1. DIFERENCIALNE ENAČBE Primeri
Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopajo odvodi iskane funkcije.
Primeri
diferencialna enačba za y kot funkcijo x
diferencialna enačba 2. reda
Red diferencialne enačbe je red najvišjega odvoda, ki v njej nastopa.
diferencialna enačba 3. reda
parcialna diferencialna enačba (2. reda)
Diferencialne enačbe za funkcije ene spremenljivke imenujemo navadne, ko nastopajo parcialni odvodi na več spremenljivk pa pravimo, da so to parcialne diferencialne enačbe

2. F(x,y,y’)=0 splošna oblika diferencialne enačbe 1. reda
Rešitev diferencialne enačbe je funkcija y=y(x), pri kateri je F(x,y(x),y’(x))=0 za vse x na nekem definicijskem območju.
Primeri:
je rešitev diferencialne enačbe , saj je
ni rešitev diferencialne enačbe , čeprav je
za nekatere vrednosti x.
Enačba mora biti izpolnjena za vse x na nekem intervalu.

3. je rešitev enačbe
je tudi rešitev enačbe
je prav tako rešitev zgornje enačbe...
Diferencialne enačbe imajo praviloma veliko rešitev, kar je posledica dejstva, da odvajanje ni injektivno.
Splošna rešitev je običajno odvisna od nekaj parametrov. Na primer, vse rešitve enačbe so oblike
, kjer sta A in B poljubni realni števili.
Velja pravilo: diferencialna enačba reda n ima splošno rešitev, ki je odvisna od n poljubnih parametrov.

4. Geometrični pomen diferencialne enačbe
y=y (x) je rešitev enačbe y’ =f (x,y)
smerni koeficient tangente na graf rešitve v točki x0 je enak f (x0,y (x0))
funkcija f(x,y) določa polje smeri:
pri vsaki točki (x,y) z majhno daljico označimo smer s koeficientom f(x,y).
vsaka krivulja, ki je v svojih točkah tangentna na polje smeri, je graf ene izmed rešitev diferencialne enačbe
f(x,y)=x-y

5. f(x,y)=-y-sin3x
f(x,y)=x2-y2+1

6. Fizikalni primer: radioaktivni razpad
Hitrost razpadanja radioaktivne snovi je sorazmerna s količino snovi (reakcija 1. reda). Če imamo na začetku neko količino snovi (npr. 5g izotopa 14C), kaj lahko povemo o količini snovi čez nekaj časa (npr. čez koliko časa bo ostalo le 3g 14C)?
y=y(t) količina snovi v trenutku t
y’=-k y k je sorazmernostni faktor med količino snovi in
hitrostjo razpadanja (npr. za 14C je k = s-1)
y(0)=C, torej je C začetna količina opazovane snovi
Za 14C:
Diferencialna enačba skupaj z začetnim stanjem v celoti določa evolucijo sistema.
Hitrost razpadanja pogosto podamo z razpolovno dobo T: zveza s k je kT=ln 2
Razpolovna doba 14C je (0.6931/3.83) s ≈ 5730 let.

7. kozmični žarki
Datiranje s 14C
Rastline absorbirajo CO2 v biosfero. Razmerje med 12C in 14C v živih bitjih je enako, kot v atmosferi.
Ogljikov izotop 14C nastaja v višjih plasteh atmosfere, ko pod vplivom kozmičnih žar- kov dva neutrona nadomestita dva protona v 14N. Nastali 14C se veže s kisikom v 14CO2.
Razmerje med 14CO2 in 12CO2 v atmosferi je dokaj stabilno.
stopnja radioaktivnosti
0 let let let let
starost
Ko ostanki živih bitij niso več v stiku z atmosfero se razmerje med 12C in 14C zaradi radioaktivnega razpada poveča v prid prvega. Starost ostankov ocenimo na podlagi primerjave stopenj radioaktivnosti.

8. iskanje splošne rešitve
Pri diferencialnih enačbah obravnavamo dva tipa nalog:
iskanje splošne rešitve
npr enačba
splošna rešitev
začetni problem
iščemo rešitev enačbe, ki ima v nekih točkah predpisane
funkcijske vrednosti (in morda vrednosti odvodov)
npr začetni problem
rešitev

9. V družini krivulj
gre le ena skozi točko (0,3).
V dvoparametrični družini krivulj
je le ena,
ki gre skozi izhodišče in ima tam tangento s smernim koeficientom 2.

10. Diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami
V diferencialni enačbi 1. reda lahko ločimo spremenljivki, če jo
lahko zapišemo v obliki
Primeri
nista enačbi z ločljivimi spremenljivkami

11. Reševanje enačb z ločljivimi spremenljivkami
U(y) primitivna funkcija za u(y)
V(x) primitivna funkcija za v(x)
implicitna oblika splošne rešitve
Praktično navodilo: v diferencialni enačbi pišemo , prestavimo vse
x na eno stran enačbe, vse y na drugo stran enačbe in
potem integriramo vsako stran posebej.

12. Primeri
A ∈ ℝ
spremenljivk se ne da ločiti!
nova spremenljivka:

13. Začetni problem pri enačbah z ločljivimi spremenljivkami
Primer

14. Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopajo odvodi
iskane funkcije.
Rešitev DE je funkcija y=y(x), ki za vse x ustreza enačbi. Število
prostih parametrov, od katerih je odvisna rešitev je enako redu enačbe.
Geometrično je rešitev DE vsaka krivulja, ki je tangentna na polje smeri.
Začetni problem je iskanje rešitve DE, ki ustreza nekim začetnim pogojem.
DE z ločljivimi spremenljivkami rešimo tako, da ločimo spremenljivki in
potem integriramo vsako stran enačbe posebej.

15. Primer modeliranja z DE
Tripsin je encim trebušne slinavke, ki nastane iz tripsinogena. V reakciji nastopa tripsin kot katalizator, zato je hitrost nastajanja tripsina sorazmerna z njegovo koncentracijo.
y začetna koncentracija tripsina
y(t) koncentracija tripsina v času t
y’=ky hitrost nastajanja je sorazmerna koncentraciji
rešitev: y=y0ekt
začetni problem:
Model napoveduje eksponentno in neomejeno naraščanje količine tripsina. To se v resnici ne more zgoditi, zato model popravimo.

16. Med reakcijo se tripsinogen porablja: iz vsake molekule tripsinogena nastane ena molekula tripsina. Zato privzamemo, da je hitrost reakcije sorazmerna tako koncentraciji tripsina, kot koncentraciji tripsinogena. Če je skupna koncentracija tripsina in tripsinogena C, začetna koncentracija tripsina pa y0 dobimo začetni problem:
Logistična krivulja: model predvideva, da bo koncentracija tripsina zrasla do prvotne koncentracije tripsinogena, potem pa se bo ustalila.

17. Logistična krivulja je dober model za omejeno rast, vendar ni vedno povsem ustrezna. Npr. pri tumorjih število rakastih celic najprej narašča eksponencialno, potem pa se rast umiri in sčasoma ustavi. S poskusi so ugotovili, da krivulja naraščanja ni logistična temveč t.im. Gompertzova krivulja (ena od vidnih razlik je, da pri njej prevoj nastopi precej prej kot pri logistični).
Gompertzova funkcija

18. Eksperimentalno ugotovljeno zakonitost poskušamo razložiti tako, da pogledamo, kateri diferencialni enačbi ustreza Gompertzova funkcija. a
Diferencialna enačba pomeni, da število rakastih celic narašča sorazmerno z velikostjo tumorja, vendar se sorazmernostni faktor spreminja s časom. Vzroke za spremembo razlagajo različno:
s staranjem se reproduktivna moč celic zmanjšuje
reproduktivni faktor se ne spreminja, vendar je naraščanje sorazmerno le z delom števila celic v tumorju, ker se v notranjosti tumorja ustvari nekrotično območje

19. Linearne diferencialne enačbe 1. reda
splošna LDE 1. reda
homogena LDE 1. reda
Velja:
poljubni rešitvi LDE 1. reda se razlikujeta
za rešitev pripadajoče homogene enačbe.
rešitve homogene LDE 1. reda so oblike
, kjer je A(x) primitivna
funkcija za a(x).
je rešitev
splošne LDE 1. reda
splošna rešitev LDE 1. reda je oblike y=yP+yH

20. Primer Reševanje LDE 1. reda:
izračunamo primitivno funkcijo A(x) za a(x);
izračunamo integral ;
splošna rešitev enačbe je
Primer

21. Primer LDE 1.reda RL- električni krog L E(t) R
konstantni vir napetosti E:
padec napetosti na tuljavi: EL=LI ’ L
vir napetosti:
E(t) R
padec napetosti na uporu: ER=RI
Kirchhoffov zakon: E=ER+EL

22. Začetni problem za LDE 1.reda
izračunamo:
rešitev:
Primer

23. L
E(t) R
Primer
izmenični vir napetosti:

24. Rešljivost DE 1. reda Primeri
Začetni problem nima rešitev, ker je edina
rešitev enačbe dana z y(x)=0.
Začetni problem ima edino rešitev y(x)=x+1.
Začetni problem
ima neskončno rešitev oblike y(x)=Cx+1.

25. Picardova iteracijska metoda
numerična metoda za reševanje DE 1.reda
Picardova iteracijska metoda
zadostni pogoji za obstoj in edinost rešitve DE 1.reda
Rešitev začetnega problema
lahko zapišemo v integralski obliki
ki je primerna za približno reševanje.
(Podobno smo pri Newtonovi metodi enačbo f(x)=0 preoblikovali v x=g(x).)

26. Privzemimo, da obstaja limitna funkcija ; tedaj je
Tvorimo zaporedje funkcij y0(x), y1(x), y2(x),... po rekurzivnem pravilu:
Za vse n velja:
Privzemimo, da obstaja limitna funkcija ; tedaj je
(če je f zvezna in če smemo odvajati limito) in
limitna funkcija y(x) je rešitev začetnega problema.

27. Primer
......
Taylorjeva vrsta za funkcijo y(x)=ex.

28. Primer
Picardove iteracije za začetni problem 1 2
...... 3

29. Pri določenih pogojih Picardove iteracije konvergirajo proti rešitvi začetnega problema, dobljena rešitev pa je enolična.
Če sta f(x,y) in fy’(x,y) zvezni na neki okolici točke (x0,y0)
potem začetni problem ima natanko eno rešitev
y=y(x) na neki okolici točke x0.
Primer
Rešitve ni vedno mogoče podaljšati na celo realno os!

30. Linearne diferencialne enačbe 2.reda
splošna LDE 2. reda
homogena LDE 2. reda
Velja:
poljubni rešitvi LDE 2. reda se razlikujeta
za rešitev pripadajoče homogene enačbe.
splošna rešitev LDE 2. reda je oblike y=yP+yH ,
kjer je yP neka rešitev splošne enačbe, yH pa
poljubna rešitev homogene enačbe.

31. enačbe, potem je tudi c1y1+c2y2 rešitev homogene enačbe.
če sta y1 in y2 rešitvi homogene
enačbe, potem je tudi c1y1+c2y2
rešitev homogene enačbe.
(princip superpozicije)
funkciji y1 in y2 sta neodvisni, če nobena ni večkratnik druge
če sta y1 in y2 neodvisni rešitvi
homogene enačbe, potem lahko vse
rešitve homogene enačbe zapišemo
kot superpozicijo y1 in y2.
(sledi iz rezultatov o rešljivosti diferencialnih enačb)
yH=c1y1+c2y2

32. rešimo sistem linearnih enačb
Če sta y1, y2 neodvisni rešitvi homogene enačbe , potem lahko dobimo rešitev splošne enačbe , ki je oblike
dodatni pogoj:
= 0
= 0
rešimo sistem linearnih enačb
integriramo

33. Če je y1 ena rešitev homogene enačbe , lahko dobimo še eno neodvisno rešitev oblike y2=uy1
Homogena LDE 1. reda za u’ u
(A(x) primitivna funkcija za a(x))

34. Reševanje LDE 2.reda: Poiščemo vsaj eno rešitev homogene enačbe
Drugo rešitev homogene enačbe dobimo v obliki , kjer je
Partikularno rešitev splošne enačbe dobimo v obliki ,
kjer u in v določimo iz sistema enačb
Splošna rešitev enačbe je oblike y=yP+c1y1+c2y2.

35. Primer
HOMOGENA
eno rešitev uganemo: y1=x
druga rešitev:
SPLOŠNA

36. ....... LDE 2. reda s konstantnimi koeficienti
preprosto rešljiva homogena enačba
lažje računanje posebne rešitve
Primeri uporabe:
nihanja
električna vezja
modeliranje metabolizma

37. HOMOGENA ENAČBA Poskušamo z nastavkom: y=erx (analogija z LDE 1.reda)
par realnih ničel
dvojna realna ničla
par konjugiranih kompleksnih ničel

38. 1. primer: par realnih ničel r1,r2:
bazični rešitvi:
splošna rešitev:
2. primer: dvojna realna ničla r
bazični rešitvi:
drugo bazično rešitev dobimo z nastavkom
splošna rešitev:

39. 3. primer: par konjugirano kompleksnih ničel: α+iβ, α+iβ
potrebujemo rešitve, ki so realne funkcije
superpozicija rešitev je tudi rešitev ⇒
bazični rešitvi
splošna rešitev

40. Karakteristična enačba
Primeri
Diferencialna enačba
Karakteristična enačba
Ničle
Splošna rešitev

41. NEHOMOGENA ENAČBA Primer 1. način karakteristična enačba:
rešitev iščemo v obliki
in dobimo preprosto rešljiv sistem
kjer je
Primer
karakteristična enačba:
rešitve kar. enačbe:
rešitve homogene:
partikularna rešitev:
splošna rešitev:

42. f(x)=eax f(x)=Pn(x) (polinom n-te stopnje) 2. način
Za nekatere pomembne primere desnih strani lahko na podlagi izkušenj uganemo obliko rešitve in računamo le neznane koeficiente.
desna stran
nastavek (ki so neznani koeficienti)
f(x)=Pn(x) (polinom n-te stopnje)
f(x)=eax
Izjema: če je nastavek za yP rešitev homogene enačbe, potem cel nastavek pomnožimo z x (oz. z x2, če ima karakteristični polinom dvojno ničlo).
Superpozicija: če je desna stran vsota izrazov iz levega stolpca tabele, potem tudi za nastavek vzamemo ustrezno vsoto.

43. Primer rešitve homogene: nastavek: partikularna rešitev:
splošna rešitev:

44. Primer karakteristična enačba: rešitve kar. enačbe: rešitve homogene:
ker sta ex in xex rešitvi homogene enačbe,
nastavek:
partikularna rešitev:
splošna rešitev:

45. Reševanje LDE 2.reda s konstantnimi koeficienti
Rešimo karakteristično enačbo
Na podlagi rešitev določimo bazične rešitve homogene enačbe
par realnih ničel r1,r2
dvojna ničla r
par kompleksnih ničel α+iβ, α+iβ
Nehomogeno enačbo rešimo z nastavkom
Izjema: če je nastavek za yP rešitev homogene enačbe, potem cel nastavek pomnožimo z x ali z x2.
Splošna rešitev je y=yP+c1y1+c2y2.

46. NIHANJA y0 y y-y0 my’’ =mg-ky y=y(t) odmik od ravnovesne lege
y’(t) hitrost
y’’(t) pospešek
mg=ky0 ravnovesna lega obremenjene vzmeti
my’’ =mg-ky
sile, ki delujejo na utež
homogena LDE za odmik od ravnovesne lege
nehomogena LDE 2. reda

47. Utež z maso m obesimo na vzmet in izmaknemo za L iz ravnovesne lege
Utež z maso m obesimo na vzmet in izmaknemo za L iz ravnovesne lege. Kako bo zanihala?
(privzamemo veljavnost Hookovega zakona, zanemarimo upor in maso vzmeti)
enačba prostega nihanja
(isto enačbo dobimo, če obravnavamo nihalo in pri za majhnih kotih nadomestimo sin x z x)
periodično nihanje z amplitudo L in frekvenco
frekvenca je odvisna le od mase uteži in trdote
vzmeti, ni pa odvisna od amplitude
harmonično nihanje

48. Dušeno nihanje: sila dušenja je sorazmerna hitrosti (če hitrost ni prevelika) in ima nasprotno smer.
koeficient dušenja
enačba dušenega nihanja
kar. enačba:
rešitve kar. enačbe:

49. (koeficient dušenja je majhen)
Če je koeficient dušenja dovolj majhen, vtež niha z amplitudo, ki eksponentno vpada s časom. Frekvenca nihanja je konstantna in je nekoliko manjša od frekvence nedušenega nihanja.

50. (koeficient dušenja je velik)
Pri velikem koeficientu dušenja se vtež bodisi preprosto vrne v ravnovesno lego in v njej obmiruje ali pa enkrat zaniha in potem obmiruje v ravnovesni legi.
(mejni primer)
V mejnem primeru se zgodi isto kot v primeru velikega koeficienta dušenja.

51. VSILJENO NIHANJE f(t) zunanja sila, ki deluje na vzmet
lastna frekvenca prostega nihanja
Splošna rešitev:
Posebno rešitev dobimo z:
- nastavkom
- variacijo konstant
- integralsko formulo
f(t)
- rešitev začetnega problema y(0)=y’(0)=0
- primerna tudi za odsekoma zvezne desne strani

52. Primeri en signal sproži harmonično nihanje
posamezni signali spremenijo amplitudo, frekvenca se ne spreminja
periodični signal s frekvenco nesorazmerno z lastno povzroči neurejeno nihanje

53. in še... periodični signal s frekvenco enako lastni povzroči resonanco
periodični signal s frekvenco blizu lastni povzroči utripanje

54. Zakaj pride do resonance?
zunanja sila:
nastavek:
splošna rešitev:
amplituda neomejeno narašča

55. nastavek:
amplituda linearno narašča

56. Dušeno vsiljeno nihanje
(Privzamemo: c2<4km)
rešitev homogene:
nehomogena enačba:
nastavek (ω≠ωd )
splošna rešitev:
superpozicija dveh nihanj; drugo postane sčasoma zanemarljivo
(prehodno stanje ⇒ stacionarno stanje)
v stacionarnem stanju je frekvenca enaka frekvenci spodbujanja,
amplituda pa je odvisna od mase, koeficienta upora ter razlike med
frekvenco spodbujanja in lastno frekvenco dušenega nihanja.

57. Amplituda pri dušenem vsiljenem nihanju ne narašča čez vse meje, ko gre .
Razmerje med amplitudo spodbujanja in amplitudo nihanja (ojačenje) je
Resonančna krivulja
Ojačenje kot funkcija frekvence spodbujanja za različne vrednosti koeficienta upora (k=1, m=1):

58. RLC električni krog EL=LI ’ E(t) ER=RI upoštevamo I=Q ’:
Padec napetosti na ...
- uporu je sorazmeren toku;
E(t)
- tuljavi je sorazmeren spremembi toka;
- kondenzatoru je sorazmeren naboju.
ER=RI
upoštevamo I=Q ’:

59. - ko se frekvenca vira približa lastni frekvenci pride do
induktanca tuljave L
upor R
recipročje kapacitivnosti 1/C
odvod napetosti iz vira E ’(t)
električni tok I
2. Kirchhoffov zakon
masa m (inercija)
koeficient dušenja c (viskoznost)
koeficient elastičnosti k
zunanja sila F(t)
odmik od ravnovesja y
2. Newtonov zakon
RLC krog z izmeničnim (sinusnim) virom napetosti (R>0):
- prehodnemu toku sledi stacionarni električni tok;
- frekvenca stacionarnega toka je enaka frekvenci vira;
- amplituda stacionarnega toka je odvisna od induktance,
kapacitivnosti in razlike med frekvenco vira in lastno
frekvenco RLC kroga
- ko se frekvenca vira približa lastni frekvenci pride do
utripanja in do resonance

60. Model za ugotavljanje diabetesa
Diabetes je disfunkcija pri presnovi glukoze.
Pri običajnem testiranju dobi pacient na tešče večjo količino glukoze. V naslednjih nekaj urah mu večkrat odvzamejo kri in izmerijo koncentracijo glukoze. Oblika sprememb je podlaga za ugotavljanje diabetesa.
Zaradi nihanja koncentracije, individualnih razlik in drugih dejavnikov, ki vplivajo na količino glukoze v krvi, je pogosto težko postaviti pravilno diagnozo.
Presnovo glukoze krmili vrsta hormonov: insulin (spodbuja absorbcijo glukoze), glukagon (spodbuja nastanek glukoze iz glikogena v jetrih), adrenalin (spodbuja nastanek glukoze in zavira izločanje insulina), tiroksin (spodbuja nastanek glukoze iz ne-karbohidratov), somatotropin (zavira delovanje insulina) in drugi.

61. G: koncentracija glukoze v krvi
H: skupna koncentracija hormonov v krvi; tiste, ki zmanjšujejo G štejemo z
negativnim, ostale pa s pozitivnim predznakom; v običajnih okoliščinah
prevladuje vpliv insulina.
Laboratorijsko merimo predvsem G; določanje H je precej težje ali celo nemogoče.
Spreminjanje G in H je odvisno od trenutnih koncentracij G in H.
dovajanje insulina v kri
Funkciji u in v sta neznani. Njuni vrednosti blizu ravnovesnega stanja (G0,H0) ocenimo s pomočjo Lagrangeve formule:
linearizacija

62. Vrednosti parcialnih odvodov ne poznamo, ocenimo le njihov predznak:
sistem LDE 1.reda
Prevedemo na LDE 2.reda:
odvajamo 1. enačbo
h’ izrazimo iz 2. enačbe
bh izrazimo iz 1. enačbe
Pacientu damo glukozo na začetku in skoraj trenutno, zato je smiselno reševati homogeno enačbo z začetnim pogojem g(0)=J in g’(0)=0.

63. Enačba opisuje dušeno nihanje ⇒
splošna rešitev gre sčasoma proti 0, tj. G gre proti G0.
Splošna rešitev je (ob negativni diskriminanti) oblike
torej je odvisna od konstant G0,A,α,d,δ.
Konstante določimo s pomočjo metode najmanjših kvadratov iz nekaj meritev (običajno 6-8).
Lastna frekvenca d se izkaže za najmanj občutljivo za napake pri merjenju koncentracij. Na podlagi izkušenj je frekvenca, ki ustreza manj kot 4 uram znak normalne presnove, tista pa, ki ustreza bistveno več kot 4 uram pa kaže na diabetes.

64. Primeri parcialnih DE y y(t) y(x) y(x,t) T(x,y,z) T(x,y,z,t)
nihanje uteži na vzmeti ali nihalu
spreminjanje lege točke v času y
y(t)
nihanje strune
spreminjanje oblike krivulje v času
y(x)
y(x,t)
valovna enačba (1-razsežna)
spreminjanje temperature prostora v času
prevajanje toplote
T(x,y,z)
T(x,y,z,t)
enačba prevajanja toplote
Schrödingerova enačba

65. Nihanje strune dolge L, upete na obeh koncih.
Linearna parcialna diferencialna enačba 2. reda,
ki jo izpeljemo iz Newtonovega zakona:
- navpični pospešek točke na struni je odvisen
od ukrivljenosti strune v tej točki
- c2=T/r, kjer je T napetost, r pa dolžinska
gostota strune
Robna pogoja: krajišči strune ves čas mirujeta.
Začetna pogoja: f(x) je začetna lega točk strune, g(x) pa je njihova začetna hitrost.

66. Primer
10g težka elastična vrvica je s silo 8N napeta na dolžino 0.5 metra.
Primemo jo na sredini in izmaknemo navzdol za 5cm. Kako bo zanihala?

67. Metoda separacije spremenljivk
1. korak: Poiščemo preproste rešitve parcialne diferencialne enačbe, ki ustrezajo robnim pogojem (v splošnem pa ne ustrezajo začetnim pogojem).
2. korak: Poiščemo vsoto (superpozicijo) preprostih rešitev, ki ustreza tudi začetnim pogojem.
stoječe valovanje
(v času se spreminja le amplituda vala ne pa njegova oblika )

68. k=0 ⇒ u(x)=ax+b u(0)=u(L)=0 ⇒ a=b=0 k>0 ⇒ u(0)=u(L)=0 ⇒ a=b=0
n∈ℕ ⇒
so rešitve enačbe, ki ustrezajo robnim pogojem
n∈ℕ

69. Dobiti moramo rešitve, ki ustrezajo začetnemu pogoju
f(x) in g(x) razvijemo v primerno Fourierjevo vrsto, primerjamo koeficiente in rešitev, ki ustreza tudi začetnim pogojem dobimo kot superpozicijo rešitev yn(x,t):

70. Razvoj funkcije f(x) na intervalu [0,L] v vrsto sinusov dobimo tako, da f(x) liho nadaljujemo in uporabimo formule za razvoj v Fourierjevo vrsto na intervalu [-L,L].
Primer
razvoj po sinusih funkcije f(x)=x2 na [0,1]
primerjava: običajni razvoj f(x)=x2 na [0,1]

71. Povzetek: enačba nihanja strune na [0,L]
ki zadošča začetnim pogojem
ima rešitev oblike
kjer koeficiente An in Bn dobimo tako, da funkciji f(x) in g(x) razvijemo v vrsto sinusov in primerjamo koeficiente.

72. Primer
začetni pogoj:

73. Prevajanje toplote po palici
toplotna prevodnost
toplotna kapaciteta ⁃ gostota
- toplotni tok je odvisen od ‘ukrivljenosti’ porazdelitve temperature po palici
T(0,t)=T(L,t)= na koncih je temperatura palice 0o
T(x,0)=f(x) začetna porazdelitev temperature L 0o

74. T(0,t)=T(L,t)=0 ⇒ A=0, n∈ℕ nastavek za preprosto rešitev
separacija spremenljivk
splošna rešitev ločenih enačb
robni pogoji
T(0,t)=T(L,t)=0 ⇒ A=0,
n∈ℕ
družina preprostih rešitev, ki zadoščajo robnim pogojem

75. začetni pogoj
T(x,0)=f(x) razvijemo v Fourierjevo vrsto po sinusih in primerjamo koeficiente
Če je
potem