1. 3. Monte Carlo simulacije
Poslovne simulacije
3. Monte Carlo simulacije
M. Zekić-Sušac, EFO

2. Što ćete naučiti u ovom poglavlju
Kako se izgrađuju modeli slučajnih varijabli
Što je Monte Carlo simulacija
Kako se izgrađuje model Monte Carlo simulacije
Kako se analizira model Monte Carlo simulacije
Primjere Monte Carlo simulacija
M. Zekić-Sušac, EFO

3. Upotreba slučajnih varijabli i simulacija
U prethodnim poglavljima, ulaznim varijablama u simulacijskim modelima dodijeljene su neke unaprijed utvrđene vrijednosti.
U stvarnim pojavama, često su varijacije vrijednosti ulaznih varijabli nepredvidive. Takve su varijable slučajne, tj. varijable čije se vrijednosti ne mogu predvidjeti sa sigurnošću.
Kod tabličnih kalkulatora postoje generatori slučajnih brojeva, npr. funkcija RAND() će kao rezultat dati jednoliko raspodijeljeni slučajni broj između 0 i 1.
M. Zekić-Sušac, EFO

4. Slučajne varijable u alatu Risk Solver
Upotrebu slučajnih varijabli u alatu Excel omogućuje dodatak (Add-in) pod nazivom Risk Solver Platform (ovaj dodatak ne dolazi s instalacijom Excel-a, nego ga je potrebno posebno instalirati sa stranice proizvođača i alat nije besplatan, ali je omogućeno javno korištenje u evaluacijskom razdoblju od 15 dana).
Risk Solver Platform raspoloživ je na adresi: (za download free trial potrebna registracija)
S pomoću Risk Solvera moguće je napraviti:
optimizacijske modele koji su uključeni i u osnovni alat Solver,
ali i dodatne simulacije rizika koje uključuju slučajne varijable (Monte Carlo simulacije).
Izgled trake Risk Solver Platform alata u Excelu.
M. Zekić-Sušac, EFO

5. Sučelje Risk Solver Platform alata
M. Zekić-Sušac, EFO

6. Jednolika slučajna razdioba
Ukoliko procjenjujemo da neka varijabla može poprimiti ograničeni broj vrijednosti (npr. 1,2, ili 3), te da je vjerojatnost pojavljivanja svake moguće vrijednosti jednaka, tada se koristi jednolika ili uniformna razdioba (distribucija) za dodjeljivanje vrijednosti toj slučajnoj varijabli
Primjer upotrebe jednolike (uniformne) slučajne varijable u alatu Risk Solver za Excel:
Ako imamo 3 scenarija (označena brojevima 1,2,3), i pretpostavljamo da je jednaka vjerojatnost da će se dogoditi scenario 1,2, ili 3, tada bi funkciju koja dodjeljuje vrijednosti varijabli scenario, napisali ovako:
=PsiIntUniform(1;3)
Tipkom F9 ponovno se dobije drugi slučajni broj iz intervala od 1 do 3.
Histogram vrijednosti za ovu funkciju dobiven u alatu Risk Solver Platform
M. Zekić-Sušac, EFO

7. Kontinuirana slučajna razdioba
Kod kontinuiranih vrijednosti varijabli (realnih brojeva), potrebno je koristiti neku od razdioba za takve vrijednosti.
Kod stvarnih pojava najčešća je normalna razdioba (Gauss-ova) kod koje je najveći broj vrijednosti oko aritmetičke sredine.
Primjer: izgled normalne razdiobe ako npr. pretpostavimo da će se cijena dionice neke tvrtke kretati na taj način, s tim da je srednja vrijendost cijene = 25kn, a standardna devijacija (prosječno odstupanje od srednje vrijednosti) = 5 kn.
- Kreirano u alatu Risk Solver Platform
M. Zekić-Sušac, EFO

8. Kontinuirana slučajna razdioba - nastavak
Ako bismo npr. željeli generirati cijene dionica kroz 17 dana prema toj razdiobi, rezultat u Risk Solver alatu bi bio ovakav:
Graf kretanja cijene dionice koja se kreće po slučajnoj normalnoj razdiobi oko srednje vrijednosti 25, stdev=5
M. Zekić-Sušac, EFO

9. Kontinuirana slučajna razdioba - nastavak
Ako bismo, umjesto normalne, izabrali trokutastu razdiobu cijena dionica (naredba Risk Solver Platform / Distribution / Common / Triangular, graf razdiobe bi izgledao ovako:
Kao minimalna vrijednost izabrana je 19, najčešća 25, a maksimalna 30.
M. Zekić-Sušac, EFO

10. Kontinuirana slučajna razdioba - nastavak
Generiranje cijena dionica kroz 17 dana prema toj razdiobi, dalo bi ovakav rezultat u Risk Solver alatu (sličan kao kod normalne razdiobe, ali drugačiji):
Upisana formula:
=PsiTriangular(19,25,30)
M. Zekić-Sušac, EFO

11. Monte Carlo simulacije
= Vrste simulacija koje se temelje na slučajnim vrijednostima varijabli
Povijest razvoja (prema
metoda izvorno osmišljena u Los Alamos državnom laboratoriju SAD-a, nakon 2.svj. rata za potrebe vojnih simulacija.
1946. Stanislav Ulam predložio korištenje slučajnog uzorkovanja za simuliranje putanja neutrona,
1947. John von Neumann razvio detaljan prijedlog za takvu simulaciju
Ulam i Metropolis – objavljuju radove koji populariziraju upotrebu ove metode
1950- tih – naglo rastu istraživanja takve vrste simulacija
Zbog upotrebe slučajnih brojeva, metoda je nazvana Monte Carlo po gradu u državici Monako, slavnom po svojim kockarnicama
M. Zekić-Sušac, EFO

12. Kada koristiti Monte Carlo simulacije?
Kada je potrebno donijeti procjenu – prognozu ili odluku u situaciji gdje postoji značajna neizvjesnost o kretanju vrijednosti nekih varijabli
Ukoliko postoji neizvjesnost, nije dobro uzeti prosječnu vrijednost varijable, nego neku slučajnu razdiobu
Dr. Sam Savage, autoritet u području simulacija: "Many people, when faced with an uncertainty ... succumb to the temptation of replacing the uncertain number in question with a single average value. I call this the flaw of averages, and it is a fallacy as fundamental as the belief that the earth is flat.„ (FrontLine Systems, 2013)
M. Zekić-Sušac, EFO

13. Primjer 1 - Simulacija prognoze poslovanja
U okviru alata Risk Solver kao jednostavan primjer Monte Carlo simulacije naveden je “Business Forecast.xls”).
U njemu se slučajno izmjenjuju tri scenarija na tržištu, a profit se dobiva kao srednja vrijednost slučajno dobivenih profita u mnogo iteracija simulacije
Kao očekivana vrijednost profita uzima se prosjek slučajno dobivenih vrijednosti
M. Zekić-Sušac, EFO

14. Primjer 1 – nastavak (rezultati Monte Carlo simulacije
Histogram rezultata simulacije pokazuje koja je vjerojatnost dobivanja određenih vrijednosti profita (za svaku vrijednost profita može se dobiti gornja i donja granica sa pripadajućom sigurnošću)
Ova se simulacija može koristiti i za procjenu i planiranje rizika
M. Zekić-Sušac, EFO

15. Primjer 1 - primjena
Ovaj se primjer simulacije može koristiti za procjenu očekivanog profita u nekom razdoblju poslovanja, kada su obujam prodaje, cijena i troškovi neizvjesni
Osim u tu svrhu, model se može koristiti za what-if analizu rezultata pod različitim uvjetima na tržištu (promjenom vrijednosti cijena, količina, ili drugih ulaznih varijabli i praćenjem što se događa s profitom npr. ako se cijena smanji ili poveća)
M. Zekić-Sušac, EFO

16. Primjer 2 – Simulacija broja potrebnih djelatnika
Workforce plan model – model izračuna broja potrebnih djelatnika (odnosno šaltera) poštanskog ureda (raspoloživ u alatu Risk Solver Platform)
Cilj: odrediti potreban broj djelatnika (šaltera) u poštanskom uredu u kojem je broj stranaka određen po slučajnoj razdiobi
Ulazne varijable:
Broj klijenata koje jedan djelatnik može uslužiti dnevno (npr. 30)
Broj klijenata koji ulaze u poštanski ured (određen po nekoj slučajnoj razdiobi, npr. trokutastoj: minimalno 5, najčešće 50, maksimalno 100)
M. Zekić-Sušac, EFO

17. Primjer 2 - nastavak Podaci za simulaciju izgledaju ovako u Excelu:
H18
=PsiTriangular(5;30;100)
H19
=CEILING(H19/H18;1)
H21
=PsiMean(H21)
Ovo je rezultat simulacije – dakle u prosjeku je potrebno 2 djelatnika
H22
Ovdje se izračunava koliki % potražnje je zadovoljen ako se zaposli određeni broj djelatnika. Vidljivo je da je 4 djelatnika dovoljno da se 100% potražnje zadovolji, tj. da nitko od klijenata ne čeka.

18. Primjer 2 - nastavak
Nakon unosa ulaznih vrijednosti, simulacija se pokreće u 1000 iteracija (koje simuliraju 1000 dana) i dobivaju se rezultati grafički i brojčano
Rezultati – histogram broja djelatnika s pripadajućim frekvencijama pojavljivanja u simulaciji
Broj iteracija
Iz grafikona se vidi da je u 500 iteracija simulacije dobiveno da je 2 djelatnika dovoljno, dok je u 260 iteracija bio dovoljan 1 djelatnik, u oko 220 iteracija je bilo dovoljno 3 djelatnika, a u samo malom broj iteracija je potrebno 4 djelatnika.
M. Zekić-Sušac, EFO
Broj potrebnih djelatnika

19. Primjer 2 - Nastavak
Ako se pogleda histogram dolazaka klijenata u poštanski ured, vidljivo je da on slijedi trokutastu razdiobu koja je zadana na početku (broj klijenata koji dolazi je bio ulazna varijabla)
Vjerojatnost pojavljivanja (0-1)
M. Zekić-Sušac, EFO
Broj klijenata koji ulaze

20. Primjer 2 - primjena
Ovaj se primjer simulacije može koristiti za procjenu broja potrebnih djelatnika, šaltera, blagajni u prodavaonicama ili ugostiteljskim objektima i sl.
Osim u tu svrhu, model se može koristiti za what-if analizu rezultata pod različitim uvjetima (promjenom učestalosti dolazaka klijenata, promjenom broja kupaca kojeg jedan djelatnik može uslužiti) i praćenjem što se događa s rezultatom (brojem potrebnih djelatnika)
M. Zekić-Sušac, EFO

21. Zaključak
Monte Carlo simulacije uključuju slučajne varijable, tj. rizik i neizvjesnost u pojavljivanju ulaznih vrijednosti, te su stoga pogodne za simuliranje realnih problema
Modele za Monte Carlo simulacije moguće je izgraditi korištenjem nekih slučajnih razdioba (jednolike, normalne, trokutaste ili dr.)
Rezultati Monte Carlo simulacija mogu se koristiti i dobivanje očekivanih vrijednosti i za what-if analize
M. Zekić-Sušac, EFO

22. Literatura
Čerić, V., i dr., Informacijska tehnologija u poslovanju, Element, Zagreb, 2004.
Čerić, V., Varga, M., Birolla, H., Poslovno računalstvo, Znak, Zagreb, 1998.
FrontLine Systems, Monte Carlo Simulation Tutorial,
Wikipedia, Monte Carlo simulacija,
M. Zekić-Sušac, EFO