1. دکتر حسين بلندي- دکتر سید مجید اسما عیل زاده
بسم ا... الرحمن الرحيم
درس کنترل ديجيتال
مهر 1389
دکتر حسين بلندي- دکتر سید مجید اسما عیل زاده

2. ” آشنايی با سيستم های کنترل زمان - گسسته“
فصل اول
” آشنايی با سيستم های کنترل زمان - گسسته“
در سالهای اخير، بسياری از سيستم های صنعتی، کامپيوتر های ديجيتال را به عنوان جزء لازم عمليات خود دربر می گيرند. سير تکاملی اخير ميکروپروسسورها و ميکروکامپيوترها که می توانند در وظايف کنترلی مختلف مورد استفاده قرار گيرند، روند جديدی در جهت منظور کردن کامپيوترهای ديجيتال حتی در سيستم های کنترل با مقياس کوچک به منظور به دست آوردن عملکرد بهينه برقرار کرده است.

3. در مهندسی کنترل، کامپيوترهای ديجيتال برای دو منظور مختلف بکار برده می شوند:
1- تحليل و ترکيب سيستم های کنترل پيچيده شامل شبيه سازی ديجيتالی و محاسبه ديجيتالی ديناميک های کنترل پيچيده
2- به صورت کنترل کننده در سيستم های کنترل
تاکيد ما در اين دوره بر کنترل کننده های ديجيتال است نه بر شبيه سازی ديجيتالی يا محاسبه ديجيتالی ديناميک های کنترل پيچيده.

4. انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل
People know more than machines, so
leave decisions to them
Manual operation
Mechanical Operation
Pneumatic Devices
Analog Electronics
Digital Electronics

5. انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل
Mechanical Devices
The value of variable is represented by position of equipment
Manual operation
Mechanical Operation
Pneumatic Devices
Analog Electronics
Digital Electronics

6. انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل
the value of variable is proportional to air pressure
Manual operation
Mechanical Operation
Pneumatic Devices
Analog Electronics
Digital Electronics

7. force balance-Newtone law
انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل
Manual operation
PID implementation in pneumatic devices
Mechanical Operation
force balance-Newtone law
Pneumatic Devices
Analog Electronics
Digital Electronics

8. انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل
the variable is proportional to voltage or current
Manual operation
Mechanical Operation
Pneumatic Devices
Analog Electronics
Digital Electronics

9. current balance-(Kirkoff’s laws)
انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل
Manual operation
PID implementation in analog electronics
Mechanical Operation
current balance-(Kirkoff’s laws)
Pneumatic Devices
Analog Electronics
Digital Electronics

10. انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل
Manual operation
Mechanical Operation
Pneumatic Devices
Analog Electronics
Digital Electronics
Displays of variables, calculations, and commands to valves are in the central control room

11. Missile guidance & Control Satellite Attitude Control
نمونه كاربردهاي سیستمهای كنترل ديجيتال
used to manufacture product
embedded in product
Industrial Control
Missile guidance & Control
Satellite Attitude Control
Flight Control
Engine Control
Mobile robot
Motion Control

12. نمونه هایی از كاربردهای عملي
صنایع پتروشیمی
سیستمهای فضایی
صنایع موشکی و رباتیک

13. انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل
Why digital control?
digital control versus analog control
دقت:
سيستمهاي ديجيتال از دقت بالاتري برخوردار مي باشند و در اثر نويز مختلف كمتر از سيگنالهاي آنالوگ دچار خطا مي شوند
خطاهاي پياده سازي:
پردازش ديجيتال سيگنالهاي كنترل: بر اساس مقادير ذخيره شده مي باشد كه نمايش ديجيتال آنها با خطاي كمي همراه است.
پردازش سيگنال آنالوگ: از المانهائي مثل خازن و مقاومت استفاده مي كند كه مقادير آنها نسبت به مقادير نامي تغيير محسوسي مي كند.

14. انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل
digital control versus analog control
انعطاف پذيري:
كنترل كننده هاي آنالوگ: با پياده سازي سخت افزاري آنها، اصلاح يا تغيير طراحي مشكل خواهد بود
كنترل كننده هاي آنالوگ: تنها پياده سازي كنترل كننده هاي ساده امكان پذير خواهد بود
كنترل كننده هاي ديجيتال: اصلاح آنها بدون جايگزينی كامل كنترل كننده اصلي ميسرخواهد بود
كنترل كننده هاي ديجيتال: پيچيده تر شدن كنترل كننده تنها منتج به اضافه شدن چند عمليات رياضي در كنترل كننده مي گردد

15. انواع روشهاي پياده سازي سيستمهاي كنترل
digital control versus analog control
سرعت و هزينه :
سخت افزارهاي كامپيوتري سريع تر، پريودهاي نمونه برداري كوتاه تري را نتيجه مي دهند
با پريودهاي نمونه برداري كوتاه، كنترل كننده هاي ديجيتال، متغيرهاي كنترلي را تقريبا بطور پيوسته مونيتور مي كنند
پيشرفت در تكنولو‍ژي VLSI منجر به مدارات مجتمع بهتر، سربع تر و مطمئن تر و با قيمت كمتر شده است.

16. بلوك دياگرام کلی یک سيستم كنترل ديجيتال
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
S/H
&
A/D
مبدل +
كامپيوتر
ديجيتال
D/A
مبدل
مدار
نگهدار
محرك
دستگاه يا
فرايند -
مبدل

17. Automatic Aircraft Landing System
سيستم كنترل اتوماتيك مربوط به زمين نشستن يك هواپيما
Automatic Aircraft Landing System
Radar
unit
Transmitter
Digital Computer
Lateral position
Bank command(tilt)
Controlling
unit
Pitch command
Vertical position

18. Control system attempts to force y(t) to zero
سيستم كنترل موقعيت افقي هواپيما
disturbance
Wind input
Bank
command
Aircraft
position
Aircraft
Lateral
system
y(t)
Data
hold T
y(kT) +
Radar noise +
Control system attempts to force y(t) to zero
Lateral
Digital
controller
difference between the exact aircraft position and the measured position
Desired
position

19. کنترل دور موتور DC با استفاده از کنترل کننده دیجیتال

20. شماتیک حلقه بسته سیستم کنترل دیجیتال دور موتور DC

21. مراحل طراحی سیستم کنترل دور موتور DC
2- طراحی کنترل کننده آنالوگ PI
3- تبدیل کنترل کننده آنالوگ به دیجیتال
4- تحقق کنترل کننده

22. روش های مدلسازی: مدلسازی موتور
اولین گام در طراحی یک سیستم کنترل ، مدلسازی سیستم تحت کنترل است.
روش های مدلسازی:
مدلسازی بر اساس قوانین و روابط فیزیکی حاکم بر سیستم
مدلسازی با استفاده از اطلاعات ورودی- خروجی سیستم

23. مدلسازی با استفاده اطلاعات ورودی خروجی
اعمال ورودی پله با ولتاژهای 2.5 ، 5 ، 7.5 ، 9.47 ولت
اندازه گیری سرعت موتور

24. موتور DC را می توان بصورت یک سیستم مرتبه اول مدل کرد.
تخمین پارامترهای مدل
میانگین گیری از پارامترها

25. بررسی صحت مدل استخراج شده

26. طراحی کنترل کننده PI آنالوگ

27. طراحی کنترل کننده PI آنالوگ

28. تبدیل کنترل کننده آنالوگ به دیجیتال

29. روش تفاضل معکوس

30. روش تبدیل دو خطی

31. روش تغییر ناپذیری ضربه

32. روش تغییر ناپذیری پله

33. تحقق سیستم کنترل دور موتور DC

34. اجزای سیستم کنترل حلقه بسته
میکروکنترلر
اجرای الگوریتم کنترل و محاسبه سیگنال کنترلی
محاسبه سرعت موتور با استفاده از سیگنال خروجی سنسور سرعت نوری
مبدل دیجیتال به آنالوگ
تبدیل سیگنال دیجیتال u(kT) به سیگنال آنالوگ ولتاژ
عملگر
تقویت جریان ناشی از سیگنال کنترل u(kT) جهت راه اندازی موتور DC
سنسور سرعت نوری
اندازه گیری سرعت چرخش موتور با تولید پالس

35. شماتیک سخت افزاری سیستم کنترل
D/A نمایشگر
موتور DC راه انداز موتور DC واحد پردازش و کنترل

36. بورد سیستم کنترل
بخش راه انداز بخش کنترل و پردازش

37. پاسخ سیستم
نمودار سرعت موتور DC

38. Overview Continuous or analog signals Discrete-time signals
Basic analog signals
Basic discrete signals
Quantized signals
Digital signals
Representation of signals in MATLAB

39. What is a signal?
A signal is a physical quantity, or quality, which conveys information
Example: voice of my friend is a signal which causes me to perform certain actions or react in a particular way
My friend's voice is called an excitation
My action or reaction is called a response

40. Continuous or analog signals
Continuous signal is a signal that exists at every instant of time
A continuous signal is often referred to as continuous time or analog

41. سيگنالی است که در گستره پيوسته ای از زمان تعريف می شود که دامنه آن می تواند گستره پيوسته ای از مقادير را انتخاب کند. شکل (الف) يک سيگنال آنالوگ زمان - پيوسته وشکل (ب) يک سيگنال کوانتيزه شده زمان - پيوسته را نشان می دهد.

42. Discrete-time signals
A signal defined only for discrete values of time is called a discrete-time signal or simply a discrete signal
Discrete signal can be obtained by taking samples of an analog signal at discrete instants of time
Digital signal is a discrete-time signal whose values are represented by digits

43. در واقع: سيگنال ديجيتال
يک سيگنال زمان – گسسته با دامنه کوانتيزه شده است. چنين سيگنالی را ميتوان با دنباله ای از اعداد نمايش داد. در عمل بسياری از سيگنال های ديجيتال از نمونه برداری سيگنال های آنالوگ و سپس کوانتيزه کردن آنها به دست می آيند. اين عمل کوانتيزه کردن است که خواندن سيگنال های آنالوگ را به صورت کلمه های باينری محدود مجاز می دارد. شکل (پ) يک سيگنال نمونه برداری داده را نمايش می دهد.
سيگنال ديجيتال سيگنالی است که هم از لحاظ دامنه و هم از لحاظ زمان کوانتيزه شده است.

44. What is sampling? Sampling is capturing a signal at an instant in time
Sampling means taking amplitude values of the signal at certain time instances
Uniform sampling is sampling every T units of time
Sampling frequency or sampling rate
time step or sample interval

47. Lets generate few signals by MATLAB

48. Frequency in Hertz (Hz)
Sinusoidal signal
Phase in radian (rad)
Amplitude
Time in seconds (s)
Frequency in Hertz (Hz)

49. MATLAB code for sine signal
Xs = 1.8;
fs = 10;
fi = pi/3;
t1 = -0.1;
tstep = 0.01;
t2 = 0.2;
t = t1:tstep:t2;
x = Xs*sin(2*pi*fs*t+fi);
plot(t, x)
xlabel('t')
ylabel('x_s')
title('x_s(t) = X_s sin(2 \pi f_s t + \phi_s)')
grid on

50. Advanced MATLAB code Xs = 1.8; fs = 10; fi = pi/3; t1 = -0.1;
t = [t1, t2];
x = inline('Xs*sin(2*pi*fs*t+fi)','t','Xs','fs','fi');
fplot(x,t,2e-3,1,'-',Xs,fs,fi)
xlabel('t'); ylabel('x_s'); grid on
title('x_s(t) = X_s sin(2 \pi f_s t + \phi_s)')

51. Exponential signal x = inline('Xe*exp(b*t)','t','Xe','b'); Xe = 0.8;
t = [t1, t2];
fplot(x,t,2e-3,1,'-',Xe,b)
xlabel('t')
ylabel('x_e')
title('x_e(t) = X_e e^{b t}')
grid on

52. Unit step signal x = inline('t>0', 't'); t1 = -2; t2 = 6;
fplot(x, t)
xlabel('t')
ylabel('u')
title('Unit step signal')
axis([t ])

53. Pulse signal x = inline('(1/e)*((t>0)&(t<=e))','t','e');
t = [t1, t2];
fplot(x,t,1e-5,1000,'-',e)
set(gca,'FontSize',16)
xlabel('t')
ylabel('p_\epsilon(t)')
axis([t /e])
title('Pulse function, \epsilon = 1/100')

54. Unit impulse signal (Dirac delta)

55. Discrete-time signal – Sequence
A sequence (discrete-time signal, discrete signal, data sequence, or sample set) is a collection of ordered samples
In practical applications we process finite-length sequences
The existing sequence is often a sampled version of a continuous signal

56. Sinusoidal sequence Phase in radian (rad) Amplitude Sample index
Period

57. Exponential sequence Xe = 0.8; a = 0.75; k1 = 0; k2 = 10; k = k1:k2;
x = Xe*a.^k;
stem(k, x)
xlabel('k')
ylabel('x_e')
title('x_{e,k} = X_e a^k')

58. Unit step sequence k1 = -5; k2 = 10; k = k1:k2; x = (k>=0);
stem(k, x)
xlabel('k')
ylabel('u_k')
title('Unit step sequence')
axis([k1 k ])

59. Unit impulse sequence k1 = -5; k2 = 10; k = k1:k2; x = (k==0);
stem(k, x)
xlabel('k')
ylabel('\delta_k')
title('Unit impulse sequence')
axis([k1 k ])

60. Quantized signal
The purpose of sampling a continuous signal is to transmit, store, or process a limited number of samples that are represented by a limited number of digits
By using fewer digits we attain faster transmission and smaller storage requirements for the information
We utilize the quantized samples rather than the true samples of infinite accuracy

61. Choice of digits for quantization
Choice of digits for quantization should be done properly: in transmitting, storing, and processing we prefer less digits
With too small a number of digits we can lose information from the original signal
Two opposing requirements must be satisfied:
Minimize number of digits to facilitate the signal transmission or storing, and
Maximize number of digits to keep the quantization error as low as necessary in order to preserve the information

62. Digital signal in MATLAB
x = 0.2+2*sin(0.245*t+0.15);
d = 0.5;
xq = d*round(x/d);
plot(t,x)
hold on
stem(t,xq,'r')
hold off
ylabel('x(t), x_q(kT)')
xlabel('t')
legend('analog signal',...
'digital (quantized)')

63. What is a system?
A signal is a physical quantity, or quality, which conveys information
Systems take one or more signals as input, perform operations on the signals, and produce one or more signals as output
A system is a group of related parts working together, or an ordered set of ideas, methods, or ways of working

64. Continuous-time system
Continuous-time system: the input and output signals are continuous time

65. Discrete-time system
Discrete-time system has discrete-time input and output signals

66. تفاوت سيستم های کنترل زمان – گسسته با سيستم های زمان - پيوسته
1- سيستم های کنترل زمان – گسسته با سيستم های کنترل زمان – پيوسته از اين لحاظ متفاوت هستند که سيگنالهای سيستم های کنترل زمان – گسسته به صورت نمونه برداری داده ها يا به شکل ديجيتال هستند.
2- سيستم های زمان – پيوسته را که سيگنال های آنها زمان – پيوسته باشند می توان با معادلات ديفرانسيل توصيف نمود.
3- سيستم های زمان – گسسته را که شامل سيگنال های نمونه برداری شده يا احياناٌ سيگنال های زمان پيوسته نيز باشند، می توان پس از گسسته کردن مناسب سيگنال های زمان – پيوسته با معادلات تفاضلی توصيف کرد.

67. Digital system
A discrete-time system is digital if it operates on discrete-time signals whose amplitudes are quantized
Quantization maps each continuous amplitude level into a number
The digital system employs digital hardware:
explicitly in the form of logic circuits
implicitly when the operations on the signals are executed by writing a computer program

68. سيستم های کنترل ديجيتال
شمای کنترلی را که در آن برای انجام پردازش سيگنال با شيوه مطلوب، کامپيوتر ديجيتالی در حلقه کنترل گنجانده شود، کنترل ديجيتال مستقيم، نامند .

69. مزايای کنترل ديجيتال
1- پردازش داده ها در کنترل کننده های ديجيتال سر راست است، محاسبات کنترلی پيچيده را می توان به سهولت انجام داد.
2- برنامه های کنترل (مشخصه های کنترل کننده) را می توان به سادگی تغيير داد، در صورتی که چنين تغييراتی مورد نياز باشد.
3- از ديدگاه نويز داخلی، کنترل کننده های ديجيتال به مراتب برتر از کنترل کننده های آنالوگ متناظر می باشند.

70. Analysis and design
Analysis of a system is investigation of the properties and the behavior (response) of an existing system
Design of a system is the choice and arrangement of systems components to perform a specific task
Design by analysis is accomplished by modifying the characteristics of an existing system
Design by synthesis: we define the form of the system directly from its specifications

71. نتيجه گيری 1- کنترل کننده های ديجيتال فقط با اعداد کار می کنند.
2- تصميم گيری، يکی از وظايف مهم کنترل کننده های ديجيتال است.
3- فوق العاده تطبيق پذير هستند
4- انجام محاسبات پيچيده يا عمليات منطقی و حل معادلات غير خطی با دقت ثابت و سرعت بالا
5- رده بسيار وسيع تری از قوانين کنترل را در مقايسه با کنترل کننده های آنالوگ بکار می برند.
6- در کنترل کننده های ديجيتال صرفاٌ با صدور يک برنامه جديد می توان عملياتی را که انجام می گيرد کاملاٌ تغيير داد.
7- قطعات ديجيتال نظير مدارهای نمونه بردار و نگهدار، مبدل های A/D و D/A ، مبدل های ديجيتال از لحاظ ساختمانی سخت، با قابليت اطمينان بالا و اغلب فشرده و از نظر وزنی سبک هستند.

72. نتيجه گيری
8- قطعات ديجيتال دارای حساسيت بالا بوده و اغلب از قطعات مشابه آنالوگی خود ارزان تر هستند و نسبت به سيگنالهای نويز حساسيت کمتری دارند.
9- کنترل کننده های ديجيتال از لحاظ مجاز داشتن تغيير برنامه سازی، انعطاف پذير هستند.
10- با استفاده از کنترل کننده های ديجيتال، می توان تمام متغيرهای فرآيند را همراه با عوامل اقتصادی، نيازهای توليد، عملکرد تجهيزات و همه عوامل ديگر به حساب آورد و در نتيجه کنترل بهينه فرآيندهای صنعتی را انجام داد.

75. Systems that satisfy difference equations include things like:
Computer controlled systems - systems that take measurements with digital I/O boards, calculate an output voltage. Frequently these systems run a program loop that executes in a fixed interval of time.

76. Other systems that satisfy difference equations are:
those systems with Digital Filters - which are found anywhere digital signal processing - digital filtering is
done. That includes: Digital signal transmission systems like the telephone system.

77. Systems that process audio signals
Systems that process audio signals. For example, a CD contains digital signal information, and when it is read off the CD, it is initially a digital signal that can be processed with a digital filter
there are an incredible number of systems we use every day that have digital components which satisfy difference equations.

106. In continuous systems, inputs and outputs are related by differential equations and
Laplace transform techniques are used to solve those differential equations.
In continuous systems, Laplace transforms are used to represent systems with transfer functions

107. Z transforms play the role in sampled systems that Laplace transforms play in continuous systems.
In sampled systems, inputs and outputs are related by difference equations and Z transform techniques are used to solve those differential equations
In sampled systems, Z-transforms are used to represent systems with transfer functions.

108. History
In mathematics and signal processing, the Z-transform converts a discrete time domain signal, which is a sequence of real numbers, into a complex frequency domain representation.
The Z-transform and advanced Z-transform were introduced (under the Z-transform name) by E. I. Jury in 1958 in Sampled-Data Control Systems (John Wiley & Sons). The idea contained within the Z-transform was previously known as the "generating function method".
The (unilateral) Z-transform is to discrete time domain signals what the one-sided Laplace transform is to continuous time domain signals.

109. ” تبديل z“ اهداف : 1- تعاريف تبديل z 2- قضايای اساسی مربوط به تبديل z
4- تابع تبديل پالسی و دنباله وزنی

110. دوره تناوب نمونه برداری
سيگنال های زمان گسسته
1- اگر سيستمی شامل يک عمل نمونه برداری باشد.
2- اگر سيستمی شامل يک فرآيند تکراری انجام يافته با يک کامپيوتر ديجيتال باشد.
دنباله مقاديری که از عمل نمونه برداری حاصل می شود را به صورت زير نمايش می دهند:
ساده شدن طرز نمايش
K=0,1,2,3,…
دوره تناوب نمونه برداری

111. تابع تبديل پالسی
با بکار بردن تبديل z ، يک سيستم خطی زمان – گسسته را می توان با تابع تبديلی نمايش داد که تابع تبديل پالسی گفته می شود.
تبديل z سيگنال خروجی
تبديل z سيگنال خروجی را می توان به صورت حاصلضرب تابع تبديل پالسی و تبديل z سيگنال ورودی بيان نمود.

112. تبديل z
تعريف :
تبديل z يک تابع زمانی که در آن نامنفی است، يا دنباله ای از مقادير يا که در آن مقادير صفر يا مثبت را اختيار کرده و T دوره تناوب نمونه برداری است، با معادله زير تعريف می شود:
به تبديل z فوق، تبديل z يکطرفه اطلاق می شود.

113. درتبديل z يکطرفه :
تبديل z دوطرفه : يا

114. درتبديل z دوطرفه : تبديل z يکطرفه و دوطرفه سری های توانی از هستند.

115. روش های محاسبه عکس تبديل z
1- روش تقسيم مستقيم
2- روش محاسباتی
3- روش گسترش کسرهای جزيی
4- روش انتگرال معکوس

116. تبديل z توابع مقدماتی 1- تابع پله واحد فرضيات:
در نظريه تبديل z يکطرفه، در نمونه گيری يک تابع ناپيوسته x(t) فرض می کنيم که تابع از سمت راست پيوسته است. يعنی اگر ناپيوستگی در t=0 پيش بيايد، در اين صورت به جای اينکه x(0) را به صورت مقدار متوسط در ناپيوستگی [x(0-)+x(0+)]/2 نشان دهيم، مقدار x(0) را برابر x(0+) فرض می کنيم.
1- تابع پله واحد
فرض :

117. حل :
نکته : دنباله پله واحد
k=0,1,2,3,… 1
1(k)=
K<0

118. 2- تابع شيب واحد
حل :

119. 3- تابع چند جمله ای
حل :

120. 4- تابع نمايی
حل :

121. 5- تابع سينوسی
فرضيات : و
حل :

122. 6- تابع کسينوسی
حل :

123. 7- تابع سينوسی ميرا
حل :

124. 8- تابع کسينوسی ميرا
حل :

125. مثال :
روش اول : تبديل X(s) به و سپس پيدا کردن تبديل z مربوط به
روش دوم : گسترش X(s) به کسرهای ساده و استفاده از جدول تبديل Z

126. خواص و قضايای مهم تبديل z
1- ضرب در يک مقدار ثابت
اثبات :
2- خطی بودن تبديل z

127. اثبات :

128. 3- ضرب در
اثبات :
4- قضيه انتقال حقيقی a) b)

129. 2) n صفر يا يک عدد صحيح مثبت
مفروضات : 1)
2) n صفر يا يک عدد صحيح مثبت
اثبات (a) :
با تعريف m= k - n داريم :
با توجه به فرض (1) داريم :

130. اثبات (b) :

131. مثال : تبديل z عبارات زير را بدست آوريد
حل:
تذکر : حالت خاص

132. حل:
حل:
حل:

133. مثال : تبديل z عبارت زير را بدست آوريد
حل : ميدانيم

134. مثال 1: تبديل Z تابع سينوسی ميرا با استفاده از قضيه انتقال مختلط ؟
5-قضيه انتقال مختلط :
تبديل z
اثبات :
مثال 1: تبديل Z تابع سينوسی ميرا با استفاده از قضيه انتقال مختلط ؟

135. حل : می دانيم

136. مثال 2: تبديل Z تابع زير را بدست آوريد:
حل : می دانيم :

137. 6-قضيه مقدار اوليه :

138. مفروضات
موجود است

139. اثبات :
مثال : مقدار x(0)=?
حل :

140. مثال : مقدار x(0)=?
حل :
روش اول :
روش دوم :

141. 7-قضيه مقدار نهايی :
مفروضات :
برای 1)
2) تمام قطبهای X(z) درون دايره واحد قرار گيرند، به استثنای امکان يک قطب ساده در z=1 .

142. اثبات:
با در نظر گرفتن فرض 1 :

143. مثال: مقدار نهايی تابع زير را بدست آوريد
حل: با استفاده از قضيه مقدار نهايی

144. حل: بدون استفاده از قضيه مقدار نهايی
مثال: مقدار نهايی تابع زير را بدست آوريد
حل: با استفاده از قضيه مقدار نهايی

145. 8-قضيه: مشتق گيری مختلط
اثبات:
طرفين را در –z ضرب می نماييم:

146. به طريق مشابه می توان نشان داد:
(See p. 62)
با تکرار فرآيند فوق می توان نشان داد:
مثال: با استفاده از قضيه مشتق گيری مختلط، تبديل z تابع شيب واحد را بدست آوريد :
حل: ميدانيم: