2. روش عناصر محدود غیرخطی II Nonlinear Finite Element Procedures II
کریم عابدی

3. فصل دوم: تحليل غیرخطی عناصر محدود
(بخش اول)

4. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
ث) رابطه کار مجازی داخلی با استفاده از معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange
پیش از بیان کار مجازی داخلی با استفاده از معیارهای تعریف شده برای تنش و کرنش، ابتدا جسمی را در بافتار تغییرشکل یافته اش در زمان t به گونه ای که در شکل زیر نشان داده شده است، در نظر می گیریم. مختصات کنونی ذرات مادی جسم و تغییرمکان های کنونی (Current displacement)، می باشند.
فرض می کنیم که یک میدان تغییرمکان مجازی(Virtual displacement field) به جسم
اعمال می شود که به صورت نمایش می دهیم. میدان تغییرمکان مجازی به عنوان
یک وردش(Variation) در تغییرمکان های کنونی درنظر گرفته می شود. به عبارت
دیگر ولی وردش در تغییرمکان های مجازی باید متناظر بایک تغییر در
مؤلفه های کرنش کنونی Green-Lagrange، باشد و نیز باید متناظر با یک تغییر در مؤلفه های تانسور کرنش باشد که به بافتار کنونی ارجاع داده می شود می خواهیم نشان دهیم که :
یا به صورت مؤلفه ای می خواهیم نشان دهیم که :

5. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
ث) رابطه کار مجازی داخلی با استفاده از معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange
اکنون می توانیم رابطه کار مجازی داخلی را با استفاده از معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange بنویسیم:
حل: با توجه به تعریف داریم:
را به صورت زیر تعریف می کنیم(فرض می کنیم):
توجه داشته باشید که در رابطه آخر، از اصل بقای جرم و رابطه استفاده کرده ایم.
بدین ترتیب در واقع مزدوج کاری(Work – Conjugacy) معیار تنش دوم
Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange اثبات می شود.
در ارتباط با رابطه کار مجازی داخلی ارائه شده در بالا ذکر نکاتی چند ضروری است:

6. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
ث) رابطه کار مجازی داخلی با استفاده از معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange
رابطه مذکور که به فرم مؤلفه ای نوشته شده است، در واقع یک معادله تانسوری است.
رابطه مذکور یک عبارت بنیادی برای فرمول بندی لاگرانژی کلی (Total Lagrangian Formulation) و فرمول بندی لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) است که در تحلیل نموی جامدات و سازه ها مورد استفاده قرار می گیرد.
انتگرال گیری ها روی حجم اولیه انجام می گیرد.
به جای بافتار اولیه، هر بافتار پیشین محاسبه شده ای را می توان مورد استفاده قرار داد که در آن تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange نسبت به آن بافتار تعریف می شوند.
به طور مشخص اگر بافتار مربوط به زمان مورد استفاده قرار بگیرد ، و مختصات در آن زمان را با نشان دهیم در این صورت از رابطه زیر استفاده می کنیم:
که در آن تنش های دوم Piola-Kirchhoff، و کرنش های Green-Lagrange، به
همان صورت پیشین تعریف می شوند ولی، به جای ، مختصات که متناظر با بافتار مربوط به زمان می باشند مورد استفاده قرار می گیرند.

7. 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
در بخش های پیشین مساله اساسی در تحلیل غیرخطی و روش بنیادی مورد استفاده در تحلیل غیرخطی را ارائه نمودیم و نتیجه گرفتیم که برای یک تحلیل نموی مؤثر ،
(Effective Incremental analysis)، معیارهای مناسب تنش و کرنش را باید به کار گیریم.
سپس، معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange را به عنوان معیارهای مناسب تنش و کرنش ارائه دادیم و در نهایت اصل تغییرمکان های مجازی را برحسب تنش های دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش های Green-Lagrange نوشتیم.
حال از این نتیجه بنیادی برای ایجاد دو فرمول بندی عمومی نموی مبتنی بر مکانیک محیط پیوسته برای مسائل غیرخطی استفاده می کنیم.
در این بخش معادلات مکانیک محیط پیوسته (Continuum mechanics equations) را بدون ارجاع به یک روش حل خاص عناصر محدود درنظر می گیریم. در بخش بعدی از این نتایج در ارتباط با روش مؤثر حل عناصر محدود غیرخطی استفاده خواهیم نمود.
معادله اساسی که می خواهیم حل کنیم :

8. 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
این معادله شرایط تعادل و سازگاری جسم عمومی موردنظر در بافتار t+∆t را بیان می کند.
در رابطه مذکور معادلات مشخصه (Constitutive equations) در محاسبات تنش ها وارد می شوند.
از آنجا که در حالت کلی جسم می تواند متحمل تغییرمکان های بزرگ، دوران های بزرگ و کرنش های بزرگ شود و نیز روابط مشخصه می توانند غیرخطی باشند، از اینرو رابطه مذکور را نمی توان مستقیماً حل کرد.ولی می توان
1- ابتدا یک جواب تقریبی را از طریق ارجاع کلیه متغیرها به بافتار تعادلی که پیش از این محاسبه شده است 2- و خطی سازی (Linearizing) معادله حاصل، به دست آورد 3- و سپس جواب حاصل را از طریق تکرار بهبود داد.
برای ایجاد معادلات خطی سازی شده حاکم(Governing Linearized Equation)، مبنا را بر این می گذاریم که جواب ها برای زمان های قبلاً محاسبه شده اند و اکنون از روابط زیر استفاده می کنیم. تنش و کرنش به بافتار تعادل معلوم ارجاع می دهیم:

9. در عمل در واقع با دو انتخاب مواجه می شویم:
5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
در اساس، یکی از بافتارهای تعادلی را که پیش از این محاسبه شده اند می توان مورد محاسبه قرار داد.
در عمل در واقع با دو انتخاب مواجه می شویم:
الف) ارجاع به بافتار تعادل مربوط به زمان 0
ارجاع به بافتار تعادل مربوط به زمان 0، منجر به فرمول بندی لاگرانژی کلی (TL) می شود. در این روش حل، کلیه متغیرهای استاتیکی و سینماتیک به بافتار اولیه در زمان 0 ارجاع داده می شوند.
ب) ارجاع به بافتار تعادل مربوط به زمان t
ارجاع به بافتار تعادل مربوط به زمان t( بافتار تعادلی محاسبه شده پیشین)، منجر به فرمول بندی لاگرانژی به هنگام شده (UL) می شود. در این روش حل، کلیه متغیرهای استاتیکی و سینماتیک به بافتار تعادلی در زمان t ارجاع داده می شوند.
هر دو فرمول بندی TLوUL شامل کلیه اثرات غیرخطی سینماتیک به دلیل تغییرمکان های بزرگ، دوران های بزرگ و کرنش های بزرگ می باشند. اما، این که آیا رفتار کرنش های بزرگ به طور مناسبی مدل می شود یا نه، بستگی به روابط مشخصه خاص مورد استفاده (Specified constitutive relations) دارد( که بعداً توضیح داده می شود).

10. 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
مزیت اصلی استفاده از یک فرمول بندی به جای فرمول بندی دیگر صرفاً به کارایی عددی (Numerical efficiency) آن فرمول بندی بستگی دارد.
با توجه به معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange، در فرمول بندی TL معادله بنیادی زیر را درنظر می گیریم:
و در فرمول بندی UL معادله بنیادی زیر را درنظر می گیریم:
کار مجازی خارجی(External Virtual Work) می باشد که در حالت کلی بستگی به سطح و حجم جسم موردنظر دارد. برای سهولت بحث فرض می کنیم که بارگذاری مستقل از تغییرشکل ها می باشد. بعداً در مورد چگونگی وارد نمودن بارگذاری وابسته به تغییرشکل ها در تحلیل بحث خواهیم کرد.

11. یک نکته مهم در استخراج معادلات عناصر محدود در تحلیل خطی:
اعمال اصل تغییرمکان های مجازی و استخراج معادلات
اصل کار مجازی برای یک جسم عمومی را به صورت زیر نوشتیم :
اصل کار مجازی مذکور را اگر به مجموعه همبسته عناصر اعمال کنیم، در این صورت خواهیم داشت:
: سطوح عناصر است که قسمتی از سطح کلی S جسم می باشند. برای عناصری که کاملا بوسیله سایر عناصر احاطه شده اند، چنان سطحی وجود ندارد، در حالی که برای عناصر واقع در سطح جسم، یک یا چند سطح در انتگرال گیری سطحی وارد می شوند.
در استفاده از اصل تغییرمکان های مجازی فرضیات یکسانی را برای تغییرمکان ها و کرنش های مجازی به کار
می بریم به عبارت دیگر داریم:

12. اگر روابط مذکور را در اصل کار مجازی جایگذاری کنیم:
رابطه زیر را بدست می آوریم:
ماتریس های درون یابی تغییرمکان های سطحی از جایگذاری مختصات مناسب سطحی عنصر در ماتریس های درون یابی عنصر به دست می آیند.
: بردار شامل بارهای متمرکز وارد بر گره های مجموعه همبسته عناصر می باشند که مولفه iام بردار
یک نیروی گرهی متمرکز است که متناظر با iامین مولفه تغییرمکان در بردار می باشد.

13. درنهایت به رابطه روبرو می رسیم:
بردار بار ناشی از نیروهای حجمی عنصری
بردار بار ناشی از نیروهای سطحی عنصری
بردار بار ناشی از تنش های اولیه عنصری

14. 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
جدول زیر مراحل خطی سازی (Linearization) معادله حاکم مورد استفاده در فرمول بندی های TL و UL را نشان می دهند. معادله خطی سازی شده حرکت ( Linearized equation of motion) برای هر دو فرمول بندی TL و UL، برای استخراج معادلات موردنظر در تحلیل غیرخطی عناصر محدود مورد استفاده قرار خواهد گرفت.
در اینجا مراحل مورد استفاده برای استخراج معادله خطی سازی حرکت بر مبنای فرمول بندی TL و UL با جزئیات توضیح داده می شوند.

15. مرحله دوم در فرمول بندی TL:
5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
مرحله دوم در فرمول بندی TL:
در مرحله دوم، کرنش ها و تنش ها را تجزیه نموی (Incrementally decomposition) می کنیم که مجاز می باشد، زیرا کلیه تنش ها و کلیه کرنش، از جمله نموهای تنش و کرنش، به بافتار اولیه ارجاع داده می شوند.
این نمو را می توان به حاصل جمع کرنش های نموی خطی (Linear Incremental Strain)
و کرنش های نموی غیرخطی (Nonlinear Incremental Strain)
(منظور کرنش های پلاستیک نیست، بلکه کرنش های غیرخطی هندسی است) تجزیه
نمود که هر دو به بافتار مربوط به زمان 0 ارجاع داده می شوند.
تجزیه نموی تنش های دوم Piola-kirchhoff عبارتست از:
نمو تنش دوم Piola-kirchhoff از زمان t تا زمان t+Δt است که به بافتار اولیه مربوط به زمان 0 ارجاع داده می شوند.
خطی
تجزیه نموی کرنش های Green-Lagrange عبارتست از:
غیرخطی
اثر تغییرمکان اولیه
نمو کرنش Green-Lagrange از زمان t تا زمان t+Δt است که به بافتار اولیه مربوط به زمان 0 ارجاع داده می شوند.

16. مرحله دوم در فرمول بندی UL:
5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
مرحله دوم در فرمول بندی UL:
در مرحله دوم، کرنش ها و تنش ها را نموی تجزیه(Incrementally decomposition) می کنیم که مجاز می باشد، زیرا کلیه تنش ها و کلیه کرنش، از جمله نموهای تنش و کرنش، به بافتار پیشین ارجاع داده می شوند.
این نمو را می توان به حاصل جمع کرنش های نموی خطی (Linear Incremental Strain)
و کرنش های نموی غیرخطی (Nonlinear Incremental Strain)
(منظور کرنش های پلاستیک نیست، بلکه کرنش های غیرخطی هندسی است) تجزیه
نمود که هر دو به بافتار مربوط به زمان t ارجاع داده می شوند.
تجزیه نموی تنش های دوم Piola-kirchhoff عبارتست از:
نمو تنش دوم Piola-kirchhoff از زمان t تا زمان t+Δt است که به بافتار اولیه مربوط به زمان t ارجاع داده می شوند.
خطی
تجزیه نموی کرنش های Green-Lagrange عبارتست از:
غیرخطی
نمو کرنش Green-Lagrange از زمان t تا زمان t+Δt است که به بافتار اولیه مربوط به زمان t ارجاع داده می شوند.

17. 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
مرحله سوم در فرمول بندی TL:
در این مرحله داریم:
مساوی صفر است، زیرا تغییر حول بافتار مربوط به زمان t+Δt انجام می گیرد:
و رابطه کار مجازی به صورت زیر در می آید:
این ترم به ازای یک وردش تغییرمکان (displacement variation) داده شده، معلوم می باشد، زیرا مستقل از ( نمو تغییرمکان از زمان t تا زمان t+Δt و
)است.

18. 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
مرحله سوم در فرمول بندی UL:
در این مرحله داریم:
در این صورت رابطه کار مجازی به صورت زیر در می آید:
این ترم به ازای یک وردش تغییرمکان (Displacement variation) داده شده، معلوم می باشد، زیرا مستقل از ( نمو تغییرمکان از زمان t تا زمان t+Δt و
است.
لازم به یادآوری است که سمت چپ معادله اصل کار مجازی، بر حسب تغییرمکان نموی
بسیار غیرخطی است.لذا در مرحله چهارم عبارت مذکور را خطی سازی می نماییم.

19. 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
مرحله چهارم در فرمول بندی TL:
لازم به ذکر است که عبارت برحسب تغییرمکان های نموی خطی
است. بنابراین، عبارت مذکور را بدون تغییر حفظ می کنیم.
اثرات غیرخطی به دلیل ترم است و لذا عبارت را با استفاده از بسط تیلور، خطی سازی می نماییم.
یادآوری: سری تیلور به صورت روبرو می باشد:
صرف نظر

20. 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
یادآوری می شود که ، تانسور نموی تنش – کرنش در زمان t می باشد که به بافتار مربوط به زمان 0، ارجاع داده می شود.
عبارت بر حسب تغییرمکان های نموی خطی است. زیرا
مستقل از می باشد.
لازم به یادآوری است که در خطی سازی مذکور ازتقریب سازی های
و استفاده نموده ایم.
بنابراین معادله خطی سازی شده حرکت (یا معادله تقریبی حرکت) به صورت زیر به دست می آید:

21. 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
مرحله چهارم در فرمول بندی UL:
لازم به ذکر است که عبارت برحسب تغییرمکان های نموی خطی
است. بنابراین، عبارت مذکور را بدون تغییر حفظ می کنیم.
اثرات غیرخطی به دلیل ترم است و لذا عبارت را با استفاده از
بسط تیلور، خطی سازی می نماییم که نتیجه زیر حاصل می شود:
عبارت حاصل، بر حسب تغییرمکان های نموی خطی است. زیرا مستقل از است.
در خطی سازی مذکور ازتقریب سازی های و استفاده شد.
بنابراین معادله خطی سازی شده حرکت (یا معادله تقریبی حرکت) به صورت زیر بدست می آید:

22. 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
در مقایسه فرمول بندی TL و UL نکات زیر قابل ذکر است:
هر دو روش کاملاً مشابه به هم بوده و تنها اختلاف تئوریکی آنها در انتخاب بافتار تعادل مرجع است.
اگر در حل عددی، تانسورهای مشخصه مناسبی به کار گرفته شوند، درواقع در این صورت نتایج یکسانی از هر دو فرمول بندی حاصل خواهند شد.
انتخاب فرمول بندی TL و UL به مؤثر بودن نسبی عددی آنها بستگی دارد (Relative Numerical effectiveness) که به نوبه خود به عناصر محدود و قانون مشخصه (Constitutive Law) مورد استفاده بستگی دارد.
یک نکته باید ذکر شود که کرنش های خطی نموی در فرمول بندی TL شامل یک اثر تغییرمکان اولیه می باشد که منجر به یک ماتریس کرنش-تغییرمکان پیچیده ای نسبت به فرمول بندی UL می شود.

23. 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
از معادلات خطی سازی شده حرکت بر مبنای فرمول بندی های TL و UL، می توان برای محاسبه یک نمو در تغییرمکان ها استفاده کرد که با استفاده از آنها نیز می توان تقریب هایی را به تغییرمکان ها، کرنش ها و تنش های متناظر با زمان t+Δt محاسبه نمود.
تقریب های تغییرمکان متناظر با زمان t+Δt را می توان به سهولت از طریق افزودن نموهای محاسبه شده به تغییرمکان ها در زمان t بدست آورد.
تقریب های کرنش را می توان از تغییرمکان ها با استفاده از روابط سینماتیک در دسترس ( مثلاً ) بدست آورد.
تعیین تنش های متناظر با زمان t+Δt، بستگی به روابط مشخصه مورد استفاده دارد که بعداً به تفصیل ارائه خواهند شد.

24. و در فرمول بندی UL عبارت است از:
5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
با فرض اینکه تغییرمکان ها، کرنش ها و تنش های تقریبی محاسبه شده اند، اکنون می توان میزان اختلاف بین کار داخلی و خارجی را محاسبه نمود. اگر مقادیر تقریبی محاسبه شده را با اندیس بالای (1) نشان دهیم(با توجه به ضرورت انجام تکرارها) ، خطای ناشی از خطی سازی در فرمول بندی TL عبارت است از:
لازم به ذکر است که با معادل است هنگامی که تغییرمکان های کنونی مورد استفاده قرار گیرد
و در فرمول بندی UL عبارت است از:
لازم به ذکر است هر دو سمت راست روابط بالای خطا و هر دو سمت راست روابط اصلی کار مجازی در فرمول بندی TL و UL، بیانگر کار مجازی خارج از توازن هستند.
ولی سمت راست های روابط اصلی کار مجازی در فرمول بندی TL و UL، بیانگر کار مجازی خارج از توازن، پیش از محاسبه نموها در تغییرمکان ها می باشند، در حالی که سمت راست روابط خطای بالا بیانگر کار مجازی خارج از توازن، بعد از محاسبه نموها در تغییرمکان ها می باشند که ناشی از خطی سازی انجام شده است.

25. 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
برای کاهش بیشتر کار مجازی خارج از توازن نیاز داریم که یک تحلیل تکراری را انجام دهیم که درآن روش حل ارائه شده تکرار می شود تا اینکه تفاوت بین کار مجازی داخلی و کار مجازی خارجی با مقایسه با یک معیار همگرایی قابل صرف نظر کردن باشد.
با استفاده از فرمول بندی TL، معادله ای که بطور تکراری به ازای k=1, 2, 3,… حل شود عبارت است از:
با استفاده از فرمول بندی UL، معادله ای که بطور تکراری به ازای k=1,2,3,… حل شود عبارت است از:
که در آنها k=1 متناظر با همان روابط اصلی کار مجازی داخلی برای فرمول بندی TL و UL است و تغییرمکان ها به صورت زیر به هنگام می شوند:

26. 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
روابط سه گانه بالا، متناظر با یک روش تکرار Newton-Raphson می باشد. بنابراین عبارات در انتگرال ها متناظر با تغیرمکان های کنونی محاسبه شده و تنش های متناظر می باشند.
توجه شود در فرمول بندی UL، تنش های Cauchy و رابطه مشخصه مماسی و کرنش های نموی به بافتار و حجم در زمان t+Δtدر انتهای تکرار (k-1) ارجاع داده می شوند، به عبارت دیگر،کمیت های موردنظر، به ارجاع داده می شوند که در آن به ازای k=1 داریم:
تا کنون فرض کردیم که بارگذاری مستقل از تغییرمکان است و می توان آن را پیش از تحلیل نموی به صورت زیرمحاسبه کرد:
لازم به یادآوری است که شرط فوق برای انواع خاصی از بارگذاری محتمل است. نظیر بارگذاری متمرکز و بارگذاری هایی که راستای آنها در راستای تغییرشکل تغییر نمی کنند.

27. 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
اگر کار مجازی وابسته به تغییرشکل باشد، در این صورت کار مجازی خارجی مذکور را اغلب می توان با دقت کافی با استفاده از شدت بارگذاری مربوط به زمان t+Δt ولی از طریق انتگرال گیری روی اخرین حجم و سطح محاسبه شده در تکرار به صورت زیر تقریب سازی نمود:

28. 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطی
فرمول بندی های TL و UL ، معادلات نموی مکانیک محیط پیوسته هستند که شامل کلیه اثرات غیرخطی می باشند ولی در عمل، در برخی اوقات کافی خواهد بود که فقط غیرخطی مادی درنظر گرفته شود.
در این حالت، از مؤلفه های کرنش غیرخطی و به هنگام نمودن سطوح و حجم ها صرفنظر می شود. بنابراین، معادلات خطی سازی شده برای فرمول بندی TL و UL و با ملاحظه تحلیل تکراری به معادله زیر می رسیم:
که در آن ، تنش واقعی فیزیکی در زمان t+Δtو در انتهای تکرار (k-1) است. در این تحلیل فرض کرده ایم که حجم جسم تغییر نمی کند و داریم:
از آنجا که هیچ نوع غیرخطی های هندسی (سینماتیک) در رابطه مذکور درنظر گرفته نشده اند، از اینرو اگر مصالح از نوع الاستیک خطی باشند، در این صورت رابطه مذکور به همان صورت رابطه اصل کار مجازی مورد استفاده در تحلیل خطی بدست می آید.