1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
UBND TỈNH ĐIỆN BIÊN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Cuộc thi thiết kế bài giảng điện tử E-learning
Bài giảng
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Chương trình: Giải tích lớp 12
Giáo viên: Lò Thị Kim
ĐT:
Trường PTDTNT - THPT Mường Chà
Huyện Mường Chà - Tỉnh Điện Biên
Tháng 01/2015

2. Tập hợp số phức:
Các phép toán:

3. x2 +x+ 2 = 0 không có nghiệm
x2 +x+ 2 = 0 có nghiệm không?
PT: x + 2 = 0 không có nghiệm
PT: 3x + 2 = 0 không có nghiệm
PT: x2 - 2 = 0 có nghiệm
PT: 3x + 2 = 0 có nghiệm
x=-2/3
PT: x2 - 2 = 0 không có nghiệm
PT: x + 2 = 0 có nghiệm x=-2 C R Q Z N
-1, -2,...

4. TIẾT 61: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
I. NỘI DUNG BÀI HỌC
1. Căn bậc hai của một số thực âm
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
II. BÀI TẬP KIỂM TRA SAU TIẾT HỌC
III. TƯ LIỆU THAM KHẢO

5. TIẾT 61: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
1-Căn bậc hai của một số thực âm
Thế nào là căn bậc hai của một
số thực dương a ?
- Căn bậc hai của một số thực
dương a là số thực b sao cho
b2 = a.
Số thực dương a có mấy căn bậc hai?
- Số thực dương a có hai giá trị
căn bậc hai
Ví dụ: Số 4 có hai giá trị căn bậc hai là: 2 và -2
- Số 0 có căn bậc hai là: 0

6. TIẾT 61: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
1-Căn bậc hai của một số thực âm
Tìm căn bậc hai của -1?
- Căn bậc hai của một số thực
dương a là số thực b sao cho
b2 = a.
Tìm số a sao cho a2=-1?
Tương tự căn bậc hai của số thực dương, từ đẳng thức
(i)2 = - 1 ta nói i và –i là căn bậc hai của -1 vì:
- Số thực dương a có hai giá trị căn bậc hai
- Số 0 có căn bậc hai lµ: 0

7. TIẾT 61: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
1-Căn bậc hai của một số thực âm
Tìm căn bậc hai của -4?
Ta có
- Căn bậc hai của một số thực
dương a là số thực b sao cho
b2 = a.
Căn bậc hai của -4 là:
Căn bậc hai của -3 là:
- Số thực dương a có hai giá trị căn bậc hai
Tìm căn bậc hai của -3?
- Số 0 có căn bậc hai lµ: 0
Tổng quát: Tìm căn bậc hai
của số thực âm a<0?
- Tổng quát: C¸c căn bậc hai
của số thực a < 0 là:

8. TIẾT 61: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
1-Căn bậc hai của một số thực âm
Ví dụ: Tìm căn bậc hai của
các số sau:
- Căn bậc hai của một số thực
dương a là số thực b sao cho
b2 = a.
a) -9; b) -8; c) -10
- Số thực dương a có hai giá trị căn bậc hai
- Số 0 có hai giá trị căn bậc hai lµ: 0
Đáp án
Bỏ qua
- Tổng quát: c¸c căn bậc hai
của số thực a < 0 là:

9. TIẾT 61: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
1-Căn bậc hai của một số thực âm
Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của
các số sau:
- Căn bậc hai của một số thực
dương a là số thực b sao cho
b2 = a.
a) -9; b) -8; c) -10
Giải
- Số thực dương a có hai giá trị căn bậc hai
a) Căn bậc hai của -9 là:
- Số 0 có hai giá trị căn bậc hai lµ: 0
b) Căn bậc hai của -8 là:
- Tổng quát:C¸c căn bậc hai
của số thực a < 0 là:
c) Căn bậc hai của -10 là:

10. TIẾT 61: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Cho phương trình bậc hai
Nêu công thức nghiệm pt bậc 2?
Xét biệt thức:
Phương trình có
nghiệm thực:
Căn bậc hai của 0 là 0
Phương trình có 2
Căn bậc hai của :
nghiệm thực phân biệt:
Căn bậc hai của :
Phương trình có 2
nghiệm phức:

11. TIẾT 61: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Cho phương trình bậc hai
Vậy giải phương trình bậc hai: x2+x+2=0?
Ví dụ: Giải các phương trình sau trên tập số phức?
Xét biệt thức:
Phương trình có
nghiệm thực:
Giải
Phương trình có 2
nghiệm thực phân biệt:
Vậy phương trình có hai
nghiệm phức là:
Phương trình có 2
nghiệm phức:

12. TIẾT 61: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Cho phương trình bậc hai
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức?
Xét biệt thức:
Phương trình có
nghiệm thực:
Phương trình có 2
nghiệm thực phân biệt:
Phương trình có 2
nghiệm phức:
Bỏ qua
Giải

13. Bài giải Cã
Vậy phương trình có 2 nghiệm phức là:
Cã Δ = = -11
Vậy phương trình có 2 nghiệm phức là:
3) z4 + 3z – 4 = 0.
Đặt z2 = t
Khi đó ta có PT: t2 + 3t – 4 = 0
=> t = 1 hoặc t = -4
*) t = 1 => z2 = 1 => z1,2 = 1
*) t = -4 => z2 = -4 => z3,4 = 2i
Vậy phương trình có 4 nghiệm: z1,2 = 1 ; z3,4 = 2i

14. TIẾT 61: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Cho phương trình bậc hai
Ví dụ 3: Cho z1, z2 là 2 nghiệm pt: az2+bz+c= Tính: z1+z2; z1.z2 theo a,b,c?
Xét biệt thức:
Phương trình có
Giải:
+/ Với
nghiệm thực:
Đây là định lý vi-ét đối với pt bậc 2 ta đã biết kết quả.
pt có 2 nghiệm
thực phân biệt:
+/ Với
pt có 2
Ta có:
Ta cũng suy ra:
nghiệm phức:

15. TIẾT 61: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
NHẬN XÉT:
Trên tập hợp số phức mọi phương trình bậc hai đều có 2 nghiệm ( không nhất thiết phân biệt)
Tổng quát: Phương trình bậc n :
Trong đó :
luôn có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất
thiết phân biệt )

16. BÀI TẬP KIỂM TRA

17. Câu 1. Căn bậc hai phức của -9 là:
Không có căn bậc hai. B)
3 và -3 C)
3i và -3i D) 3
Xoá
Chưa đúng - Click để tiếp tục
Chấp nhận
Đúng - Click để tiếp tục

18. Câu 2. Trên trường số phức, câu nào sau đây đúng:
Số thực âm có 2 căn bậc hai B)
Số thực âm không có căn bậc hai C)
Số thực âm có 1 căn bậc hai D)
Cả A, B, C đều sai
Chưa đúng - Click để tiếp tục
Đúng - Click để tiếp tục
Chấp nhận
Xoá

19. Câu 3. Phương trình bậc hai: x²- x+1 = 0D)
Đúng - Click để tiếp tục
Chưa đúng - Click để tiếp tục
Chấp nhận
Xoá

20. Câu 4. Phương trình z2 +4=0 có 2 nghiệm phức:A)
z = ±2i B)
z = ±2 C)
z=2i D)
z=±4i
Đúng - Click để tiếp tục
Chấp nhận
Xoá
Chưa đúng - Click để tiếp tục

21. Câu 5: Phương trình x4 + 5x2 - 36=0 có 4 nghiệm là:A)
x1,2=±2; x3,4=±3i B)
x1,2=±2i; x3,4=±3i C)
x1,2=±2i; x3,4=±3 D)
x1,2=±2; x3,4=±3
Chưa đúng - Click để tiếp tục
Đúng - Click để tiếp tục
Chấp nhận
Xoá

22. Question Feedback/Review Information Will Appear Here
Quiz
Your Score
{score}
Max Score
{max-score}
Number of Quiz Attempts
{total-attempts}
Question Feedback/Review Information Will Appear Here
Continue
Review Quiz

23. CỦNG CỐ VÀ HƯỚNG DẪN HỌC BÀI
Bài học hôm nay các em cần:
- Nắm được căn bậc hai của một số thực âm, công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
- Xác định được căn bậc hai của số thực âm, giải được phương trình bậc hai và quy về bậc hai với hệ số thực.
- BTVN: Bài tập 1,2,3,4,5 trang SGK GT 12

24. TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa, sách giáo viên Giải tích 12
Chuẩn kiến thức và kĩ năng toán 12
- Tư liệu dạy học Toán 12
- Phần mềm hỗ trợ cho công việc soạn thảo:Vietkey Office; Adobe Presenter 7
- Tư liệu của các đồng nghiệp tại trang web:
http//violet.vn; http//bachkim.vn

25. TƯ LIỆU THAM KHẢO
Xem tư liệu
Bỏ qua

26. Số phức và ứng dụng: (Trần Nam Dũng - Câu lạc bộ toán hoc).
Số phức, kể từ khi ra đời đã tìm được rất nhiều những ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của
Toán học. Đối với chương trình phổ thông nói chung và các bài toán olympic nói riêng, số phức
cũng có những ứng dụng hết sức ấn tượng. Loạt bài giảng này cung cấp cho học sinh những kiến
thức cơ bản nhất về số phức và các ứng dụng của số phức trong giải toán. Một điều mấu chốt cần
hiểu là: số phức cũng đơn giản thôi!
Bài 1. (31/5/2009)
1. Sơ lược về lịch sử số phức
Lịch sử phát triển các khái niệm số theo chu trình N  Z  Q  R  C được thúc đẩy bởi sự
phát triển của thực tế sản xuất và toán học. Đầu tiên người ta dùng số để đếm, lúc đó cần các số
tự nhiên. Số âm xuất hiện khi bắt đầu có chuyện nợ nần, có chuyện trừ số nhỏ cho số lớn. Số hữu
tỷ xuất hiện khi phải thực hiện các phép chia … không hết. Còn số vô tỷ xuất hiện khi người ta
thấy cạnh huyền của tam giác vuông cân cạnh 1 không thể biểu diễn dưới dạng thương của hai số
nguyên, và thuật ngữ số thực có nghĩa là độ dài của các đoạn thẳng có thực.
Rất thú vị là số phức xuất hiện không phải từ các phương trình bậc hai kiểu như x2 + x + 1 = 0,
x2 + 1 bằng 0. Các phương trình này rõ ràng vô nghiệm và không có gì để bàn. Thế nhưng với
phương trình x3 -3x + 1 thì khác. Có thể chứng minh được rằng phương trình này có đến 3
nghiệm. Vậy mà phương pháp Cardano không áp dụng được do  < 0. Số phức xuất hiện để giải
quyết nghịch lý này. Ta dùng số phức, dùng nghiệm phức để cuối cùng tìm ra các nghiệm thực.
Tựa như con kiến đang đi trên một đường thẳng thì gặp một vũng nước lớn ngáng đường. Có con
kiến sẽ quay trở lại, có con kiến đi vào nước để bị chìm, nhưng có con kiến biết đi vòng (sang
hiều thứ hai) để sau đó quay trở lại với con đường cũ.

27. 2. Dạng đại số của số phức:
Số phức là các số có dạng a + bi trong đó a, b là các số thực, còn i là đơn vị ảo. Tập
hợp tất cả các số phức được ký hiệu là C. Vậy
C = { a+bi | a, b  R}
Trên tập hợp C, ta định nghĩa các phép toán cộng và nhân số phức như sau
(a + bi) + (a’+b’i) = (a+a’) + (b + b’)i
(a + bi).(a’+b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’+a’b)i
Dễ dàng kiểm tra được các phép toán + và . đều có tính giao hoán và kết hợp. Phép
cộng có phần tử trung hoà là 0 và phép nhân có phần tử trung hoà là 1.
Từ định nghĩa ta suy ra i2 = (0 + 1.i).(0 + 1.i) = ( ) + ( )i = -1.
Các số phức thường được ký hiệu ngắn gọn bằng chữ cái z. Ta thường viết “Cho số phức z = a + bi”.
Với số phức z = a + bi thì a được gọi là phần thực của z và được ký hiệu là a = Re(z),
b được gọi là phần ảo của z và được ký hiệu là b = Im(z).
Với số phức z = a + bi thì số phức được gọi là phức liên hợp của z. Ta có các tính chất cơ bản sau đây:
Đại lượng được gọi là mô-đun của số phức z và được ký hiệu là |z|. Ta có các tính chất cơ bản sau (chứng minh!)
|z.z’| = |z|.|z’|, |z + z’|  |z| + |z’|

28. Một một số phức z khác 0 đều có nghịch đảo của nó
Một một số phức z khác 0 đều có nghịch đảo của nó. Cụ thể từ đẳng thức ta dễ dàng suy ra
Từ đây ta cũng suy ra quy tắc chia hai số phức như sau:
Phép luỹ thừa các số phức được thực hiện bằng phép nhân tuần tự.
Cuối cùng, ta xét bài toán khai căn số phức. Ví dụ, tìm căn bậc hai của số phức 1 + i, tức là tìm số phức z = x + iy sao cho z2 = 1 + i. Ta có
z2 = 1 + i  x2 – y2 + i.2xy = 1 + i
 x2 – y2 = 1, 2xy = 1. Giải hệ này ta tìm được 2 giá trị của z là
Bằng phương pháp này, ta có thể tìm được căn bậc hai của một số phức z bất kỳ. Tuy nhiên, việc
áp dụng phương pháp tương tự cho các căn bậc lớn hơn gặp nhiều khó khăn. Rất may mắn là để
giải quyết vấn đề căn bản này, ta có thể sử dụng dạng lượng giác.

29. 3. Dạng lượng giác của số phức
Số phức z = a + bi có thể biểu diễn như điểm M có toạ độ (a, b) trong mặt phẳng Oxy. Ta gọi Ox
là trục thực, Oy là trục ảo và Oxy là mặt phẳng phức. Đặt và gọi  là góc giữa OM và Ox thì
ta có: a = rcos, b = rsin
Từ đó z = r(cos + isin). Đây chính là dạng lượng giác của số phức z. Góc  được gọi là
argument của số phức z. Để thấy rõ sự tiện lợi của dạng lượng giác, ta hãy xem kết quả của phép nhân hai số phức ở dạng lượng giác. Giả sử z = r(cos + isin), z’ = r’(cos’ + isin’) thì
z.z’ = r(cos + isin)* r’(cos’ + isin’) = rr’[(coscos’ - sinsin’) + i(cossin’ + cos’sin)] = r[cos(+’) + isin(+’)].
Như vậy phép nhân hai số phức ở dạng lượng giác rất đơn giản: các môđun được nhân với nhau
và các argument được cộng với nhau. Tương tự với phép nghịch đảo và phép chia:
Nếu áp dụng tuần tự quy tắc nhân nói trên, ta dễ dàng chứng minh được công thức sau
[r(cos + isin)]n = rn(cos n + sin n)
Công thức này được gọi là công thức Moivre.
Từ đó Chính sự đơn giản của phép luỹ thừa sẽ giúp chúng ta có thể khai căn được các số phức.
Giả sử ta cần tìm căn bậc n của số phức z = r(cos + isin). Ta tìm căn dưới dạng w = (cos + isin). Theo định nghĩa, w là căn bậc n của z khi và chỉ khi wn = z. Từ đó, áp dụng công thức Moivre, ta được: n(cosn + isinn) = r(cos + isin). Từ đó suy ra:

30. với k nguyên. Do tính tuần hoàn của hàm số sinx và cosx, các giá trị k cách nhau một bội số của sẽ cho ta các số phức w bằng nhau, vì vậy chỉ cần chọn k = 0, 1, …, n-1 là đủ. Ta có thể kết luận
Định lý. Cho n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2. z = r(cos + isin) với r  0 là một số phức. Khi đó có đúng n căn bậc n của z, là
4. Một vài ứng dụng của số phức
Số phức tìm được ứng dụng trong hầu khắp các chuyên ngành của toán học. Đối với toán phổ thông, số phức có ứng dụng trong đại số, lượng giác, tổ hợp, hình học. Dưới đây ta xem xét hai ví dụ nhỏ. Các ứng dụng khác của số phức sẽ được đề cập trong các bài tiếp theo.
Ví dụ 1. Cho dãy số {xn} xác định bởi x0 = 1, x1 = 2, xn+1 = xn – xn-1 với mọi n = 1, 2, … Tìm công thức tổng quát tính xn.
Lời giải. Phương trình đặc trưng x2 – x + 1 = 0 có hai nghiệm là . Từ đó xn có dạng trong đó c1, c2 là các hằng số. Thay n = 0, 1 vào, ta được hệ phương trình
c1 + c2 = 1, Từ đó tìm được
Như thế
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trong mặt phẳng tam giác. Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M trùng A, B, C hoặc tâm I đường tròn nội tiếp tam giác.

31. Bình luận. Bài toán này có lời giải hình học khá phức tạp
Bình luận. Bài toán này có lời giải hình học khá phức tạp. Cụ thể là cần đến kết quả sau:
AB.MC2 + BC.MA2 + CA.MB2  AB.BC.CA.
(Dùng tâm tỉ cự)
Sau đó dùng phép nghịch đảo.
Lời giải dùng số phức rất ngắn gọn và ấn tượng. Chỉ cần dùng một hằng đẳng thức đại số quen thuộc và biểu diễn hình học của số phức.
Lời giải. Ta có hằng đẳng thức (1)
Đúng với mọi a, b, c đôi một khác nhau và với mọi m. Hằng đẳng thức này có thể chứng minh bằng cách để ý vế trái là một tam thức bậc 2 theo m và có giá trị bằng 1 tại 3 điểm phân biện a, b, c, do đó đồng nhất 1.
Để chứng minh bất đẳng thức đề bài, ta đặt tam giác ABC lên mặt phẳng phức và gọi m, a, b, c tương ứng là toạ vị của M, A, B, C tương ứng. Khi đó MA = |m-a|, MB = |m-b|, |MC| = |m-c|, AB = |a-b|, BC = |b-c|, CA = |c-a|. Áp dụng bất đẳng thức tam giác từ (1) suy ra
và đó chính là điều phải chứng minh.
Việc xét điều kiện xảy ra dấu bằng xin dành cho các bạn như một bài tập.
5. Câu hỏi và bài tập
1. Ứng dụng công thức Moivre.
Hãy tính a) (1+cos+isin)n b) căn bậc 3 của -i

32. 2. Lại là Moivre.
Chứng minh rằng nếu x+1/x = 2cos thì xn+1/xn=2cosn
3. Phương trình với hệ số phức.
Giải các phương trình sau
a) 2(1+i)x2-4(2-i)x-5-3i=0
b) (x+i)n = (x-i)n
4. Giải phương trình bậc 3 bằng số phức.
Phương trình x3 + px + q = 0 với p, q là các số thực có thể giải bằng cách đặt x = u + v, thay vào phương trình, ta được u3 + v3 + (3uv + p)(u+v) + q = 0. Từ đó nếu chọn uv sao cho 3uv + p = 0 thì u3 + v3 + q = 0. Suy ra u3, v3 là nghiệm của phương trình X2 + qX – p3/27 = 0. Nếu  = q2 + 4p3/27  0 thì mọi thứ ổn. Nhưng nếu  < 0 thì sao? Hãy dùng số phức để xử lý tình huống này.
5. Các hệ số nhị thức.
Tìm công thức rút gọn các tổng sau:

33. Và hẹn gặp lại !