1. Marina Kogan Sadetsky – 1.2016
יסודות מבני נתונים
תרגול 13: עץ פורש מינימלי - Minimum Spanning Tree (MST)
Marina Kogan Sadetsky –

2. Minimum Spanning Tree (MST)
Kruskal’s algorithm
Select the shortest edge in a network
Select the next shortest edge which does not create a cycle
Repeat step 2 until all vertices have been connected
Prim’s algorithm
Select any vertex
Select the shortest edge connected to that vertex
Select the shortest edge connected to any vertex already connected
Repeat step 3 until all vertices have been connected

3. Example Kruskal’s Algorithm B C 3 6 8 A D F 7 5 4 2 E
List the edges in order of size:
ED 2
AB 3
AE 4
CD 4
BC 5
EF 5
CF 6
AF 7
BF 8
CF 8 A F B C D E 2 7 4 5 8 6 3

4. Kruskal’s Algorithm Select the shortest edge in the network B C 3 6 8F B C D E 2 7 4 5 8 6 3

5. Kruskal’s Algorithm B C 3 6 8 A D F 7 5 4 2 E Select the next shortest
edge which does not
create a cycle
ED 2
AB 3 A F B C D E 2 7 4 5 8 6 3

6. Kruskal’s Algorithm B C 3 6 8 A D F 7 5 4 2 E Select the next shortest
edge which does not
create a cycle
ED 2
AB 3
CD 4 (or AE 4) A F B C D E 2 7 4 5 8 6 3

7. Kruskal’s Algorithm B C 3 6 8 A D F 7 5 4 2 E Select the next shortest
edge which does not
create a cycle
ED 2
AB 3
CD 4
AE 4 A F B C D E 2 7 4 5 8 6 3

8. Kruskal’s Algorithm B C 3 6 8 A D F 7 5 4 2 E Select the next shortest
edge which does not
create a cycle
ED 2
AB 3
CD 4
AE 4
BC 5 – forms a cycle
EF 5 A F B C D E 2 7 4 5 8 6 3

9. Kruskal’s Algorithm B C 3 6 8 A D F 7 5 4 2 E All vertices have been
connected.
The solution is
ED 2
AB 3
CD 4
AE 4
EF 5
Total weight of tree: 18 A F B C D E 2 7 4 5 8 6 3

10. Example Prim’s Algorithm B C 3 6 8 A D F 7 5 4 2 E Select any vertex A
Select the shortest edge connected to that vertex
AB 3 A F B C D E 2 7 4 5 8 6 3

11. Prim’s Algorithm B C 3 6 8 A D F 7 5 4 2 E Select the shortest
edge connected to
any vertex already
connected.
AE 4 A F B C D E 2 7 4 5 8 6 3

12. Prim’s Algorithm B C 3 6 8 A D F 7 5 4 2 E Select the shortest
edge connected to
any vertex already
connected.
ED 2 A F B C D E 2 7 4 5 8 6 3

13. Prim’s Algorithm B C 3 6 8 A D F 7 5 4 2 E Select the shortest
edge connected to
any vertex already
connected.
DC 4 A F B C D E 2 7 4 5 8 6 3

14. Prim’s Algorithm B C 3 6 8 A D F 7 5 4 2 E Select the shortest
edge connected to
any vertex already
connected.
EF 5 A F B C D E 2 7 4 5 8 6 3

15. Prim’s Algorithm B C 3 6 8 A D F 7 5 4 2 E All vertices have been
connected.
The solution is
AB 3
AE 4
ED 2
DC 4
EF 5
Total weight of tree: 18 A F B C D E 2 7 4 5 8 6 3

16. Some points to note
Both algorithms will always give solutions with the same length.
They will usually select edges in a different order – you must show this in your workings.
Occasionally they will use different edges – this may happen when you have to choose between edges with the same length. In this case there is more than one minimum connector for the network.

17. Kruskal Prim מתחילים בכך שכל קדקוד גרף הוא עץ
כל פעם נוסיף קשת בעלת משקל מינימלי המחברת בין שני עצים שונים
מסיימים כאשר הוספנו |V|1 צלעות
זמן ריצה O(E logV)
Prim
מתחילים מקדקוד רנדומלי R שהוא יהיה שורש של MST
כל פעם מוסיפים קדקוד חדש v לעץ פורש כך שהקשת המחברת את v עם MST היא בעלת משקל מינימלי
מסיימים כאשר הוספנו |V|1 צלעות
זמן ריצה O(E logV)
שאלה: האם נכון להגיד שאם בגרף יש שתי צלעות לפחות עם משקל זהה שמשתתפות באותו מעגל, אז יש לגרף הזה יותר מעץ פורש מינימלי אחד?
שאלה: האם נכון להגיד שאם בגרף יש שתי צלעות לפחות עם משקל זהה, אז יש לגרף הזה יותר מעץ פורש מינימלי אחד?
תשובה: לא. לדוגמא נקח גרף שהוא מעגל עם שלוש צלעות עם משקלות 1,1,ו 2. ברור שלגרף הזה יש MST יחיד, שבמקרה הזה גם מכיל את שתי הצלעות עם משקל זהה.
תשובה: לא. אם גרף הוא עץ כאשר לכל הצלעות אותו משקל (דוגמא קיצונית), הרי ברור שיש לגרף הזה עץ פורש יחיד

18. שאלה 1