1. Fundamentals of GA Part 10
S. M. Vahidipour

2. Degree-Constrained MST
If we assume that there is a degree constraint on each vertex
dj: the degree of Vj

3. Heuristic Algorithm it is difficult to operate large scale problem
1. Finding a MST without a degree constraint
2. Modifying the MST combined with a degree constraint
it is difficult to operate large scale problem
paper:
Narula and Ho, Degree-constrained MST,.., 1980
Savelsberg, Local search for routing problem with time windowing, 1985.
Volgenant, A Lagrangean approach to the degree-constrained MST problem,…, 1989.

4. GA Implementation
a specific representation: Degree-based Permutation: It has two parts
The connectivity among vertices
The degree value of each vertex
A 2˟n matrix is needed to represent a chromosome for a n-vertex tree.
the vertex dimension: take the integers from 1 to n
the degree dimension: take the integer from 1 to b
Paper: A New Tree Encoding for the Degree-Constrained Spanning Tree Problem Zhou, et. al., Computational Intelligence and Security, 2007.

5. Degree-Based Permutation Encoding
گام دوم: فرزندان رأس جاری را از چپ به رأست چک می کنیم. اگر فرزندی وجود داشت، آن را در بعد مربوط به رأس و درجه‏ی آن را در بعد مربوط به درجه قرار می دهیم و به گام 3 می رویم. اگر چنین رأسی وجود نداشت، رأس پدر را به عنوان رأس جاری در نظر می گیریم و به گام 2 می رویم.
گام سوم: اگر رأس فرزند، برگ نباشد آن را رأس جاری قرار می دهیم و به گام 2 می رویم و اگر برگ باشد آن را حذف کرده و به گام 4 می رویم.
گام چهارم: اگر همه‏ی رأس ها چک شده اند متوقف می شویم. وگرنه به گام 2 می رویم.

6. Degree-Based Permutation decoding

7. Degree-Based Permutation coding
any spanning tree can be encoded by the representation
any encoding represents a spanning tree
The relation between them may not be 1-to-1
different encoding may present the same tree
small changes in the genotype make small changes in the phenotype: Locality

8. Initial population
the gene in this problem need to satisfy the following conditions:
For an n-vertex tree, the degree value for any vertex is at least 1
total degree value for all vertices is 2(n-1)

9. X-over
Order X-over: it is operated only on the vertex dimension

10. Swap Mutation on Vertices

11. Insertion Mutation
This operator can maintain a good heritage from generation to generation

12. Numerical Examples
Popsize=100, X-rate=0.4, M-rate(exchange=0.2 Insertion=0.6), Max-Gen=500
five randomly generated instance.
The weights are generated randomly over [10,100]
The Lower bounds (LBs) are calculated using Prim’s by relaxing the degree constrained.

13. Results

14. Some Spanning Tree Coding
RPM (Randomized Primal Method)
Encoding Prüfer
Edge-Set (Direct Tree Encoding)
LNB (Link & Node Biased)
Determinant Encoding
NetKey (Network Random Key)
S/D Binary (Splicing/Decomposable)
Characteristic Vector
Predecessor Coding
CB-TCR (Cycle-Breaking Tree-Construction-Routine)

15. Edge Set
درخت پوشا مستقیما با مجموعه‏ی یال‏هایش نمایش داده می‏شود و هر یال نیز با دو رأسش در گراف مشخص می‏شود.
این کدینگ را می‏توان در ساختمان داده‏های گوناگونی مانند آرایه یک‏بعدی یا دوبعدی و یا Hash Table پیاده‏سازی کرد.
Paper: G. R. Raidl, B. A. Julstrom: Edge-Sets, An Effective Evolutionary Coding of Spanning Trees,…,2003

16. Link and Node Biased
:G(V , E) گراف کامل با n رأس و یک تابع هزینه‏ی C:V×V → R+.
یک رشته از اعداد صحیح در بازه‏ی [0-255] است که نشان‏دهنده‏ی Link biasها و Node biasها می‏باشد.
برای به دست آوردن درخت پوشای متناظر با این کدینگ، ابتدا با استفاده از رابطه زیر یک تابع هزینه‏ی جدید برای گراف به دست می‏آوریم.
Cmax: ماکزیمم هزینه‏ی اتصالات در گراف اولیه است
bi,j : Link bias مربوط به یال بین راس‏های i و j
bi :Node bias مربوط به نود i
p1 و p2 : پارامترهای کنترلی
با توجه به وزن‏های جدید یال‏های گراف، الگوریتم Prim را برای یافتن درخت پوشای کمینه اجرا می‏کنیم. درخت به دست آمده، متناظر با کرومزوم کدشده به وسیله‏ی LNB می‏باشد.
Paper: Sang-Moon Soak, A New Evolutionary Approach for the Optimal Communication Spanning Tree Problem,.., 2006.

17. CB-TCR (Cycle-Breaking Tree-Construction-Routine)
از جدیدترین کدینگ‏هایی که در عین سادگی، کارآیی بالایی دارد.
برای نمایش درخت پوشا از کرومزومی به طول 2(n-1) استفاده می‏شود که هر ژن آن عدد صحیحی بین 1 تا n است و یکی از رأس‏های گراف را نشان می‏دهد.
هر رأس باید حداقل یک بار در کدینگ ظاهر شود.
هر جفت ژن کنار هم در کرومزوم، یک یال را نشان می‏دهد.
Paper: Sang-Moon Soak, A New Evolutionary Approach for the Optimal Communication Spanning Tree Problem,.., 2006

18. CB-TCR-coding
از اولین ژن شروع کرده و یال‏ها را به ترتیب به زیردرخت اضافه می‏کنیم.
در صورت به وجود آمدن چرخه، یالی از چرخه که بیشترین هزینه را در گراف دارد، حذف می‏شود.

19. Encoding comparison
فضا: کرومزوم‏ها نباید مقدار زیادی از فضای حافظه را اشغال کنند.
زمان: پیچیدگی زمانی ارزیابی، ترکیب و جهش کرومزوم‏ها باید کم باشد. هنگامی که کرومزوم‏ها یک درخت پوشا را نشان می‏دهند، در ارزیابی یک جواب، ممکن است نیاز به رمزگشایی کرومزوم برای تعیین درخت متناظر با آن باشد.
Feasibility : همه‏ی کرومزوم‏ها خصوصا آنهایی که بعد از عمل ترکیب یا جهش تولید می‏شوند، باید جواب‏هایی را نشان دهند که ممکن و شدنی باشد.
Coverage : کدینگ باید قابلیت نمایش همه‏ی جواب‏های ممکن را داشته باشد.
Locality : یک کرومزوم جهش‏یافته معمولا باید جوابی را که شبیه به والدش باشد نشان دهد. در اینجا باید درختی را نشان دهد که دارای بیشترین یال‏های موجود در درخت پدر باشد.
Heritability : فرزند به وجود آمده از عمل ترکیب باید حاوی ترکیبی از زیرساخت‏های موجود در والدینش باشد. در اینجا فرزند باید درختی را نشان دهد که حاوی بیشترین یال‏های موجود در درخت‏های والد باشد.
Constraints: رمزگشایی کرومزوم‏ها و نیز عملگرهای ترکیب و جهش باید قابلیت این را داشته باشند که محدودیت‏های مشخص شده در مسأله را اعمال کنند. در اینجا می‏توان محدودیت درجه‏ی هر رأس در درخت را مثال زد

20. Encoding comparison خوب متوسط دارد زیاد کم ضعیف CB-TCR LNB Edge-Set
Prufer
O(n)
O(n+m)
Space
O(m+nlgn)
O(nlgn)
Time
خوب
متوسط
Feasibility
دارد
Coverage
زیاد کم
Locality
ضعیف
Heritability
Constraints