2. Stability Theory of Structures
تئوری پایداری سازه ها
Stability Theory of Structures
كريم عابدي

3. رده بندی پدیده های ناپایداری
فصل دوم
رده بندی پدیده های ناپایداری

4. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
1- مقدمه :
ناپایداری سیستم سازه ای در واقع بستگی به دو عامل دارد:
1- پارامترهای سیستم سازه ای نظیر خواص هندسی و مکانیکی سازه (بافتار سازه)،
2- شرایط محیطی نظیر شرایط بارگذاری.
پدیده ناپایداری
پدیده گسیختگی
پدیده ناپایداری
پدیده گسیختگی
پدیده گسیختگی
پدیده ناپایداری

5. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
اساساً دو رده ناپایداری وجود دارد:
الف- ناپایداری نقطه حدی
(Limit Point Instability)
ب- ناپایداری نقطه دوشاخگی
(Bifurcation Point Instability)
ناپایداری نقطه حدی: برای سیستم سازه ای تحت بار گذاری مشخص، فقط یک مسیر تعادل وجود دارد.
ناپایداری نقطه دوشاخگی: برای سیستم سازه ای تحت بارگذاری مشخص، بیش از یک مسیرتعادل وجود دارد.

6. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
ناپایداری نقطه دوشاخگی با توجه به وضعیت مسیر دوم به سه رده تقسیم می شود:
1- متقارن پایدار
2- متقارن ناپایدار
3- نا متقارن
در یک رده بندی دیگر ناپایداری به دو رده
ناپایداری ارتجاعی
ناپایداری غیر ارتجاعی
تقسیم می شود.
ناپایداری ارتجاعی: قبل از ناپایداری، هیچ گونه تسلیمی در مصالح رخ نمی دهد.
ناپایداری غیر ارتجاعی: قبل از ناپایداری، تسلیم در مصالح رخ می دهد.
در این فصل صرفاً ناپایداری ارتجاعی را مورد بررسی قرار خواهیم داد.

7. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
رفتار خطی سازه ای
(1)
رفتارغیرخطی سازه ای نرم شوندگی
softening
(2)
رفتار غیرخطی سازه ای سخت شوندگی
stiffening
(3)

8. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
در شکل (1) برای هر تراز بار، سختی ثابت است، پس هیچ گونه ناپایداری رخ نمی دهد.
در شکل (2) چون سختی در حال کاهش است، احتمال بروز ناپایداری وجود دارد.
در شکل (3) سختی در حال افزایش است و ناپایداری مطرح نیست.
نوع ناپایداری
رفتار سازه
رفتار مصالح
تا نقطه ناپایداری قطعاً خطی است، بعد از آن می تواند غیرخطی هم باشد.
ناپایداری ارتجاعی
غیرخطی (نرم شونده)
غیرخطی (نرم شونده)
غیرخطی
ناپایداری غیرارتجاعی
پس برای بررسی پایداری یا ناپایداری، سازه باید دارای رفتار غیرخطی نرم شونده باشد.

9. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
2- ناپایداری نقطه حدی (Limit Point Instability)
الف – تعریف کلی:
یک سازه با مشخصه نرم شوندگی که در آن سختی با افزایش بار کاهش می یابد، احتمالا پایداری خود را به طریقه ای که ناپایداری نقطه حدی نامیده می شود از دست بدهد. در این نوع ناپایداری، نرم شوندگی که همراه با مد اولیه تغییر شکل(Initial Mode of Deformation) می باشد ممکن است با کاهش تدریجی سختی به حالتی برسد که در آن سختی سازه بکلی از بین برود. در این حالت است که گفته می شود مسیرتعادل بار - تغییرمکان به یک نقطه حدی رسیده است که در آن یک پرش دینامیکی (Dynamic Jump)به یک بافتار بسیار تغییرشکل یافته (Highly Deformed Configuration) رخ می دهد.
Dynamic jump
limit point P
Limit point Load

10. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
به عبارت دیگر، در نقطه حدی سختی سازه صفر است و هیچ حالت تعادل همسایه ای به ازای یک افزایش اندک در بار وجود ندارد. در این نقطه است که سازه مجبور می شود که به دنبال یک حالت تعادل پایداری باشد که در این تراز بار و عموما در مسیر تعادل مشابهی می باشد.
حفظ مد اولیه تغییرشکل بعد از وقوع ناپایداری،
وجود یک مسیر تعادل قبل و بعد از وقوع ناپایداری.
دو ویژگی ناپایداری نقطه حدی:
اگر سیستم کنترل بارگذاری، به جای کنترل بار (Load Control)، از نوع کنترل تغییرمکان
(Displacement Control)
باشد، در این صورت رفتاری به صورت روبرو خواهیم داشت:

11. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
لازم به ذکر است که حرکت به سمت حالت تعادل دیگر(نقطه J) در همان مسیر تعادل، شامل انتقال مقدار قابل توجهی انرژی بوده و با شدت قابل توجهی رخ می دهد. این نوع ناپایداری بنام فروجهش دینامیکی (Dynamic Snap-Through) نیز معروف است.
ب – مدل سازه ای آزمایشگاهی
سازه مدل و کنترل بارگذاری از نوع کنترل بار
Force Loading

12. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
سازه مدل و کنترل بارگذاری از نوع کنترل تغییر مکان
Displacement Loading
پ – اعمال روش انرژی برای بررسی پایداری مدل سازه ای (در حالت کنترل بار)

13. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
در مدل ریاضی مربوط به مدل فیزیکی سازه مورد نظر، تغییر زاویه θ برای تعریف تغییرمکان افقی تکیه گاه غلتکی C - یعنیΔ1 – و تغییر قائم مفصل B – یعنیΔ2 – کافی است:
برای یافتن معادلات تعادل و مسیرهای تعادل، مشتق اول تابعک انرژی پتانسیل کلی را مساوی صفر قرار می دهیم:

14. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
با فرض ، معادله مذکور به صورت یک مسیر تعادل واحد در می آید که به صورت زیر تعریف می شود:
که شیب آن (مشتق p نسبت به θ) بیانگر سختی سیستم سازه ای است:
برای بررسی پایداری مسیر تعادل، از مشتق دوم تابعک انرژی پتانسیل کلی استفاده می کنیم:

15. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
اگر مشتق دوم مذکور را در روی مسیر تعادل در نظر بگیریم، در این صورت خواهیم داشت :
قید مسئله
پایدار
ناپایدار
نقطه بحرانی
توجه شود که در حالت بحرانی، سختی سیستم سازه ای صفر است که با فرمول استخراج شده برای سختی سیستم، مطابقت سازه ای دارد.

16. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
برای مدل مورد استفاده، با فرض L=0.152m و K=8349N/m و α=π/8، نمودار بار- تغییرمکان را به صورت روبرو خواهیم داشت:
پروفیل های انرژی پتانسیل کلی که روی مسیر تعادل بار- تغییر مکان افزوده شده است، یک ارتباط مفهومی ارزشمندی را بین تعاریف پایداری مبتنی بر فرم انرژی پتانسیل کلی و رفتار فیزیکی واقعی سازه به دست می دهد:

17. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
اگر فرض کنیم که δ=Δ2/L و نمودار δ p - را رسم کنیم و سختی متناظر (S) با آن را به دست آوریم و نمودار S-θ را رسم کنیم به نتایج جالبی خواهیم رسید. نمودار ها نشان می دهند که سختی مثبت بیانگر تعادل پایدار و سختی منفی بیانگر تعادل ناپایدار است.

18. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
ت - اثر ناکاملی اولیه (Initial Imperfection)
1- ناکاملی های هندسی
(Geometrical Imperfection)
انحنا اولیه اعضا سازه ای،
انحراف گره های سازه ای از هندسه ایده آل.
ناکاملی در سازه ها بر دو نوع است:
تنش های پسماند،
2- ناکاملی های مکانیکی
( Mechanical Imperfections)
خروج از مرکزیت بار،
عدم انطباق
(Lack of Fit)
1- سازه های حساس به ناکاملی ها:
Imperfection Sensitive Structures
سازه ها را از نظرحساسیت به ناکاملی، به دو دسته تقسیم می کنیم:
2- سازه های غیرحساس به ناکاملی ها:
Imperfection Insensitive Structures

19. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
1- سازه هایی که به ازای ناکاملی های کوچک، به طور نامتناسبی، تغییرات بزرگی در رفتار را به نمایش می گذارند، سازه های حساس به ناکاملی ها می باشند. ظرفیت باربری این سازه ها به شدت نسبت به ناکاملی ها حساس است.
2- سازه هایی که به ازای ناکاملی های کوچک، به طور متناسبی، تغییرات کوچکی در رفتار را به نمایش می گذارند، سازه های غیرحساس به ناکاملی ها می باشند. ظرفیت باربری این سازه ها حساسیت کمی نسبت به ناکاملی ها دارد.
شرحی در مورد آنالیز تجربی حساسیت.
1- انتخاب نوع ناکاملی
در یک سازه n درجه آزادی با چالش های روبرو مواجه هستیم:
2- محل اعمال ناکاملی
3- مقدار ناکاملی
4- نحوه ترکیب ناکاملی
شرحی در مورد ضرورت آنالیز احتمالاتی برای بررسی حساسیت سازه ها نسبت به ناکاملی ها ( به دلیل ماهیت تصادفی ناکاملی ها)
آنالیز حساسیت نسبت به ناکاملی ها (Imperfection Sensitivity Analysis)، در بررسی پایداری سیستم های سازه ای اهمیت به سزایی دارد.

20. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
اکنون برای مدل سازه ای مورد نظر خود، یک ناکاملی هندسی را فرض می کنیم، به عبارت دیگر ناکاملی هندسی θ0 را به عنوان یک انحراف از هندسه کامل بارگذاری نشده (Perfect Unloaded Geometry) به صورتی که در شکل مقابل نشان داده شده است، در نظر می گیریم:
برای تحلیل این سیستم ناکامل ، جهت ساده سازی محاسبات، تقریب سازی خاصی را به کار می بریم .

21. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
اگر از تقریب سازی های زیر استفاده کنیم:
در این صورت و به صورت زیر به دست خواهند آمد:

22. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
اگر مقادیر و را در رابطه تابعک انرژی پتانسیل کلی جایگذاری کرده و از ترم هایی که دارای و بالاتر می باشند و نیز از ترم هایی نظیر صرف نظر کنیم، در این صورت خواهیم داشت:
از معادله تعادل سیستم به دست می آید:
و مسیر تعادل به وسیله معادله ( بدون بعد ) زیر مشخص می شود (بیانگر یک مسیر واحد):

23. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
به ازای مقادیر مختلف ناکاملی (θ0)، نمودار p - θ و نیز نمودار θ0 pm- رسم شده است.
ملاحظه می شود که حتی به ازای ناکاملی های خیلی بزرگ، تغییر در مسیر تعادل اندک است.
ملاحظه می شود که بار بحرانی تا حد بسیار قابل توجهی تابعی خطی از ناکاملی θ0 بوده وحساسیت بسیار کمی نسبت به θ0 دارد.
اساساً یکی از ویژگی های سازه هایی که کمانش آنها از نوع فروجهش (Snap-through) و پایداری آنها از نوع ناپایداری نقطه حدی است، عدم حساسیت نسبت به ناکاملی (Imperfection Insensitivity) می باشد.

24. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
ث- مدل های سازه ای واقعی
ناپایداری نقطه حدی در سازه های زیر که تحت اثر بارگذاری جانبی قرار دارند، رخ می دهد .
1- سازه های قوسی
2- سازه های پوسته ای گنبدی
3- سازه های پوسته ای چلیکی (استوانه ای)
4- سازه های فضاکار گنبدی
5- سازه های فضاکار چلیکی
6- صفحات دایروی انحنادار تحت فشار

25. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
رفتار ناپایداری حدی در یک قوس دایروی تحت بارگذاری جانبی به روش کنترل نیرو

26. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
رفتار ناپایداری حدی در یک پوسته کروی تحت فشار به روش کنترل فشار

27. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
رفتار ناپایداری حدی در یک تیر جدارنازک تحت بارگذاری جانبی به روش کنترل تغییرمکان

28. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
منحنی پاسخ بار- تغییرشکل یک سازه گنبدی تحت بارگذاری انباشته برف در مرکز آن

29. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
Bifurcation Point Instability
3- ناپایداری نقطه دوشاخگی
1-3) تعریف کلی:
تاکنون فرم های سازه ای خاصی با بارگذاری های خاصی را مورد بررسی قرار دادیم که در آنها هر حالت تعادلی دارای یک مسیر تعادل بود که از آن حالت تعادل عبور می کرد.
در برخی فرم های سازه ای با بارگذاری های خاصی این امکان وجود دارد که دارای دو مسیر تعادل باشند، به گونه ای که از یک حالت تعادل یکسانی عبور می کنند.
در این نوع فرم های سازه ( با بارگذاری های خاصی)، یک مسیر تعادل از مبدا شروع می شود که به آن مسیر اولیه یا اصلی می گوییم. این مسیر تعادل به وسیله مسیر تعادل دیگری که آن را مسیر ثانویه یا فرعی می نامیم، قطع می شود که نقطه تقاطع را نقطه دوشاخگی می نامیم.

30. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
بسته به نوع مسیر تعادل ثانوی، سه نوع ناپایداری نقطه دوشاخگی داریم:
(Stable-Symmetric Bifurcation)
دوشاخگی متقارن پایدار
(Unstable-Symmetric Bifurcation)
دوشاخگی متقارن ناپایدار
(Asymmetric Bifurcation)
دوشاخگی نامتقارن

31. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
2-3) دوشاخگی متقارن پایدار
الف) تعریف کلی:
در ناپایداری متقارن پایدار، مسیر تعادل اولیه پایدار سازه در یک نقطه ای ناپایدار می شود که آن نقطه محل تقاطع دو مسیر تعادل است و مسیر تعادل ثانوی پایدار و متقارن است.
Secondary Path
Primary Path c
این نوع ناپایداری در ستون های لاغر تحت اثر نیروی محوری و صفحات نازک تحت اثر بارگذاری درون صفحه ای (In-plane Loading) رخ می دهد.

32. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
ب) مدل سازه ای آزمایشگاهی
یک مدل آزمایشگاهی که در شکل زیر نشان داده شده است به گونه ای است که در حالت بارگذاری نشده دو میله صلب و كه در نقطه توسط فنر دورانی به سختی
به همدیگر متصل شده اند، نسبت به خط افق زاویه صفر می سازند. بنابر این فنر بیانگر الاستیسیته سیستم می باشد.
سیستم مذکور تحت اثر بارگذاری محوری به گونه ای که در زیر نشان داده شده است قرار دارد.

33. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
پ) اعمال روش انرژی برای بررسی پایداری مدل سازه ای
در مدل ریاضی مربوط به مدل فیزیکی سازه ای مورد نظر تغییر زاویه θ بیانگر فرم کلی تغییر شکل مدل سازه ای می باشد:
تغییر مکان در راستای بار عبارت است از:
تابعک انرژی پتانسیل کلی عبارت است از:

34. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
برای یافتن معادلات تعادل و مسیرهای تعادل، مشتق اول تابعک انرژی پتانسیل کلی را مساوی صفر قرار می دهیم:
با فرض ، معادله تعادل به صورت زير در مي آيد:
معادله تعادل حاصل منجر به دو مسیر تعادل ممکن زیر می شود
( مسير تعادل )
( مسير تعادل )

35. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
رابطه بار - تغییر مکان توصیف شده به وسیله دو جواب ممکن در زیر نشان داده می شود:
برای بررسی پایداری مسیرهای تعادل مذکور مشتق دوم تابعک انرژی پتانسیل کلی را مورد بررسی قرار می دهیم:
اگر مشتق دوم مذكور را در روي مسير مورد بررسي قرار دهيم ( يعني ) ، خواهيم داشت :
حالت بحراني
حالت پايدار
حالت ناپايدار

36. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
و اگر مشتق دوم مذكور را در روي مسير مورد بررسي قرار دهيم( يعني ) ، خواهيم داشت:
حالت پايدار
حالت بحراني
حالت ناپايدار
از بررسی مسیر تعادل اول نتیجه می گیریم که حالت مسیر مذکور در1 p = تغییر می کند و هنگامی که مدل سازه ای مذکور بیش از بار1 p = بارگذاری شود، در این صورت با یک اختلال خارجی کوچک (small external disturbance) از بافتار تعادل دور خواهد شد.
از بررسی مسیر تعادل دوم باید گفت که با توجه به اینکه برای تغییر شکل های عملی مدل سازه ای داریم: ، از این رو همواره خواهیم داشت و لذا مشتق دوم هرگز صفر نخواهد بود و لذا مسیر مذکور عملا پایدار است.

37. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
برای بررسی پایدار بودن یا پایدار نبودن حالت بحرانی باید مشتقات مرتبه بالاتر آن را مورد بررسی قرار می دهیم همانگونه که قبلا گفتیم اگر و باشد در این صورت علامت مشتق چهارم تابعک انرﮊی پتانسیل کلی عامل تعیین کننده پایداری یا ناپایداری حالت بحرانی مورد نظر است به عبارت دیگر اگرداشته باشیم
و در این صورت حالت بحرانی یک حالت پایدار است که دلالت بر ناپایداری محلی و تقارن در تغییر شکل بحرانی θ دارد، ولی ضرورتا بیانگر ناپایداری کلی نمی باشد.
برای مدل سازه ای مذکور داریم:
پس حالت بحرانی یک حالت پایدار است.

38. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
پروفیل های انرژی پتانسیل کلی که بر روی مسیر تعادل بار- تغییر مکان افزوده شده است یک ارتباط مفهومی ارزشمندی را بین تعاریف پایداری مبتنی بر فرم انرژی پتانسیل کلی و رفتار فیزیکی واقعی سازه ای به دست می دهد. در نمودار زیر مقادیر نسبی در ترازهای ثابت بار رسم شده اند :
مشاهده می کنیم هنگامی که 1 p < می باشد، انرژی پتانسیل کلی در روی مسیر اول مینیمم می باشد، در حالی که به هنگام p >1 ، انرژی پتانسیل کلی در روی مسیر اول یک ماکزیمم و در روی مسیر دوم یک مینیمم می باشد.
از آنجا که مشخصات بار و پایداری به ازای مقادیر مثبت و منفی θ یکسان است، از این رو مدل سازه ای صرفا با توجه به جهت اختلال خارجی کوچک شاخه سمت چپ ( left branch ) یا شاخه سمت راست را دنبال خواهد نمود.

39. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
بنابراین دوشاخگی متقارن پایدار، رفتار یک مدل سازه ای را توصیف می نماید که مسیر تعادل اولیه آن در یک تراز مشخص بار که بار بحرانی نامیده می شود یک مسیر ثانوی را قطع می کند که نسبت به تغییر شکل بحرانی θ هم پایدار است و هم متقارن.
لازم به ذکر است که اگرچه مدل ریاضی مدل سازه ای مورد نظر دلالت بر این دارد که به ازای θ صفر، سازه دارای سختی بی نهایت است، ولی در واقع هیچ نوع سازه ای در عمل این چنین خاصیتی را نخواهد داشت.

40. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
اگر فرض کنیم که و نمودار را رسم نماییم و اگر شیب نمودار مذکور را با نشان دهیم که در واقع بیانگر سختی سازه می باشد به گونه ای که
و نمودار را رسم نماییم در این صورت مشاهده خواهیم نمود که همواره مثبت بوده و در ابتدا دارای مقدار بی نهایت می باشد. نکته بسیار مهم کاهش بسیار قابل ملاحظه سختی در هنگام رسیدن به بار بحرانی می باشد.

41. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
ت) اثر ناکاملی اولیه:
برای مدل سازه ای مورد نظر یک ناکاملی هندسی را فرض می کنیم، به عبارت دیگر ناکاملی هندسی را به عنوان یک انحراف از هندسه کامل بارگذاری نشده به صورتی که در شکل زیر نشان داده شده است در نظر می گیریم:
تابعک انرژی پتانسیل کلی عبارت است از:
با فرض ، معادله تعادل سيستم به دست مي آيد:

42. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
با فرض ، معادله تعادل سيستم به صورت زير درمي آيد كه بيانگر مسير تعادل واحد سيستم است:
نمودار به ازاي مقادير مختلف در زير ارائه مي شود:

43. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
چند نکته مهم در مدل ناکامل قابل توجه می باشد:
الف) نحوه تغییر شکل سیستم سازه ای ناکامل مذکور، تابع جهت ناکاملی اولیه می باشد و علامت هر دو یکسان می باشد.
ب) هنگامی که کوچک است، مسیر تعادل سیستم ناکامل با افزایش تغییرمکان ها به مدل کامل میل خواهد نمود.
پ) در سیستم ناکامل، دیگر اثری از نقطه دوشاخگی نیست و تنها با یک مسیر تعادل مواجه هستیم که در واقع در عمل نیز با چنین حالتی روبرو خواهیم شد.
ت) این مدل سازه ای حساسیت نسبتا کمی به ناکاملی های اولیه نشان می دهد، لذا می توان هنوز آنها را جز سازه های رده بندی نمود.
Imperfection - Insensitive

44. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
برای بررسی پایداری مسیر تعادل مدل سازه ای ناکامل، مشتق دوم تابعک انرژی پتانسیل کلی را مورد بررسی قرار می دهیم:
مشتق دوم مذکور را در روی مسیر تعادل مدل ناکامل مورد ارزیابی قرار می دهیم:
حالت پايدار
حالت بحراني
حالت ناپايدار
که با توجه به تغییر شکل های عملی مدل سازه ای، مسیر مذکور همواره پایدار است و لذا مدل مذکور تنها یک مسیر تعادل پایدار را دنبال خواهد نمود.

45. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
اگر فرض کنیم که δ=Δ1/L و نمودار p - δ رارسم کنیم و اگر شیب نمودار مذکور را با S نشان دهیم که در واقع بیانگر سختی سازه است، و نمودار S - θ را رسم کنیم، باز هم مشاهده خواهیم کرد که S همواره مثبت بوده و لذا مسیرتعادل، همواره پایدار است.
با افزایش θ0(ناکاملی اولیه) سختی بشدت کاهش پیدا می کند. باز هم نکته مهم، کاهش بسیار قابل ملاحظه سختی در هنگام رسیدن به بار بحرانی می باشد.

46. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
ث) مدل های سازه ای واقعی :
ناپایداری دوشاخگی متقارن پایدار در سازه های زیر رخ می دهد:
1) ستون های تحت اثر بار محوری
( sidway bowing )
البته لازم به ذکر است که برای ستون های معمولی به دلیل وقوع پدیده تسلیم سختی ستون به سرعت به صفر می رسد و پدیده کما نش رخ می دهد.

47. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
2) ستون های جدار نازک (با سختی پیچشی کمتر نسبت به سختی خمشی )
کمانش پیچشی ستون ها

48. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
3) صفحه تحت اثر بارگذاری فشاری درون صفحه ای

49. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
3-3) دوشاخگی متقارن ناپایدار
الف) تعریف کلی:
در ناپایداری متقارن ناپایدار، مسیر تعادل اولیه پایدار سازه در یک نقطه ای ناپایدار می شود که آن نقطه محل تقاطع دو مسیر تعادل است و مسیر تعادل ثانوی ناپایدار و متقارن است:
Secondary Path
Primary Path c

50. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
Secondary Path
Primary Path c
اگر بارگذاری از نوع بارگذاری تغییر مکان باشد، مدل سازه ای مسیر ثانویه را طی خواهد نمود، ولی در صورتی که بارگذاری از نوع بارگذاری نیرویی باشد، در این صورت در نقطه C به ازای یک افزایش اندک در بار هیچ حالت تعادل همسایه ای وجود نخواهد داشت.
در این نقطه است که سازه مجبور می شود به دنبال یک حالت تعادل پایداری باشد که ممکن است در این تراز بار و در مسیر تعادل ثانوی وجود داشته باشد. بنابراين وقوع يك پرش ديناميكي اجتناب ناپذير است.
اساسا طبیعت متقارن مسیرتعادل ثانوی موجب می شود که پرش دینامیکی در دو جهت مختلف امکان پذیر باشد و جهت پرش دینامیکی در واقع بستگی به جهت اختلال کوچکی خواهد داشت كه در نقطه C به سازه اعمال مي شود.
در ناپایداری متقارن ناپایدار مد تغییر شکل اولیه که متناسب با مسیر تعادل اولیه است، متفاوت از مد تغییر شکل ثانوی است که متناسب با مسیر تعادل ثانوی می باشد.

51. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
ب) مدل آزمایشگاهی:
مدل آزمایشگاهی که در شکل نشان داده شده است، به گونه ای است که در حالت بارگذاری نشده (Unloaded State)، دو میله صلب AB و BCکه در نقطه B به وسیله دو فنر انتقالی به همدیگر اتصال یافته اند، نسبت به افق زاویه صفر می سازند.
دو فنر پیش تنیده انتقالی (Translational Pre-stressed Spring)، نمایشگر الاستیسیته سیستم بوده که سختی یکسانی دارند و لذا مقاومت مساوی برای تغییر مکان جانبی در هر دو راستا را فراهم می آورند.

52. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
پ) اعمال روش انرﮊی برای بررسی پایداری مدل سازه ای (در حالت کنترل بار)
در مدل ریاضی مربوط به مدل فیزیکی سازه ای مورد نظر، تغییر زاویه θ برای تعریف تغییر مکان افقی تکیه گاه غلتکی C ( ) و تغییر مکان قائم مفصل B ( ) کافی است.

53. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
تابعک انرﮊی پتانسیل کلی عبارت است از:

54. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
از جایگذاری و در تابعک انرﮊی پتانسیل کلی، نتیجه زیر حاصل می شود:
برای یافتن معادلات تعادل و مسیرهای تعادل، مشتق اول تابعک انرﮊی پتانسیل کلی را مساوی صفر قرار می دهیم:
با فرض ، معادله تعادل مذکور منجر به سه مسیر تعادل زیر می شود:

55. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
دو مسیر ابتدائی در شکل زیر نمایش داده شده اند. مسیر سوم در مدل حاضر از نقطه نظر فیزیکی امکان ناپذیر است.
برای بررسی پایداری مسیرهای تعادل سیستم سازه ای از مشتق دوم تابعک انرﮊی پتانسیل کلی استفاده می کنیم:

56. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
اگر مشتق دوم مذکور را در روی مسیر اول مورد بررسی قرار دهیم ( )، خواهیم داشت:
حالت پایدار
حالت بحرانی
حالت ناپایدار
و اگر مشتق دوم مذکور را در روی مسیر دوم مورد بررسی قرار دهیم ( )، خواهیم داشت:
اساسا امکان ندارد
حالت بحرانی
حالت ناپایدار

57. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
از بررسی مسیر تعادل اول نتیجه می گیریم که حالت مسیر مذکور در 1=p تغییر می کند، یعنی در حالت 1> p مسیر تعادل پایدار و 1< p مسیر تعادل ناپایدار است.
از بررسی مسیر تعادل دوم باید گفت که با توجه به تغییر شکل های عملی مدل سازه ای داریم: ، از این رو همواره مشتق دوم منفی است و لذا مسیرتعادل مذکور عملا ناپایدار است.
برای بررسی پایدار بودن و پایدار نبودن حالت بحرانی باید مشتقات مرتبه بالاترآن را مورد بررسی قرار دهیم. همان گونه که قبلا گفتیم اگر و باشند، در این صورت علامت مشتق چهارم تابعک انرﮊی پتانسیل کلی عامل تعیین کننده پایداری و یا ناپایداری حالت بحرانی مورد نظر است، به عبارت دیگر اگر داشته باشیم:
در این صورت حالت بحرانی یک حالت ناپایدار است که دلالت بر ناپایداری کلی دارد.

58. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
پس حالت بحرانی، یک حالت ناپایدار است.

59. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
پروفیل های انرﮊی پتانسیل کلی که بر روی مسیر تعادل بار – تغییر مکان افزوده شده است، یک ارتباط مفهومی ارزشمندی را بین تعاریف پایداری مبتنی بر فرم انرﮊی پتانسیل کلی و رفتار فیزیکی واقعی سازه ای به دست می دهد. در نمودار زیرمقادیر نسبی در ترازهای ثابت بار رسم شده اند:
مشاهده می کنیم هنگامی که 1> p می باشد، انرﮊی پتانسیل کلی در روی مسیر اول یک مینیمم و در روی مسیر دوم یک ماکزیمم دارد، در حالی که به هنگام 1<p ، انرﮊی پتانسیل کلی در روی مسیر اول صرفا دارای یک ماکزیمم می باشد.

60. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
بنابراین هنگامی که بار وارده به بار بحرانی می رسد، به ازای یک افزایش بسیار کوچک در میزان بار وارده حالت تعادلی در نزدیکی حالت تعادل بحرانی وجود ندارد، لذا سازه مجبور می شود حالت تعادل پایدار جدیدی را که ممکن است در روی مسیر ثانویه موجود باشد جستجو نماید و لذا پدیده پرش دینامیکی رخ می دهد و جهت پرش دینامیکی بستگی به اختلال اولیه اعمال شده به مدل دارد.
از آن جا که مشخصات بار و پایداری به ازای مقادیر مثبت و منفی یکسان است، از این رو مدل سازه ای صرفا با توجه به جهت اختلال خارجی کوچک، شاخه سمت چپ (Left branch ) یا شاخه سمت راست (Right branch) را دنبال خواهد نمود.
بنابراین دوشاخگی نامتقارن ناپایدار، رفتار یک مدل سازه ای را توصیف می نماید که مسیر تعادل اولیه آن در یک تراز مشخص بار که بار کمانش نامیده می شود یک مسیر ثانوی را قطع می کند که نسبت به تغییر شکل هم متقارن است و هم ناپایدار.

61. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
ت) اثر ناکاملی اولیه
برای مدل سازه ای مورد نظر، یک ناکاملی هندسی را فرض می کنیم، به عبارتی ناکاملی هندسی θ0 را به عنوان یک انحراف از هندسه کامل بارگذاری نشده - به صورتی که در شکل زیر نشان داده شده است - در نظر می گیریم:
برای مدل سازه ای ناکامل، و به صورت زیر بدست می آیند:
و با جایگذاری در تابعک انرﮊی پتانسیل کلی، نتیجه زیر حاصل می شود:

62. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
برای تحلیل سیستم ناکامل، جهت ساده سازی محاسبات، تقریب سازی های زیر را مورد
استفاده قرار می دهیم:
در این صورت، تابعک انرﮊی پتانسیل کلی تقریبی عبارت خواهد بود از:
از معادله تعادل سیستم ناکامل به دست می آید:

63. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
و از معادله تعادل مذکور، صرفا معادله یک مسیر تعادل به صورت زیر به دست می آید:

64. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
اگر نمودار معادله مذکور را به ازاء مقادیر مختلف θ0 رسم نمائیم و نیز نمودار θ0- بار بحرانی ماکزیمم Pm را رسم کنیم، نتایج زیر حاصل می شوند:
چند نکته مهم در مدل ناکامل قابل توجه می باشند:
الف) نحوه تغییر شکل سیستم سازه ای ناکامل، تابع جهت ناکاملی اولیه می باشد و علامت هر دو یکسان می باشد.
ب) در سیستم ناکامل دیگر اثری از نقطه دوشاخگی نیست و تنها با یک مسیر تعادل مواجه هستیم که در واقع در عمل نیز با چنین حالتی روبرو خواهیم شد.

65. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
پ) ناپایداری سیستم ناکامل، شبیه ناپایداری حالت حدی است، به عبارت دیگر یک ناکاملی اولیه، پایداری از نوع دوشاخگی متقارن ناپایدار را به ناپایداری نقطه حدی تبدیل می نماید (به استثنای مبحث مدهای تغییر شکل).
ت) روشن است که به ازای یک ناکاملی خیلی کوچک، کاهش بسیار قابل ملاحظه ای در بار بحرانی حاصل می شود. بنابراین مدل سازه ای مذکور حساسیت قابل توجهی نسبت به ناکاملی های اولیه از خود بروز می دهد، لذا می توان آنها را جزء سازه های (Imperfection Sensitive) رده بندی نمود.

66. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
ث) مدل های سازه ای واقعی
ناپایداری دوشاخگی متقارن ناپایدار در سازه های زیر رخ می دهد:
1- سازه با بارگذاری خروج از مرکز
toggle
(سازه های فضاکار گنبدی)
(سازه های فضاکار استوانه ای)

67. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
2- پوسته کروی جدار نازک تحت اثر بارگذاری فشاری
(Thin spherical shell
under pressure loading)

68. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
3- پوسته کروی جدارنازک تحت فشار هیدروستاتیکی

69. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
4-3- دوشاخگی نامتقارن (Asymmetric Bifurcation)
الف - تعریف کلی:
تاکنون مشخصات مدل های سازه ای را مورد بررسی قرار داده ایم که یک رفتار دوشاخگی متقارن ( اعم از پایدار یا ناپایدار ) را از خود نشان مي دهند.
مفهوم تقارن بدین معنی بود که رفتار سازه بسته به این که با دوران مثبت یا دوران منفی تغییر شکل یابد، تغییری نمی کرد و در هر دو حالت رفتار متقارنی داشت.
تقارن مذکور در واقع ناشی از سه نوع تقارن بود:
تقارن در هندسه
Symmetry of Geometry
تقارن در بارگذاری
Symmetry of Loading
تقارن در تغییرشکل
Symmetry of Deformation
طبیعی است که اگر تقارن در هندسه یا تقارن در بارگذاری نقض شود، در این صورت مدل سازه ای، رفتار دوشاخگی متقارن را از خود نشان نخواهد داد .

70. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
بنابراین در مدل های سازه ای که رفتار دوشاخگی نامتقارن را از خود بروز می دهند، رفتار سازه دقیقا بستگی به نحوه تغییرشکل سازه خواهد داشت و بسته به جهات متفاوت تغییرشکل، رفتار های متفاوتی را از خود نشان خواهد داشت. θ
Secondary Equilibrium Path
مسیر تعادل ثانویه
مسیر تعادل اولیه
Primary Equilibrium Path p C
بنابراین انتظار می رود که به ازای تغییر شکل های مثبت ( ) و ناکاملی اولیه مثبت ( )، مسیر تعادل همواره پایدار باشد. همان گونه که در مدل های سازه ای ناکامل با رفتار دوشاخگی متقارن پایدار، این چنین رفتاری را مشاهده می نماییم.

71. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
همچنین انتظار می رود که به ازای تغییر شکل های منفی ( ) و ناکاملی اولیه منفی ( )، مسیر تعادل از نقطه بحرانی به بعد ناپایدار گردد، به گونه ای که در مدل های سازه ای ناکامل با رفتار دوشاخگی متقارن ناپایدار یا مدل های سازه ای با رفتار ناپایداری حدی، این چنین رفتاری را مشاهده می نماییم و پرش دینامیکی (Dynamic Jump) حتماً در این مدل سازه ای رخ خواهد داد.
ب – مدل سازه ای آزمایشگاهی

72. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
پ – اعمال روش انرژی برای بررسی پایداری مدل سازه ای ( در حالت بارگذاری نیرویی)
در مدل ریاضی مربوط به مدل فیزیکی سازه ای مورد نظر، تغییر زاویه θ برای تعریف تغییر مکان افقی تکیه گاه غلتکی C ( ) و تغییر طول فنر مفصل به B( ) کافی است.
تابعک انرژی پتانسیل کلی عبارت است از:

73. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
برای یافتن معادلات تعادل و مسیرهای تعادل، مشتق اول تابعک انرژی پتانسیل کلی را مساوی صفر قرار می دهیم:
بافرض ، معادله تعادل مذکور منجر به دو مسیر تعادل زیر می شود:
مسیر

74. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
دو مسیر و در شکل زیر نمایش داده شده اند:
برای بررسی پایداری مسیر های تعادل سیستم سازه ای، از مشتق دوم تابعک انرژی پتانسیل کلی استفاده می کنیم:

75. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
اگر مشتق دوم مذکور را در روی مسیر تعادل ( یعنی ) مورد بررسی قرار دهیم، خواهیم داشت:
پايدار
بحرانی
ناپايدار
اگر مشتق دوم مذکور را در روی مسیر ( یعنی ) مورد بررسی قرار دهیم، خواهیم داشت:

76. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
حالت پایدار
حالت بحرانی
حالت ناپایدار

77. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
ت ) اثر ناكاملي اوليه:
برای مدل سازه ای مورد نظر، یک ناکاملی هندسی را فرض می کنیم، به عبارتی ناکاملی هندسی θ0 را به عنوان یک انحراف از هندسه کامل بارگذاری نشده - به صورتی که در شکل روبرو نشان داده شده است - در نظر می گیریم:
براي مدل ناكامل و به صورت زير به دست مي آيند:
از جايگذاري و در تابعك انرژي پتانسيل كلي، نتيجه زير حاصل مي شود:

78. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
براي تحليل سيستم ناكامل، جهت ساده سازي محاسبات، تقريب سازي هاي زير را مورد استفاده قرار مي دهيم :
با جايگذاري روابط مذكور در تابعك و با در نظر گرفتن ، معادله تعادل سيستم ناكامل بدست آمده و از معادله تعادل مذكور، معادله تعادل مسير واحد به صورت زير به دست مي آيد:

79. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
اگر نمودار معادله مذكور را به ازاي مقادير مختلف رسم نماييم نتيجه زير حاصل مي شود:
چند نكته مهم در مدل ناكامل قابل توجه مي باشد:
الف ) نحوه تغييرشكل سيستم سازه اي ناكامل، تابع جهت ناكاملي اوليه مي باشد و علامت هر دو يكسان است.
ب ) در سيستم ناكامل، اثري از نقطه دوشاخگي نيست و تنها با يك مسيرتعادل مواجه هستيم كه در واقع در عمل نيز با چنين حالتي روبرو خواهيم شد.

80. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
پ ) سيستم ناكامل با ناكاملي اوليه مثبت ، داراي مسير تعادل پايدار مي باشد، همان گونه كه در مدل هاي سازه اي ناكامل با رفتار دوشاخگي متقارن پايدار، با چنين وضعي مواجه هستيم.
ت ) سيستم ناكامل با ناكاملي اوليه ، داراي مسير تعادل ( از نقطه بحراني به بعد ) ناپايدار مي باشد، همان طور كه در مدل هاي سازه اي ناكامل با رفتار دوشاخگي متقارن ناپايدار، با چنين وضعي مواجه هستيم. در حالت بارگذاري نيرويي، از نقطه بحراني كه نقطه مربوط به ماكزيمم بار مي باشد، يك پرش ديناميكي رخ خواهد داد. مقدار بار بحراني حساسيت بسيار قابل توجهی به مقدار ناكاملي اوليه دارد. بنابراين سازه هايي كه اين چنين رفتاري را از خود نشان مي دهند، حساس به ناكاملي مي باشند.

81. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
ث ) مدل هاي سازه اي واقعي :
1 - قاب دو عضوي با تكیه گاه هاي ساده

82. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
2 - خرپاي پل

83. استخراج رفتار بار - تغييرمكان سازه Perfect
فلوچارت تشخیص نوع ناپایداری در تحلیل ناپایداری سازه ها
يك سازه N درجه آزادي با الگوي بارگذاري مشخص و هندسه معلوم در دست مي باشد. مراحل تشخيص نوع ناپايداري اين سازه در یک تحلیل ناپایداری به شكل يك فلوچارت در زير آورده شده است:
تحليل غيرخطي هندسي و مصالح با اعمال كنترل تغييرمكان ( مثلاً با استفاده از روش Arc-Length Method )
استخراج رفتار بار - تغييرمكان سازه Perfect
محاسبه دترمينان ماتريس سختي سازه در هر تراز بارگذاري. در يك تراز بار اين دترمينان صفر يا منفي خواهد شد.

84. اعمال تغييرمكان را ادامه مي دهيم.
انجام تحليل Linear Buckling Analysis و استخراج مودهاي كمانش سازه
اگر با افزايش تغييرمكان، افزايش بار داشته باشيم، ناپايداري از نوع دوشاخگي خواهد بود
چنانچه با افزايش تغييرمكان، بار كاهش پيدا كند، ناپايداري نقطه حدي خواهيم داشت.
پايان
اعمال مود كمانش غالب در دو جهت به سازه Perfect و ايجاد سازه Imperfect

85. تحليل غيرخطي هندسي و مصالح سازه Imperfect و استخراج رفتار بار- تغييرمكان سازه در هر دو جهت
چنانچه سازه در دو جهت مختلف رفتار يكساني نداشته باشد، ناپايداري از نوع دوشاخگي نامتقارن مي باشد.
چنانچه همواره با افزایش تغییرمکان، افزایش بار داشته باشیم، ناپايداري از نوع دوشاخگي متقارن پايدار است.
پايان
چنانچه سازه در دو جهت مختلف رفتار يكساني داشته باشد، ناپايداري از نوع دوشاخگي متقارن مي باشد.
چنانچه در نقطه ای از مسیر تعادل با افزایش تغییرمکان، کاهش بار داشته باشیم، ناپايداري از نوع دوشاخگي متقارن ناپايدار است.

86. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
4 - بررسي ناپايداري سيستم هاي با چند درجه آزادي (به صورت تحلیلی)
Multi - Degree of Freedom System
الف) مقدمه :
سيستم هاي با چند درجه آزادي، سيستم هايي هستند كه حالت تعادل آنها با چند متغير حالت مشخص مي شود.
بررسی پایداری سیستم های چند درجه آزادي، نسبتا پیچیده می باشد ولی بررسی مذکور، نکات بسیار جالبی را در مورد پایداری سیستم های چند درجه آزادی، بار های بحرانی و مد های کمانش به دست می دهد.
در بررسي پايداري سيستم هاي با چند درجه آزادي از قضيه مشهور لاگرانژ - ديريكلت
استفاده خواهيم نمود .
(Lagrange - Dirichlet Theorem)
ب) معيار پايداري سيستم هاي باچند درجه آزادي ( با استفاده از قضيه
Lagrange-Dirichlet (
يك سيستم با درجه آزادي را در نظر مي گيريم.
n متغير مستقل كه مختصات تعميم يافته ناميده مي شوند، حالت تعادل سيستم را در هر لحظه از زمان مشخص خواهند نمود.

87. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
تابعک انرژی پتانسیل کلی یک سیستم الاستیک در واقع تابعی ازمختصات تعمیم یافته است. اگر تابعک مذکور را با استفاده از سری بسط تیلور حول حالت تعادل بسط دهیم، خواهیم داشت:
مشتق اول تابعک انرژی پتانسیل کلی نسبت به متغیرهای حالت مساوی صفر می باشد:

88. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
بنابراین تغییر در انرژی پتانسیل کلی عبارت است از:
اگر تغییردر انرژی پتانسیل کلی را محدود به فرم درجه دوم کنیم و از درجات بالاترصرفنظر کنیم در نهایت نتیجه زیر حاصل می شود :
شرط پایداری سیستم چند درجه آزادی عبارت است از:
شرط افزایش انرژی پتانسیل برای ایجاد یک اختلال کوچک

89. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
مقادیر ( و )را می توان به عنوان درایه های یک ماتریس در نظرگرفت که آن را با نشان می دهیم. در این صورت خواهیم داشت:
که در آن داریم:
مشخص است كه هنگامي مثبت است كه يك ماتريس معين مثبت باشد و هنگامي معين مثبت است كه دترمينان ماتريس و دترمينان هاي كليه ماينورهاي اصلي (Principle Minors) مثبت باشند.

90. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
ماتريس براي يك سيستم با دو درجه آزادي عبارت است از:
و براي يك سيستم با سه درجه آزادي داريم:

91. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
بنابراين، به عنوان مثال، معيار پايداري يك سيستم با دو درجه آزادي عبارت است از:
پ - مثال يك سيستم با دو درجه آزادي:
سیستم مذکور دارای دو درجه آزادی مستقل است. θ1 و θ2 را به عنوان متغیر های حالت یا مختصات تعمیم یافته سیستم در نظر می گیریم.

92. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
زاویه دوران میله میانی را با Φ نشان می دهیم که بر حسب دو متغیر θ1 و θ2 به صورت زیر بیان می شود:
با فرض خواهيم داشت :
كه در آن داريم:

93. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
معادلات تعادل سيستم را از و به صورت زير بدست مي آوريم:
شرط پايداري سيستم عبارت است از:
(a)
(b)
(c)

94. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
سه شرط و و به ازاي ارضا مي شوند. دترمينان در و
مساوي صفر است كه در واقع مقادير بحراني را بدست مي دهد. به عبارت ديگر داريم:
(a)
(b)
(c)
اگر معادلات تعادل را به صورت زير بنويسيم :
كه در واقع يك ويژه مسئله (EigenProblem) است كه ويژه مقادير (EigenValues) آن و و ويژه بردارهاي (EigenVectors) آن عبارت است از:

95. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
و و بارهاي بحراني و و در واقع همان مدهاي كمانش مي باشند. این شکل های مود را در زیر نشان می دهیم.
مسير تعادل كه به ازاي پايدار و حالت بحراني تعادل و ناپايدار مي باشد.
مسير تعادل كه همواره پايدار بوده و نقطه نقطه دوشاخگي متقارن پايدار مي باشد.
مي توان نشان داد كه مسير تعادل p2 داراي معادله زير است :
لازم به ذكر است كه اين مسير تعادل بيانگر مد تغييرمكان متقارن بوده و در واقع مد كمانش در اين مسير متقارن مي باشد.

96. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
مي توان نشان داد كه مسير تعادل داراي معادله زير است:
اين مسيرتعادل، بيانگر يك مد تغييرشكل پادمتقارن (Antisymmetric) بوده و در واقع مد كمانش در اين مسير پادمتقارن مي باشد و نقطه يك نقطه دوشاخگي متقارن بوده كه در آن سختي پس بحراني (Post-Critical Stiffness) افزايش مي يابد.

97. فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری
توضیحی در مورد آنالیز خطی کمانش (Linear Buckling Analysis) یا تحلیل ویژه مقدار کمانش (Eigenvalue Buckling Analysis)
دینامیک سازه ها
پایداری سازه ها
تحلیل ویژه مقدار کمانش
تحلیل ویژه مقدار فرکانس
(Eigenvalue Frequency Analysis)
ویژه مقادیر: بارهای بحرانی کمانش ویژه بردارها: مود های کمانش
ویژه مقادیر: فرکانس های ارتعاش
ویژه بردارها: مود های ارتعاش