1. ניהול הייצור למערכות מידע – תורת התורים
ניהול הייצור למערכות מידע – תורת התורים
מתרגלת: ליהי נעמני
סמסטר אביב 2007

2. תורת התורים תזמון מטלות לעיבוד על מכונה היא בעיה דינמית.
אנו משתמשים במונח דינמי כדי להמחיש שהמטלות מגיעות באופן אקראי לאורך זמן ויש לקבל החלטות, בזמן אמת, באשר לתזמון מטלות אלה.

3. סימונים

4. M/M/1 קצב ההגעה מתפלג פואסוני עם פרמטר λ
זמני העיבוד מתפלגים מעריכית עם ממוצע של 1/μ. כלומר שקצב העיבוד הממוצע הוא μ
מכונה אחת
המטלות מבוצעות על בסיס של ראשון מגיע ראשון מבוצע: FCFS

5. P{W>t} = e-(μ-λ)t עבור כל t>0
זמן הזרימה
זמן הזרימה של מטלה מתחיל ברגע שהמטלה מצטרפת לתור ונמשך עד שביצוע המטלה הושלם.
זמן הזרימה הוא משתנה אקראי. הוא תלוי במימוש זמני העיבוד של מטלות קודמות גם כן.
המונח של תורת התורים עבור זמן זרימה הוא זמן ההמתנה במערכת ומסומן באות W.
התפלגות זמן הזרימה עבור תור מסוג M/M/1/FCFS היא מעריכית עם פרמטר μ-λ. כלומר,
P{W>t} = e-(μ-λ)t עבור כל t>0
אם חיכית s זמן בתור, עדיין נשאר לך t זמן, בדיוק כמו לקוח שהגיע עכשו

6. זמן הזרימה הממוצע הוא:
שונות זמן הזרימה היא:

7. התפלגות מספר המטלות/לקוחות במערכת
התפלגות מספר המטלות במערכת (מספר המטלות המחכות לביצוע ועוד מספר המטלות המבוצעות) במצב יציב:
ρ = λ/cμ.
זהו גם שיעור הניצול של המערכת.
ההסתברות ל L מטלות במערכת במצב יציב: (P{L = i} = ρi(1 – ρ
ההסתברות ל – 0 מטלות: P0 = 1-ρ

8. ערכים ממוצעים מספר המטלות הצפוי במערכת הוא: L= ρ/(1- ρ)
מספר המטלות הצפוי בתור הוא:
Lq= ρ2/(1- ρ)
קיים פתרון רק עבור ρ < 1. כלומר קצב הגעת המטלות למערכת חייב להיות נמוך מן הקצב בו הן מבוצעות על מנת להבטיח שהמערכת לא תגדל בלי שליטה.

9. חוק ליטל (Little) זמן שהייה במערכת: W = Wq + 1/μ מספר הלקוחות במערכת:
זמן שהייה במערכת: 
W = Wq + 1/μ
מספר הלקוחות במערכת:
L = λ*W
עבור M/M/1
W = ρ / (λ(1- ρ))
Wq = ρ2 / (λ(1- ρ))

10. דוגמא
בתחנת דלק קטנה ישנה משאבה אחת בלבד. מכוניות מגיעות לתדלוק בקצב של 20 מכוניות בשעה. הזמן בין מופעי המכוניות מתפלג מעריכית. זמן התדלוק של מכונית בודדת מתפלג אף הוא מעריכית עם ממוצע של 2 דקות. נדרש לחשב:
א. משך הזמן בו מכונית נמצאת בתחנת הדלק
ב. מספר המכוניות הממוצע הנמצא בתחנת הדלק
ג. מספר המכוניות הממוצע הממתין בתור
ד. ההסתברות ליותר מארבע מכוניות בתחנת דלק.

11. M/M/C ריבוי שרתים במקביל
עתה קצב ההגעה וקצב השירות תלוי במצב המערכת
L= c ρ + Lq
W = Wq + 1/μ
(ρ=λ/(c*μ

13. דוגמא למוסך רישוי לרכב מגיעות מכוניות במופע פואסוני של 30 מכוניות לשעה
הבדיקה לכל רכב נעשית על ידי צוות בוחנים יחיד המורכב מ-n בוחנים
זמן הבדיקה הממוצע מפולג מעריכית עם ממוצע של 1/nμ , כאשר μ= 10 מכוניות בשעה.
מהו גודל הצוות המינימלי הדרוש כדי שההסתברות שלקוח ימתין במוסך(כולל זמן הבדיקה) יותר מעשר דקות לא תעלה על 0.05?
הוצע לשנות את נהלי העבודה במוסך כך שכל בוחן יבדוק רכב לבדו, המכוניות שיגיעו למכון הרישוי יעמדו בתור אחד וכאשר יתפנה מסלול הבדיקה, תופנה אליו המכונית הראשונה בתור, משך השירות בכל מסלול מפולג מעריכית עם 10 מכוניות לשעה. ישנם 4 בוחנים. האם השינוי יקצר את זמן השהייה?
נהגים שנמצאים עם מכוניותיהן מפסידים זמן עבודה, ההפסד הנובע מכך מוערך ב-24 ש"ח לכל שעה מבוזבזת של נהג, אם רוצים להוסיף מסלול בדיקה נוסף שעלותו היא 21 ש"ח לשעה כולל משכורת לבוחן. נניח שההצעה של סעיף ב התקבלה האם כדאי להוסיף עוד בוחן במסלול נוסף מעבר לבוחנים בסעיף ב?

14. תור בעל קיבולת מוגבלת M/M/1/N (תור סופי קטום)
להבדיל מהתורים האחרים, כאן אין הכרח כי ρ < 1
למה?

16. דוגמא
אמן בטיילת מצייר פורטרטים בחמש דקות. משך הזמן הנדרש לכל ציור הוא בעל התפלגות מעריכית. הלקוחות מוכנים להמתין לתורם, אבל כאשר התור מגיע ל-10 אנשים מתבקשים מגיעים נוספים לחזור מאוחר יותר. ניתן לצפות להגעה של 20 אנשים בשעה באופן אקראי לחלוטין.
מהו שיעור הזמן שבו התור מצוי במצב מלא (10 ממתינים)?
כמה לקוחות יתבקשו לחזור מאוחר יותר?
מהו זמן ההמתנה הממוצע בתור?
אם מגדילים את התור ל-20 ממתינים, כיצד משתנות תשובות 1 ו-2?

17. Johnson’s Rule
Used to sequence N jobs through 2 machines in the same order
© 1995 Corel Corp.
Saw
Drill
Job A
Job B
Job C
Jobs (N = 3)

18. Johnson's Rule - Scheduling N Jobs on Two Machines
All jobs are to be listed, and the time each requires on a machine shown.
Select the job with the shortest activity time. If the shortest time lies with the first machine, the job is scheduled first; if with the second machine, the job is scheduled last.
Once a job is scheduled, eliminate it.
Apply steps 2-3 to the remaining jobs, working toward the center of the sequence.

19. Johnson’s Rule Steps 2 1 List jobs & activity times Select job with
shortest time
Machine?
Schedule
FIRST
LAST
Eliminate job
from list
Jobs left?
Break
arbitrarily
Ties?
Yes 1 2
Stop No

20. Johnson’s Rule - Example
Job
Work Center 1
(Drill Press)
Work Center 2
(Lathe) A 5 2 B 3 6 C 8 4 D 10 7 E 12

21. Johnson’s Rule - Example
Step 1 A
Step 2 B A
Step 3 B C A
Step 4 B D C A
Step 5 B E D C A

22. Graphical Depiction of Job Flow
Work center 1
Work center 2
Time => B E D C A B E D C A
= Idle
= Job completed

23. Limitations of Rule-Based Dispatching Systems
Scheduling is dynamic; therefore, rules need to be revised to adjust to changes in process, equipment, product mix, etc.
Rules do not look upstream or downstream; idle resources and bottleneck resources in other departments may not be recognized
Rules do not look beyond due dates ?

24. minCi >=maxBi OR minAi>=maxBi
הרחבה עבור 3 מכונות
בעיה של תזמון פריטים על 3 מכונות מורכבת הרבה יותר.
ניתן לצמצם את הבעיה לבעיית שתי מכונות אם מתקיים התנאי:
minCi >=maxBi OR minAi>=maxBi
במידה והתנאי מתקיים, נגדיר:
B'i=Bi+Ci
A'i=Bi+Ai
עתה נפתור את הבעיה בעזרת החוק שתואר קודם, כאשר B'i A'i הם זמני העיבוד