1. OSNOVE MEHANIKE LOMA
Vježbe 1

2. Potrebno je odrediti brzinu oslobađanja energije (Energy Release Rate)
ZADATAK 1
Potrebno je odrediti brzinu oslobađanja energije (Energy Release Rate)
za dvostruku konzolu prikazanu na slici.
Konzole su širine b.
Brzina oslobađanja energije (G) je brzina promjene potencijalne energije po površini pukotine za linearno-elastičan materijal. Naziva se još i sila razvoja pukotine (engl. Crack Driving Force). U trenutku loma, G = Gc. Kritična brzina oslobođene energije je mjera otporu širenja pukotine (pukotinska žilavost).
The strain energy release rate (or simply energy release rate) is the energy dissipated during fracture per unit of newly created fracture surface area. This quantity is central to fracture mechanics because the energy that must be supplied to a crack tip for it to grow must be balanced by the amount of energy dissipated due to the formation of new surfaces and other dissipative processes such as plasticity. F
Ponovimo…

3. Kontrola sile kontrola pomaka
Rješenje:
a) Konstrukcija s pukotinom
opterećena kontrolom sile:
Brzina oslobađanja energije
definirana je sljedećim izrazima: a) b)
b) Konstrukcija s pukotinom
opterećena kontrolom pomaka:
Uvodimo popustljivost C, koja je inverzna od krutosti ploče:
Kontrola sile kontrola pomaka

4. Rješenje: a) a) b)
Uvođenjem popustljivosti C, i uvrštavanjem u gornje izraze a) i b) dobivamo izraz za
brzinu oslobođene energije za oba slučaja
(kontrolu sile i pomaka): b)

5. Rješenje: F
Tako u našem primjeru imamo:
Progib konzole:
gdje je:
moment inercije.
Uvodimo popustljivost C:

6. Rješenje: F
Deriviramo po a:
Uvrštavanjem u izraz za G dobivamo brzinu oslobođene energije:

7. ZADATAK 2
Beskonačno velika ploča s pukotinom po cijeloj debljini opterećena je vlačnim naprezanjem σ = 100 MPa.
Potrebno je odrediti kritičnu duljinu pukotine i kritičnu brzinu oslobađanja
energije uz pretpostavku linearno elastičnog ponašanja materijala ploče.
Zadano je:
→ kritična veličina koeficijenta intenziteta naprezanja – žilavost loma (eng. Fracture Toughness) – mehanička karakteristika materijala
modul elastičnosti

8. Rješenje:
a) Koeficijent intenziteta naprezanja KI određuje se pomoću izraza:
(okomito na pukotinu!)
Kada pukotina dosegne kritičnu veličinu, ac, koeficijent intenziteta naprezanja KI označavamo kao KIC
Proizlazi,
odnosno aC = 80 mm.

9. Rješenje:
b) Brzinu oslobađanja energije (ili silu razvoja pukotine) određujemo pomoću izraza:
U trenutku loma, odnosno kod kritične veličine pukotine ac, kritična brzina oslobađanja energije opisuje kritičnu kombinaciju naprezanja i veličine pukotine.
Proizlazi , odnosno Gc = J/m2.

10. ZADATAK 3
Za uzorak opterećen vlačnom silom F sa pukotinom na jednom rubu potrebno je izraziti koeficijent intenziteta naprezanja preko naprezanja σ uz uvjet da je duljina pukotine puno manja od širine uzorka odnosno da je a<<h.
Vlačno opterećen uzorak sa pukotinom na jednom rubu

11. Rješenje:
Koeficijent intenziteta naprezanja KI dan je sljedećim izrazom:
gdje je F sila opterećenja, b debljina uzorka, a f(a/h) bezdimenzionalna funkcija.

12. Y Rješenje: Prethodnu jednadžbu možemo zapisati i na sljedeći način:
Naprezanje σ Y
Konačno:

13. Rješenje:
izraz za popravnu funkciju f(a/h)
U slučaju da je pukotina vrlo mala, popravna funkcija f(a/h) ima vrijednost:
odnosno
Dakle, koeficijent intenziteta naprezanja iznosi:

14. ZADATAK 4
Proizvedeno je pet uzoraka za ispitivanje od istoga materijala, ali sa različitim položajem pukotina (tablica 9.1.). Potrebno je odrediti silu loma za svaki od ovih uzoraka ako je zadano:
OBLIK UZORKA A B C D E
KIC = 35 MPa
b = 25 mm
h = 50 mm
a/h = 0,5
Tablica 9.1. Rješenja za određivanje KI za pet uobičajenih oblika uzoraka za ispitivanje

15. Rješenje: A B C D E

16. Rješenje:
Sila loma dobiva se iz izraza za koeficijent intenziteta naprezanja KIC:
iz čega slijedi
Iz zadanih ulaznih podataka izračunate su sljedeće vrijednosti popravnih funkcija te sile loma za pojedine uzorke:
Tablica 9.2. Prikaz popravne funkcije f (a/h) i sile loma za pojedine uzorke
Oblik uzorka A B C D E
Popravna funkcija f(a/h)
3,54
10,65
0,74
1,08
9,66
Sila loma (kN)
55,23
18,37
263,20
181,31
20,26

17. Rješenje: A B C D E Oblik uzorka A B C D E Popravna funkcija f(a/h)
3,54
10,65
0,74
1,08
9,66
Sila loma (kN)
55,23
18,37
263,20
181,31
20,26 A B C D E

18. ZADATAK 5
Promatra se dvoosno opterećena ploča s pukotinom duljine 2a po cijeloj debljini. Pukotina se nalazi pod kutom β u odnosu na smjer naprezanja σ2. Potrebno je izvesti izraze za KI i KII za ovaj slučaj i pokazati što se događa sa KI i KII kada su naprezanja σ1 i σ2 jednaka. KI
KII
Ploča s pukotinom izložena
dvoosnom stanju naprezanja

19. promatramo samo utjecaj σ1
Rješenje:
Problem propagacije pukotine pri dvoosnom stanju naprezanja, riješiti ćemo superponiranjem rješenja za jednoosno stanje naprezanja.
promatramo samo utjecaj σ1

20. Rješenje:
KI0 je koeficijent intenziteta naprezanja za I. oblik razvoja pukotine kad je kut β = 0, odnosno kada je smjer naprezanja okomit na smjer pružanja pukotine.

21. Rješenje:
Ako naprezanje σ2 projiciramo u smjerovima m i n te zatim iskoristimo ranije navedeni princip superpozicije dobivamo sljedeće:
izlučivanjem naprezanja σ1 i korištenjem poznatog nam izraza za KI0
na kraju dobivamo
gdje je odnos naprezanja σ2 i σ1.

22. Rješenje:
Napravimo sada isto (princip superpozicije) za posmično naprezanje τmn
izlučivanjem naprezanja σ1 i korištenjem poznatog nam izraza za KI0
na kraju dobivamo
gdje je odnos naprezanja σ2 i σ1.

23. I. oblik razvoja pukotine
Rješenje:
U slučaju da su naprezanja σ1 i σ2 jednaka, parametar B iznosi 1 iz čega proizlazi da su koeficijenti intenziteta naprezanja:
Dakle, u tom slučaju postoji samo jedan oblik razvoja pukotine, oblik I.
I. oblik razvoja pukotine

24. ZADATAK 6
Za beskonačnu ploču s pukotinom duljine 50,8 mm ( a = 25,4 mm) treba izračunati efektivni koeficijent intenziteta naprezanja koristeći LEFM te Irwinov i Dugdale-Barenblattov koncept korekcije plastičnog područja u vrhu pukotine. Granica tečenja materijala je σT = 250 MPa.
Beskonačna ploča
s pukotinom

25. Rješenje:
LEFM - koeficijent intenziteta naprezanja računamo pomoću izraza:
Za ''beskonačno'' veliku ploču popravna funkcija geometrije iznosi 1,
a dobivena je iz sljedećeg izraza:
Dakle, konačni izraz za koeficijent intenziteta naprezanja je:

26. Rješenje:
b) Koristeći Irwin-ov pristup računamo veličinu plastičnog područja:
Premještanjem vrha pukotine u središte plastičnog područja dobivamo duljinu efektivne pukotine:
Za novu duljinu pukotine računamo novi, efektivni koeficijent intenziteta naprezanja:

27. Rješenje:
c) Koristeći Dugdale-Barenblattov pristup (Strip Yield Model) računamo veličinu plastičnog područja prema izrazu:
Isto kao i prethodno, kod Irwin-ovog pristupa, premještanjem vrha pukotine na rub plastičnog područja dobivamo duljinu efektivne pukotine i računamo novi efektivni koeficijent intenziteta naprezanja:

28. Rješenje:
Sljedeća tablica prikazuje usporedbu koeficijenata intenziteta naprezanja dobivenih na 3 opisana načina: LEFM; Irwin-ov pristup; Dugdale-Barenblattov pristup (Strip Yield Model). σ
LEFM
Irwin
Strip Yield Model
(MPa) KI ry rp
aeff
KIeff r 25
7,06
0,127
0,254
25,527
7,08
0,313
25,713
7,11 50
14,12
0,508
1,017
25,908
14,26
1,253
26,653
14,47
100
28,25
2,033
4,066
27,433
29,36
5,011
30,411
30,91
150
42,37
4,574
9,149
29,974
46,03
11,275
36,675
50,92
200
56,50
8,132
16,264
33,532
64,91
20,045
45,445
75,57
225
63,56
10,292
20,584
35,692
75,34
25,369
50,769
89,86
249
70,34
12,605
25,210
38,005
86,04
31,070
56,470
104,88
250
70,62
12,706
25,413
38,106
86,50
31,320
56,720
105,53

29. Usporedba korekcija plastičnih područja po različitim konceptima
Rješenje:
Usporedba korekcija plastičnih područja po različitim konceptima

30. ZADATAK 7
Promatra se beskonačna ploča s pukotinom duljine 12 mm (a = 6 mm). Otkrivena pukotina se proteže kroz cijelu debljinu ploče koja je opterećena vlačnim naprezanjem od 160 MPa. Vlačno naprezanje djeluje okomito na pukotinu. Beskonačna ploča znači da su širina i visina ploče puno veći od duljine pukotine. Ploča je debljine b = 80 mm i izrađena je od konstrukcijskog čelika St052.
Potrebno je:
Izračunati koeficijent intenziteta naprezanja KI i nacrtati dijagram normalnih naprezanja σy za kut φ = 0.
Uvažavajući ograničeno područje plastičnosti u vrhu pukotine, koristeći Irwinov koncept, odrediti efektivnu duljinu pukotine, izračunati efektivni koeficijent intenziteta naprezanja Keff i nacrtati novi dijagram normalnih naprezanja σy za kut φ = 0. Usporediti dijagrame normalnih naprezanja bez i sa korekcijom duljine pukotine.
Pri kojem kritičnom naprezanju će doći do loma ploče?

31. Postoji pukotina? → Primjena principa mehanike loma!
Rješenje:
Iz tablica za konstrukcijski čelik St052 nalazimo:
- granica tečenja: σT = 370 MPa
- vlačna čvrstoća: σM = 620 MPa
- žilavost loma za ravninsko stanje deformacija: KIC = 62MPa√m
Postoji pukotina? → Primjena principa mehanike loma!
Da li se ploča oko vrha pukotine nalazi u stanju ravninske deformacije?

32. Rješenje:
Koeficijent intenziteta naprezanja KI:
Za beskonačno veliku ploču ova vrijednost je 1,0
Dakle, koeficijent intenziteta naprezanja iznosi:
Dijagram normalnih naprezanja σy za kut φ = 0 računamo koristeći izraz:

33. Rješenje:
Iz dijagrama procjenjujemo područje singularnosti za koje vrijedi ovaj izraz.
PODRUČJE SINGULARNOSTI a)
PODRUČJE SINGULARNOSTI b)

34. Rješenje:
2) Irwinov pristup:
Veličina plastičnog područja:
Premještamo vrh pukotine u središte plastičnog područja
efektivna duljina pukotine

35. Plastično područje < Područje singularnosti
Rješenje: ! !
Nova duljina pukotine → novi koeficijent intenziteta naprezanja !
Novi dijagram normalnih naprezanja σy za kut φ = 0 uz korištenje izraza:
Povećano područje singularnosti na kojem vrijedi izraz za σy.
Zaključak:
Plastično područje < Područje singularnosti
Za analizu stanja naprezanja i pomaka oko pukotine možemo primjenjivati koncept linearno elastične mehanike loma (LEFM).

36. PO ZAKONIMA MEHANIKE LOMA. . .
Rješenje:
2) Kritično naprezanje za lom ploče:
TRIVIJALNO
Zanemarujući postojanje pukotine, do loma ploče će doći kada naprezanje dosegne veličinu vlačne čvrstoće σM = 620 MPa.
PO ZAKONIMA MEHANIKE LOMA. . .
Postojanje pukotine → do loma ploče će doći kada koeficijent intenziteta naprezanja dosegne kritičnu vrijednost – žilavost loma.
30 % manje od σM!!!