem aktivne točke, se nekoliko spremeni algoritem izračuna matrike Dalfa.

22. Sklopljeni aktivni modeli
Nastavljanje moči povezav nam omogoča regulacijo vpliva posameznih povezav.
Možne so tudi asimetrične povezave, ko so vrednosti parametrov elastičnosti na obeh koncih iste povezave različne.

23. Sintetična slika
Za primer sintetične slike smo izbrali olimpijsko zastavo.
Barvni krogi se pretvorijo v kroge različnih nivojev sivin.
Krogi različnih nivojev sivin se med seboj prekrivajo.
Olimpijski krogi kot celota so dokaj zapleten model.
Delovanje sklopljenih aktivnih modelov smo preizkusili na dveh primerih in sicer tako na sintetični sliki kot tudi na realnih slikah. Slika olimpijske zastave nam predstavlja sintetično sliko, na kateri smo iskali robove olimpijskih krogov.

24. Začetni položaji modelov
Začetni položaj smo določili tako, da smo znani in željeni končni položaj aktivnih modelov uniformno premaknili navzdol.
p= p=20
p= p=30

25. Vrste aktivnih modelov
V preizkusih smo uporabili sledeče vrste aktivnih modelov:
10 neodvisnih klasičnih aktivnih krivulj
10 neodvisnih aktivnih krivulj z vgrajenimi modeli oblike
5 sklopljenih aktivnih modelov z vgrajenimi modeli oblike
1 sklopljen aktivni model z vgrajenim modelom oblike

26. Vrste aktivnih modelov
V preizkusih smo uporabili sledeče vrste aktivnih modelov:
10 neodvisnih klasičnih aktivnih krivulj
10 neodvisnih aktivnih krivulj z vgrajenimi modeli oblike
5 sklopljenih aktivnih modelov z vgrajenimi modeli oblike
1 sklopljen aktivni model z vgrajenim modelom oblike

27. Vrste aktivnih modelov
V preizkusih smo uporabili sledeče vrste aktivnih modelov:
10 neodvisnih klasičnih aktivnih krivulj
10 neodvisnih aktivnih krivulj z vgrajenimi modeli oblike
5 sklopljenih aktivnih modelov z vgrajenimi modeli oblike
1 sklopljen aktivni model z vgrajenim modelom oblike

28. Vrste aktivnih modelov
V preizkusih smo uporabili sledeče vrste aktivnih modelov:
10 neodvisnih klasičnih aktivnih krivulj
10 neodvisnih aktivnih krivulj z vgrajenimi modeli oblike
5 sklopljenih aktivnih modelov z vgrajenimi modeli oblike
1 sklopljen aktivni model z vgrajenim modelom oblike

29. Rezultati 10 neodvisnih aktivnih krivulj
=0.5; =0.5; p=15; =1; =1; p=15;
=1; =10; p=15; =10; =10; p=15;

30. Rezultati 10 neodvisnih aktivnih krivulj z vgrajeno obliko modela
=1; =0; p=15; =1; =10; p=15;
=10; =10; p=15; =100; =100; p=15;

31. Rezultati 5 sklopljenih aktivnih modelov z vgrajeno obliko modela
=1; =10; p=15; =100; =100; p=20;
=10; =10; p=25; =100; =100; p=30;

32. Rezultati 1 sklopljenega aktivnega modela z vgrajeno obliko modela
=1; =10; p=15; =100; =100; p=25;
=10; =10; p=30;

33. Segmentacija rentgenskih slik vratnih vretnec
Na razpolago smo imeli 19 poravnanih rentgenskih slik vratnih vretenc.
Na vsaki sliki so štiri vretenca (C3 do C6) označena s 7 ročno določenimi točkami.

34. Razdelitev slik v dve skupini
Slike smo razdelili na dve skupini
Skupina 10 slik namenjenih segmentaciji
Skupina 9 slik za izračun modela povprečne vrednosti – začetni položaj, ki je neodvisen od slike

35. Sklopljeni model vretenc
Sklopljeni model vretenc smo zgradili s povezovanjem 5 točk sosednjih vretenc.

36. Klasične aktivne krivulje
Začetni položaj aktivnih krivulj je neustrezen, zato so se klasične aktivne krivulje zelo slabo prilegale iskanim robovom.
Kopičenje točk v izrazitih delih robov
Prileganje ‘napačnim’ robovom

37. Klasične aktivne krivulje z omejenim gibanjem točk
Kopičenje točk lahko preprečimo tako, da točkam dovolimo premikanje le pravokotno na aktivno krivuljo.
Rezultati kljub temu niso bistveno boljši.

38. Baloni
Rezultate še izboljšamo, če uporabimo sile napihovanja oziroma aktivne modele imenovane baloni. S preizkusi lahko določimo pravo mero sil napihovanja.

39. Aktivne krivulje z vgrajenim modelom oblike
Zaradi slabo izraženih robov, smo uporabili model oblike, ki vzdržuje obliko aktivnega modela.
Rezultati so bistveno boljši.

40. Sklopljeni model
Na koncu smo uporabili še sklopljene aktivne modele z vgrajenimi modeli oblike. Oblika vretenca se ohranja, povezave pa povzročijo še dodatne deformacije.

41. Vrste modelov pri segmentaciji
Vsako sliko smo segmentirali s sledečimi aktivnimi modeli
Baloni
Aktivnimi modeli z vgrajeno obliko modela
plastični model oblike (vm=vt):
elastični model oblike (vm=v0):
Sklopljeni aktivni modeli z vgrajeno obliko modela
Vse zgoraj omenjene aktivne modele smo zagnali iz dveh različnih začetnih položajev
ročno določenega začetnega položaja
neodvisnega povprečnega začetnega položaja
Ker ne obstaja merilo, s katerim bi lahko izmerili uspešnost metode, smo morali izvesti anketo, s katero smo želeli potrditi uspešnost sklopljenih aktivnih modelov.

42. Metoda rangiranja
Sklopljeni aktivni modeli so boljši od ročno določenega položaja.
Sklopljeni aktivni modeli so najboljši od vseh testiranih aktivnih modelov.
Primerjava in rangiranje istoležnih krivulj: ročni položaj, baloni, vgrajeni modeli, sklopljeni modeli A J B D I 3 1 4 2 II
III IV

43. Metoda primerjanja
Želeli smo ugotoviti še vpliv začetnega položaja na rezultat
ročno določen položaj, ki pripada vsaki posamezni sliki
položaj, izračunan kot povprečje položajev preostalih 9 slik
Vpliv vrste vgrajenega modela na rezultat
elastični model oblike
plastični model oblike
B/C
D/E
F/G
H/I I B E = II D F
III C IV H

44. Metodologija raziskave
V raziskavi je sodelovalo 8 oseb
2 osebi, ki se ne ukvarjata ne z obdelavo slik, ne z medicino
4 osebe, ki se ukvarjajo z obdelavo slik
1 oseba, ki se ukvarja z medicino (splošni zdravnik)
1 oseba, zdravnik specialist, kirurg, ki izvaja operacije hrbtenice
Vsaka oseba je pregledala 10 kompletov slik in pri tem izvedla
160 razporeditev 4-ih krivulj po metodi rangiranja
320 primerjav dveh krivulj
Skupno je bilo torej izvedenih
1280 razporeditev
2560 primerjav

45. 95% Confidence Interval of the Difference
Rezultati rangiranja
Spodnji rezultati zajemajo vseh 8 oseb. Razporeditev uspešnosti metod je bila pričakovana.
Ugotoviti smo morali ali so rezultati skopljenih aktivnih modelov statistično pomembno boljši od aktivnih modelov z vgrajenimi modeli oblike. Statistično pomembnost smo ugotavljali s parnim T testom.
Mean
Std. Deviation
Std. Error Mean
Ročno
2,9503
,41143
,04659
Baloni
3,6226
,43001
,04869
Vgrajeni
1,7917
,32054
,03629
Sklopljeni
1,4768
,29021
,03286
Paired Differences t df
Sig.
(2-tailed)
Mean
Std. Deviation
Std. Error Mean
95% Confidence Interval of the Difference
Lower
Upper
Vgrajeni – Sklopljeni
,3149
,33551
,03799
,2393
,3905
8,289 77
,000

46. Rezultati rangiranja - strokovnjak
Spodnji rezultati zajemajo le ocene strokovnjaka. Tudi tukaj je razporeditev metod pričakovana, vendar so ocene nižje.
Ugotoviti smo morali ali so rezultati skopljenih aktivnih modelov statistično pomembno boljši od aktivnih modelov z vgrajenimi modeli oblike. Statistično pomembnost smo ugotavljali s parnim T testom.
Mean
Std. Deviation
Std. Error Mean
Ročno
2,8000
,18587
,05878
Baloni
3,6563
,37180
,11757
Vgrajeni
2,0313
,31903
,10089
Sklopljeni
1,7813
,23981
,07583
Paired Differences t df
Sig.
(2-tailed)
Mean
Std. Deviation
Std. Error Mean
95% Confidence Interval of the Difference
Lower
Upper
Vgrajeni - Sklopljeni
,2500
,17180
,05433
,1271
,3729
4,602 9
,001

47. Rezultati primerjave plastični/elastični
Spodnji rezultati zajemajo vseh 8 oseb. Povprečni vrednosti sta si blizu skupaj, standardni odklon pa je precej velik. To kaže na to, da med obemi povprečji najbrž ni statistično pomembne razlike.
Zgornja predvidevanja potrdi tudi parni T test
Mean
Std. Deviation
Std. Error Mean
Plastični
51,9068
13,46925
1,51541
Elastični
48,0932
Paired Differences T df
Sig.
(2-tailed)
Mean
Std. Deviation
Std. Error Mean
95% Confidence Interval of the Difference
Lower
Upper
Plastični - Elastični
3,814
26,93850
3,0302
-2,220
9,848
1,258 78
,212

48. Rezultati primerjave ročno/povprečje
Spodnji rezultati zajemajo vseh 8 oseb. Povprečni vrednosti sta si blizu skupaj, standardni odklon pa je precej velik. To kaže na to, da med obemi povprečji najbrž ni statistično pomembne razlike.
Zgornja predvidevanja potrdi tudi parni T test
Mean
Std. Deviation
Std. Error Mean
Ročni
47,6592
18,13740
2,04062
Povprečje
52,3408
Paired Differences t df
Sig.
(2-tailed)
Mean
Std. Deviation
Std. Error Mean
95% Confidence Interval of the Difference
Lower
Upper
Ročni – Povprečje
-4,682
36,27480
4,0812
-12,81
3,443
-1,147 78
,255

49. Zaključek
Podan je bil nov pogled na klasične aktivne modele ter pripadajoči algoritem aktivne točke.
Algoritem nam omogoča enotno obravnavo kateregakoli aktivnega modela, ne glede na njegovo prostorsko dimenzijo.
Z algoritmom zlahka zgradimo sklopljene aktivne modele.
Algoritem nam omogoča boljše določanje elastičnih lastnosti aktivnih modelov.
Na primerih sintetičnih in realnih slik smo pokazli, da sklopljeni aktivni modeli vračajo bistveno oziroma statistično pomembno boljše rezultate.
Z nekoliko boljšo določitvijo začetnega položaja bi lahko še izboljšali rezultate segmentacije vratnih vretenc.