1. LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA
Ivana Mihalec

2. Sadržaj: 1. Uvod 2. Laplaceova transformacija i inverzna
3. Svojstva Laplaceovih transformacija
4. Primjena Laplaceovih transformacija
5. Literatura

3. 1. Uvod

4. PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749 – 1827)
veliki francuski matematičar i fizičar
jedan od utemeljitelja metričkog sustava
bavio se teorijom potencijala i matematičkom statistikom
dokazao stabilnost sunčevog sustava

5. Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji
od tri koraka:
1. Jednadžba se transformira u algebarsku
jednadžbu
2. Tako dobivena jednadžba se riješi
3. Rješenje se transformira u traženo rješenje originalne difrencijalne jednadžbe

6. U tehničkoj literaturi je prihvaćena i
uobičajena primjena Laplaceove
transformacije.
Pomoću te se transformacije računski
postupci svode na algebarske, a upotreba
transformacijskih tablica skraćuje rad.

7. 2. Laplaceova transformacija i inverzna Laplaceova transformcija

8. f(t) za t≥0
F(s) je nazvana Laplaceova transformacija (prema Pierre
Simon De Laplaceu) i označavamo je sa L(f):
Originalna funkcija f(t) zove se inverzna transformacija ili
inverzija od F(s) te ju zapisujemo :

9. 3. Svojstva Laplaceovih
transformacija

10. Funkcija f(t) se može transformirati ako zadovoljava
sljedeće uvjete:
a ) definirana je i jednoznačna za t > 0
b ) po dijelovima je kontinuirana unutar svakog
konačnog intervala 0 < a < t < b
c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan
Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu
Laplaceove transformacije.

11. Teorem 1. Linearno svojstvo
Linearni operator je transformacija koja zbroj prebacuje u zbroj, razliku u razliku, i, općenito, linearnu kombinaciju u linearnu kombinaciju
Dokaz. Prema definiciji,

12. Neke elementarne funkcije f(t) i njezine Laplaceove
transformacije L(f)
f(t)
L(f) 1
1/s 6
eat 2 t
1/s2 7
cos ωt 3 t2
2!/s3 8
sin ωt 4 tn
(n=1,2,…) 9
cosh at 5 ta
(ako je a + broj) 10
sinh at

13. Teorem 2. Teorem o pomaku Dokaz
Ako je L( f )=F(s) kada je s>α , tada je
Dokaz
Prema definiciji,
(s > α+a)

14. Teorem 3. Postojeći teorem
za sve t≥0, konstante=a i M
Tada Laplaceova transformacija od f(t) postoji za sve s >a
Dokaz
= M ≤ ≤
( s>a )

15. L(f ')=Ls(f ) - f (0) (s > a )
Teorem 4. Diferenciranje f(t)
f(t) kontinuirana za sve t ≥ 0 , i ima derivaciju f '(t) koja je po dijelovima kontinuirana za svaki konači interval unutar intervala t ≥ 0.
tada Laplaceova transformacija derivacije f'(t) postoji kad je s >a , i
L(f ')=Ls(f ) - f (0) (s > a )
Dokaz
L ( f ')=

16. L(f''')= L(f) - f(0) - sf'(0) - f''(0)
Koristeći početnu jednadžbu za drugu derivaciju f ''(t) dobivamo:
L(f '')= sL(f ')-f '(0)
= s[sL(f)-f(0)] - f '(0)
= L(f)-sf(0) - f '(0)
Slično dobivamo i treću derivaciju:
L(f''')= L(f) f(0) - sf'(0) - f''(0)
i ostale.

17. Teorem 5. Derivacija za bilo koji n
Neka Laplaceova transformacija od postoji kada je s>a , i dana je formulom:

18. Teorem 6. Integriranje f(t)L
(s>0, s>a)
Dokaz
│g(t)│≤
≤ M
( a > 0 )
g'(t)=f(t)
L {f(t)}= L {g'(t)}=s L {g(t)}- g(0) (s>a)
g(0)=0

19. 4. Primjena Laplaceovih
transformacija

20. Primjer. Nađimo rješenje linearne diferencijalne jednadžbe:
y˝(t) - 3y'(t) + 2y(t )= 4t , y(0) = 1, y'(0) = -1
Prevođenje te jednadžbe u Laplaceovo područje:

21. Nađimo koeficijente:

23. 5. Literatura

24. Ervin Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics second edition, John Wiley & Sons, Inc. New York-London-Sydney 1967
I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga, Zagreb 1991.

25. HVALA NA PAZNJI !