1. Seminar in Computer Science 236802
A quadratic kernel for
feedback vertex set
By Stephan Thomasse
Seminar in Computer Science
236802
מציג: אנטון סולוביוב

2. תוכן ההרצאה הצגת בעיה Feedback Vertex Set (FVS) מציאת גרעין של FVS
כללי הרדוקציה
הפעלת כללי הרדוקציה ותקפות

3. Feedback Vertex Set (FVS)
נתון גרף
feedback vertex set – קבוצת הצמתים כך שהורדתן תשאיר את הגרף חסר מעגלים (יער).
ניסוח שקול: קבוצת הצמתים כך שכל מעגל ב- מכיל לפחות צומת אחד ממנה.
בעיית הכרעה – בהינתן גרף ומספר חיובי שלם , האם קיימת ב- קבוצת feedback vertex set בגודל .

4. Feedback Vertex Set (FVS)
נתון גרף
feedback vertex set – קבוצת הצמתים כך שהורדתן תשאיר את הגרף חסר מעגלים (יער).
ניסוח שקול: קבוצת הצמתים כך שכל מעגל ב- מכיל לפחות צומת אחד ממנה.
בעיית הכרעה – בהינתן גרף ומספר חיובי שלם , האם קיימת ב- קבוצת feedback vertex set בגודל .

5. Feedback Vertex Set (FVS)
בעיית הכרעה היא בעיה NP-קשה. הרדוקציה הופיעה לראשונה במאמרו של ריצ'רד קארפ “Reducibility Among Combinatorial Problems” (1972).
תאור הרדוקציה: בהינתן גרף לא מכוון נחליף כל קשת בשתי קשתות אנטי מקבילות. נקבל גרף מכוון
תקפות:
כיוון 1:
אם אזי קיים כיסוי בגודל
=> ב אין קשתות בכלל ולכן אין מעגלים
=>

6. Feedback Vertex Set (FVS)
בעיית הכרעה היא בעיה NP-קשה. הרדוקציה הופיעה לראשונה במאמרו של ריצ'רד קארפ “Reducibility Among Combinatorial Problems” (1972).
תאור הרדוקציה: בהינתן גרף לא מכוון נחליף כל קשת בשתי קשתות אנטי מקבילות. נקבל גרף מכוון
תקפות:
כיוון 2:
אם אזי קיימת קבוצה בגודל כך ש חסר מעגלים
=> בפרט מכילה לפחות צומת אחד מכל מעגל בגודל 2
=> לכל קשת בגרף המקורי קיים מעגל בגודל 2 בגרף שמכיל
את הצמתים ולכן מכסה את כל הקשתות של
=> 6

7. מציאת גרעין של FVS
הגדרה: בעיה פרמטרית היא fixed parameter tractable אם ניתן להכריע אותה בזמן
כאשר n הוא גודל הקלט ו- היא פונקציה שרירותית שתלויה רק ב- .
הגדרה: בהינתן קלט לבעיה פרמטרית כאשר הוא פרמטר, צמצום הקלט לגרעין של הבעיה (קרנליזציה) הוא החלפה של בקלט המצומצם כך ש-
לאיזושהי פונקציה שתלויה רק ב- וגם
אמ"מ בנוסף הקרנליזציה צריכה להתבצע בזמן פולי' באורך הקלט.
משפט: בעיה פרמטרית שניתנת להכרעה היא FPT ביחס לפרמטר אמ"מ קיים צמצום לגרעין של הבעיה עבור ביחס ל- .

8. מציאת גרעין של FVS
בשנת 1992 גילו ש-FVS היא בעיה fixed parameter tractable.
בשנת 2006 לראשונה מצאו גרעין פולינומי (Burrage et al.)
בשנת 2007 מצאו גרעין בגודל (Bodlaender)
נציג אלגוריתם של Stephan Thomasse אשר מחשב גרעין בגודל לכל היותר.
כלומר בהינתן גרף לא מכוון ומספר שלם , האלגוריתם בונה (בזמן פולינומי ביחס לקלט) גרף המכיל לכל היותר צמתים ומספר כך ש-

9. מציאת גרעין של FVS
הגדרה: x-flower מסדר k זאת קבוצה של k מעגלים זרים בצמתים כך שיש להם רק צומת אחד משותף וזה צומת x.
לדוגמא: x-flower מסדר 3 x

10. כללי הרדוקציה
הערה: הגרף לא מכוון, לא בהכרח קשיר, יכול להכיל קשתות מקביליות (עד 2) ולולאות עצמיות.
כלל 0: אם יודעים בוודאות ש-fvs המינימאלית גדולה מ-k, אז נחזיר מופע
טריוויאלי
כלל 1: אם לצומת x יש לולאה עצמית, נבצע
כלל 2: אם דרגה של צומת x שווה ל-0 או 1, נבצע
כלל 3: אם דרגה של צומת x היא 2 וקיימים לו שני שכנים y,z (יתכן ש- y=z),
נבצע
כלל 4: אם קיים x-flower מסדר k+1, נבצע

11. כללי הרדוקציה סימון: - קשתות בין הצמתים v,w
כלל 5:
אם קיימת קבוצת צמתים X, צומת וקבוצה של רכיבי הקשירות של הגרף
(לא בהכרח כל רכיבי הקשירות) כך שמתקיים:
לכל רכיב קשירות
כל רכיב קשירות משרה עץ
לכל תת קבוצה מספר רכיבי הקשירות ב- שיש להם שכן ב-Z
הוא לפחות
אז נבנה גרף ע"י מחיקת קשתות בין v לבין רכיבי הקשירות של והוספת שתי
קשתות מקבילות המחברות את צומת v עם כל הצמתים ב-X.
במילים אחרות נבצע: לכל לכל
וגם

12. הפעלת כללי הרדוקציה ותקפות
תקפות של כלל 5
נראה שגודל ה-fvs המינימאלי ב שווה לגודל ה-fvs המינימאלי ב-
כיוון 1:
נניח ש-S’ הינו fvs של G’
=> אם בגרף יש מעגל M, אזי צומת v שייך ל-M (אחרת גם ב-
היה מעגל M בסתירה להגדרה של fvs, כי שינינו רק את הקשתות הנוגעות ב-x)
=> ולכן כי כל צומת ב-X יוצר מעגל עם v (מהגדרת הרדוקציה)
=> קשת בין v לכל רכיב קשירות C היא גשר ולכן לא שייכת למעגל M
=> כל קשת במעגל M שייכת ל בסתירה להגדרה של fvs

13. הפעלת כללי הרדוקציה ותקפות
תקפות של כלל 5
כיוון 2:
נניח ש-S הינו fvs של G
=> אם , אזי S גם מהווה fvs עבור G’ כי הגרפים הנ"ל שונים רק
בקשתות הנוגעות ב-v
=> נניח כי נסמן
אזי מהווה fvs של G’ מכיוון שכל רכיב קשירות
שייך ל-
=> נותר להראות שגודלו של S’ הוא לכל היותר גודל של S
=> לכל יש לכל היותר שכן אחד ברכיב הקשירות C כך ש וגם
כי אחרת y, שני רכיבי הקשירות ו- v ייצרו מעגל
=> סה"כ מספר רכיבי הקשירות ב עם שכן ב-Y הוא
(מהגדרה של X), מכאן ולכן

14. הפעלת כללי הרדוקציה ותקפות
נשים לב כי כל הפעלה של כלל כלשהו מקטינה ממש את המספר n+s כאשר n זה מספר הצמתים בגרף ו-s זה מספר הקשתות הפשוטות (בלי קשתות מקביליות). לכן מספר הכללים שאפשר להפעיל על הגרף G הינו ליניארי בגודל של G.
משפט: אם G הינו גרף בעל n צמתים כך ש , אז אפשר למצוא כלל רדוקציה (שאפשר להפעיל אותו על הגרף) בזמן פולינומי ב-n.
הערה: ניתן לשפר את התוצאה הזאת ולקבל חסם

15. סיכום
ראינו אלגוריתם אשר מחשב גרעין בגודל לכל היותר עבור הבעיה FVS של גרפים לא מכוונים.
אתגר הבא יהיה למצוא אלגוריתם שמחשב גרעין בגודל ליניארי. (עבור גרפים מישוריים כן קיים צמצום לגרעין ליניארי)
כמו כן השאלה האם קיים צמצום לגרעין פולינומי עבור גרפים מכוונים עדיין פתוחה (ידוע שבעיה FVS המכוונת היא ב-FPT).

16. תודה!