1. MOMENTS AND MOMENT INVARIANTS IN PATTERN RECOGNITION
Neizrazita logika

3. Moments
Moments are scalar quantities used to characterize a function and to capture its significant features.
used in statistics for description of the shape of a probability density function
used in classic rigid-body mechanics to measure the mass distribution of a body
From the mathematical point of view, moments are “projections” of a function onto a polynomial basis
(similarly, Fourier transform is a projection onto a basis of harmonic functions).

4. General moments

5. Geometric moments

6. Complex moments

7. Moment invariants to translation and rotation

8. Invariants to translation central geometric moments

9. Rotation invariants from complex moments
Basis of invariants of the second and third orders:

10. Algorithms for moment computation

11. Geometric moments – Matlab funkcija
Kontinuirani:
Diskretni:
function m_pq = Moment_pq(A,p,q)
sum1=0;
[n2 n1]=size(A);
for i=1:n1,
for j=1:n2,
sum1=sum1+i^p*j^q*A(j,i);
end
m_pq=sum1;

12. Central moments – Matlab funkcija
Kontinuirani:
Diskretni:
function cm_pq = Central_pq(A,p,q)
m00 = Moment_pq(A,0,0);
m10 = Moment_pq(A,1,0); m01 = Moment_pq(A,0,1);
mx1 = m10/m00; my1 = m01/m00;
sum1=0;
[n2 n1]=size(A);
for i=1:n1,
for j=1:n2,
sum1=sum1+(i-mx1)^p*(j-my1)^q*A(j,i);
end
cm_pq = sum1;

13. Complex (central) moments – Matlab funkcija
Kontinuirani:
Diskretni:
function cx_pq = CComplex_pq(A,p,q)
m00 = Moment_pq(A,0,0);
m10 = Moment_pq(A,1,0); m01 = Moment_pq(A,0,1);
mx1 = m10/m00; my1 = m01/m00;
sum1=0;
[n2 n1]=size(A);
for ii=1:n1,
for jj=1:n2,
sum1=sum1+((ii-mx1)+(jj-my1)*i)^p*((ii-mx1)-(jj-my1)*i)^q*A(jj,ii);
end
cx_pq = sum1;

14. Izbor baze centralnih momenata invarijantne na translacije
function vm = VektorCentralMoments(A)
c00 = Central_pq(A,0,0);
c20 = Central_pq(A,2,0);
c02 = Central_pq(A,0,2);
c30 = Central_pq(A,3,0);
c03 = Central_pq(A,0,3);
c40 = Central_pq(A,4,0);
c04 = Central_pq(A,0,4);
% variance of a distribution:
w20 = sqrt(c20/c00);
w02 = sqrt(c02/c00);
% skewness of a distribution:
w30 = c30/c20^(3/2);
w03 = c03/c02^(3/2);
% kurtosis of a distribution:
w40 = c40/c20^2;
w04 = c04/c02^2;
% base vector of central moments:
vm = [w20 w02 w30 w03 w40 w04];

15. Izbor baze kompleksnih momenata invarijantne na translacije i rotacije
function vcm = VektorComplexMoments(A)
c11 = CComplex_pq(A,1,1);
c21 = CComplex_pq(A,2,1);
c12 = CComplex_pq(A,1,2);
c20 = CComplex_pq(A,2,0);
c30 = CComplex_pq(A,3,0);
F11 = c11;
F21 = c21*c12;
F20 = c20*c12^2;
F30 = c30*c12^3;
rF20 = real(F20);
iF20 = imag(F20);
rF30 = real(F30);
iF30 = imag(F30);
vcm = [F11 F21 rF20 iF20 rF30 iF30];

16. Normalizirana razlika baznih vektora
Bazni vektor (kompleksni ili centralni) slike A:
Norma baznog vektora slike A:
Normirana razlika baznih vektora slike A i slike B:
Ako su slike A i slike B “jednake” (A = translatirana/rotirana B): D(A,B)  0
Ako su slike A i slike B različite: 0 << D(A,B)  1

17. Main1.m
%% Ucitavanje slika u jpg formatu:
rE=imread('SlovoE.jpg');
%% Konverzija slika u Logicke varijable 0 i 1
%% BIJELO == 1 !!!
%% CRNO == !!!
levelE = graythresh(rE); E = im2bw(rE,levelE);
%% Inverzija BIJELOG (1) U CRNO (0); 1 -> 0 & 0 -> 1;
E=1-E;
figure(1), subplot(231), imshow(1-E)
%% Translacija slike za Lx i Ly:
Lx=100; Ly=75;
EE = Translation(E,Lx,Ly);
%% Rotacija slike za Theta:
Theta=90; % stupnjevi (deg)
ER = imrotate(E,Theta,'crop');
Complex_E = VektorComplexMoments(E)
Complex_EE = VektorComplexMoments(EE)
Complex_ER = VektorComplexMoments(ER)
Complex_RazlikaIzmedju_E_i_EE =
norm(Complex_E - Complex_EE)/(norm(Complex_E)+norm(Complex_EE))

18. Centralni i kompleksni momenti u slučaju translacije i rotacije
Main1.m
Centralni i kompleksni momenti u slučaju translacije i rotacije
Central_E = [ ]
Complex_E = 1.0e+040 *[ ]
Central_EE =[ ]
Complex_EE =1.0e+040 *[ ]
Central_RazlikaIzmedju_E_i_EE = 0
Complex_RazlikaIzmedju_E_i_EE = e-015
Central_ER =[ ]
Complex_ER =1.0e+040 *[ ]
Central_RazlikaIzmedju_E_i_ER =
Complex_RazlikaIzmedju_E_i_ER = e-014

19. Main2.m
Normirane razlike baznih vektora kompleksnih momenata u slučaju translacije i rotacije tri različita objekta (slova E, T, H)

20. Main2.m
Normirane razlike baznih vektora kompleksnih momenata u slučaju translacije i rotacije tri različita objekta (slova F, L, Z)

21. Imamo 8 objekata koje naš vizijski sustav treba prepoznati:
Main3.m
Imamo 8 objekata koje naš vizijski sustav treba prepoznati:
Objekt 1
Objekt 2
Objekt 3
Objekt 4
Objekt 5
Objekt 6
Objekt 7
Objekt 8
Ispod kamere su ti dijelovi nepravilno razbacani -
translatirani i/ili zarotirani u odnosu na originalne (gornje) uzorke.
Npr.:
Uzorak 1
Uzorak 2
Uzorak 3
Računamo normirane razlike kompleksnih baznih vektora između
ulaznog uzorka i svih 8 objekata (Complex_Razlika) =>

22. Main3.m
Uzorak 1
Complex_Razlika = [ ]
Uzorak 1 – Objekt 8 = najmanji !!!
Vidimo da su dva ista slovo u različitim fontovima više nego jasno razlučena !
Uzorak 2
Complex_Razlika = [ ]
Uzorak 2 – Objekt 6 = najmanji !!!
Complex_Razlika = [ ]
Uzorak 3
Uzorak 3 – Objekt 7 = najmanji !!!

23. Invarijantnost na uniformno skaliranje
Scaling invariance is obtained by proper normalization of each moment
Any moment can be used as a normalizing factor

24. Skalirani centralni momenti
function scm_pq = ScaledCM_pq(A,p,q)
m00 = Moment_pq(A,0,0);
m10 = Moment_pq(A,1,0); m01 = Moment_pq(A,0,1);
mx1 = m10/m00; my1 = m01/m00;
sum1=0;
[n2 n1]=size(A);
for i=1:n1,
for j=1:n2,
sum1=sum1+(i-mx1)^p*(j-my1)^q*A(j,i);
end
cm_pq = sum1;
scm_pq = cm_pq/m00^(1+(p+q)/2);

25. Skalirani kompleksni momenti
Invarijantan na: translaciju, rotaciju i skaliranje !
function scx_pq = SCComplex_pq(A,p,q)
m00 = Moment_pq(A,0,0);
m10 = Moment_pq(A,1,0); m01 = Moment_pq(A,0,1);
mx1 = m10/m00; my1 = m01/m00;
sum1=0;
[n2 n1]=size(A);
for ii=1:n1,
for jj=1:n2,
sum1=sum1+((ii-mx1)+(jj-my1)*i)^p*((ii-mx1)-(jj-my1)*i)^q*A(jj,ii);
end
cx_pq = sum1;
scx_pq = cx_pq/m00^(1+(p+q)/2);

26. Main4.m
Skalirani centralni i kompleksni momenti u slučaju skalirane translacije i rotacije
ScaledCentral_E = [ ]
ScaledComplex_E = [ ]
ScaledCentral_EE = [ ]
ScaledComplex_EE = [ ]
Central_RazlikaIzmedju_E_i_EE =
Complex_RazlikaIzmedju_E_i_EE =
ScaledCentral_RazlikaIzmedju_E_i_EE =
ScaledComplex_RazlikaIzmedju_E_i_EE = e-004
ScaledCentral_ER = [ ]
ScaledComplex_ER = [ ]
Central_RazlikaIzmedju_E_i_ER =
Complex_RazlikaIzmedju_E_i_ER =
ScaledCentral_RazlikaIzmedju_E_i_ER =
ScaledComplex_RazlikaIzmedju_E_i_ER =