1. Skrutkové plochy

2. Skrutkové plochy Obsah: S1 Základné pojmy
S2 Skrutkovica zobrazená v Mongeovej projekcii a v axonometrii
S3 Priamkové skrutkové plochy
S3.1 Uzavretá šikmá priamková skrutková plocha
S3.2 Uzavretá kolmá priamková skrutková plocha
S3.3 Otvorená šikmá priamková skrutková plocha
S3.4 Otvorená kolmá priamková skrutková plocha
S3.5 Priamková skrutková plocha dotyčníc skrutkovice
S4 Cyklické skrutkové plochy
S4.1 Vinutý stĺpik
S4.2 Osová cyklická skrutková plocha
S4.3 Archimedova serpentína
S4.4 Rezy cyklických skrutkových plôch
S5 Skrutkovica na rotačnej ploche
S6 Súhrnné cvičenia
S7 Aplikácie v architektúre a dizajne inšpirované skrutkovým pohybom

3. Skrutkový pohyb, skrutkovica, výška závitu, parameter
Kapitola S1
Základné pojmy
Skrutkový pohyb, skrutkovica, výška závitu, parameter
Skrutkové plochy

4. Skrutkový pohyb je pohyb zložený z dvoch rovnomerných pohybov:
Nech je daná priamka o, ktorú nazývame os skrutkového pohybu (skrátene os o).
Skrutkový pohyb je pohyb zložený z dvoch rovnomerných pohybov:
rotačného pohybu okolo osi o a posúvania v smere osi o.
Poznámka: Obidva pohyby sa vykonávajú súčasne.
To znamená, nie najskôr rotačný pohyb a následne posúvanie, alebo
posúvanie a potom rotačný pohyb. Rovnomerný pohyb znamená,
že rýchlosť pohybu je konštantná, teda sa nemení. o
Ak skrutkový pohyb vykonáva bod, ktorý neleží na osi o,
tak sa pohybuje po krivke s, ktorú nazývame skrutkovica.
Poznámka: Bod vykonávajúci skrutkový pohyb budeme nazývať
skrutkovaný bod. Skrutkovica je krivka, po ktorej sa pohybuje
skrutkovaný bod. s
Vzdialenosť skrutkovaného bodu A od osi o (A ∉ o) je
konštantná, nazývame ju polomer skrutkovice a označujeme r.
Skrutkovica leží na rotačnej valcovej ploche, ktorej os je totožná s osou skrutkového pohybu o a polomer r určujúcej kružnice k je zhodný s polomerom skrutkovice.
Poznámka: Skrutkovica je priestorová krivka. To znamená, že neleží
v jednej rovine.
Poznámka: Používaný názov pre skrutkovicu ležiacu na ploche je
skrutkovica navinutá na ploche.
Poznámka: Skrutkovicu ležiacu na rotačnej valcovej ploche nazývame
cylindrická skrutkovica. V kapitole S5 sa zaoberáme skrutkovicami
navinutými na všeobecnej rotačnej ploche, na rotačnej kužeľovej ploche
(kónická skrutkovica) a na guľovej ploche (sférická skrutkovica). r k A
Mészárosová, Rückschlossová

5. Vzhľadom na orientáciu v priestore poznáme dva skrutkové pohyby: pravotočivý a ľavotočivý.
Ak sa bod A pohybuje po skrutkovici k bodu A´ (na tej istej tvoriacej priamke m), tak na ľavom obrázku je skrutkovica ľavotočivá a na pravom pravotočivá. o o A´ A´ s s m m A A
Poznámka: Orientáciu skrutkového pohybu si môžete zapamätať pomocou pravej a ľavej ruky.
Palec ukazuje smer posunutia a prsty smer rotácie.
Mészárosová, Rückschlossová

6. Ľavotočivá a pravotočivá
skrutkovica na valcovej ploche
Johan Fischer von Erlach
Pestsäule, Karlskirche in Wien

7. Skrutkový pohyb je najčastejšie určený:
Výška závitu v je dĺžka posunutia (v smere osi o) zodpovedajúca otočeniu o 360° (2 rad).
Poznámka: Ak sa skrutkovaný bod otočí o 360°, tak sa posunie v smere osi o z bodu A do bodu A´, ktoré ležia na tej istej tvoriacej priamke valcovej plochy. Dĺžka úsečky AA´ je výška závitu.
Parameter p skrutkového pohybu je dĺžka posunutia pri otočení o uhol s oblúkovou mierou 1 (1 rad).
Poznámka: Jeden radián je veľkosť uhla ASB za predpokladu, že dĺžka kružnicového oblúka AB sa rovná polomeru kružnice. Jeden radián je približne 57° 17´. o
Skrutkový pohyb je najčastejšie určený:
a) osou o, výškou závitu v a orientáciou
b) osou o, parametrom p a orientáciou A´ r S B s r r
Skrutkovica je najčastejšie určená:
a) bodom A, osou o, výškou závitu v a orientáciou
b) bodom A, osou o, parametrom p a orientáciou A v v
Z rovnomernosti oboch pohybov (rotačného pohybu a posúvania) vyplýva, že medzi dĺžkou posunutia a príslušným uhlom otočenia je priama úmernosť.
Pre výšku závitu v a parameter p platí vzťah: v = 2p
Dĺžku posunutia v odpovedajúcu otočeniu o uhol 
vyjadríme zo vzťahu:
a) v =  . p ak je uhol  vyjadrený v radiánoch
b) v =  . v/ ak je uhol  vyjadrený v stupňoch  S A
Mészárosová, Rückschlossová

8. Cvičenie:
Pravotočivá skrutkovica je daná bodom A, osou o a parametrom p.
Určte výšku závitu. o2
Riešenie:
Výšku závitu určíme výpočtom podľa vzťahu:
v = 2p
Parameter p je daný graficky, odmeriame jeho dĺžku,
v našom príklade p = 2 cm.
Číslo  zaokrúhlime na 3,14.
v = 2 . 3, = 12,56
Výška závitu v = 12,56 cm. p A2 x2 A1 o1 x1

9. otočenia medzi nimi je 360°.
Jeden závit skrutkovice je časť skrutkovice medzi dvoma bodmi, pre ktoré platí, že rozdiel
otočenia medzi nimi je 360°.
Poznámka: Na obrázku sú znázornené body A a A´, ktoré ohraničujú jeden závit pravotočivej
skrutkovice s. Bod A je začiatočný bod závitu a bod A´ koncový bod závitu skrutkovice.
Cvičenie:
1) Čo sa zmení ak je skrutkovica s ľavotočivá?
2) Načrtnite inú dvojicu bodov, ktoré ohraničujú jeden závit skrutkovice s.
3) Akú časť skrutkovice s ohraničujú body B a B´? o B´ S´ A´ S s A B
Mészárosová, Rückschlossová

10. Sústava ľavotočivých a pravotočivých skrutkovíc na valcovej ploche
s vodorovnou osou.
Skrutkovice a tvoriace priamky
valcovej plochy vytvárajú sieť, ktorá je
aproximovaná trojuholníkovou sieťou.
Norman Foster
Faculty of Law,
University of Cambridge
Cambridge, UK

11. Rozvinutie valcovej plochy so skrutkovicou
Mészárosová, Rückschlossová
Rozvinutie valcovej plochy so skrutkovicou
Ak časť valcovej plochy s jedným závitom skrutkovice s rozrežeme pozdĺž priamky AA´
a rozvinieme ju do roviny, tak sa skrutkovica s rozvinie do uhlopriečky obdĺžnika.
Dĺžky strán obdĺžnika sú 2r (dĺžka kružnice k s polomerom r) a v (výška závitu).
Skrutkovica s v rozvinutej polohe zviera s rozvinutou kružnicou k uhol . A´ A´ o A´ s v s v p  r A r
2r A k A
Poznámka: V rozvinutí môžeme zobraziť aj parameter p a uvedomiť si platnosť vzťahu v = 2p.

12. Skrutkovica a jej dotyčnice
Všetky dotyčnice skrutkovice s zvierajú s rovinou kolmou na os skrutkového pohybu rovnaký
uhol . Skrutkovica je priestorová krivka konštantného spádu. Spád skrutkovice je tangens uhla . Platí: tg = p/r = v/2r.
Nech bod A leží v rovine , ktorá je kolmá na os o skrutkového pohybu. Kolmým priemetom skrutkovice s do roviny  je kružnica k = s1, ktorá je určujúcou kružnicou valcovej plochy, na ktorej je skrutkovica s navinutá. Dotyčnica t v bode T skrutkovice s sa v kolmom priemete do roviny  zobrazí do dotyčnice t1 v bode T1 ∈ s1 = k kružnice k. Priesečník priamky t s rovinou  označíme Pt. o
Priesečníky dotyčníc skrutkovice s s rovinou  kolmou
na os skrutkovice s tvoria krivku e, ktorá je spoločnou
evolventou skrutkovice s a kružnice k.
Poznámka: Evolventu pozri v kapitole K1 Krivky. A´ s T T1 t   S t1
k = s1 A  Pt   e
Mészárosová, Rückschlossová

13. Nech bod V leží na osi o a nech vzdialenosť bodu V od roviny  sa rovná parametru p skrutkového pohybu.
Nech priamka SR (R ∈ k) je rovnobežná s dotyčnicou t1. Trojuholník VSR je pravouhlý s dĺžkou odvesien p a r. Z toho vyplýva, že uhol pri vrchole R sa rovná .
Trojuholníky VSR a TT1Pt sú podobné. Strany SR a T1Pt sú navzájom rovnobežné, aj strany VS a TT1 sú rovnobežné. Preto aj strany VR a TPt sú rovnobežné.
Bod V a riadiaca kružnica k určujú rotačnú kužeľovú plochu K. Jej tvoriace priamky sú
rovnobežné s dotyčnicami skrutkovice s. Kužeľová plocha K sa nazýva smerová kužeľová plocha skrutkovice s. o A´ s T   T1 t K V  p   S t1
k = s1 A r R  Pt   e
Mészárosová, Rückschlossová

14. Podrobnejšie pozri v kapitole S3.5.
Poznámka: Dotyčnice skrutkovice vytvárajú priamkovú skrutkovú plochu, ktorá je rozvinuteľná.
Podrobnejšie pozri v kapitole S3.5. e o s
Rückschlossová

15. skrutkovice pri tomto skrutkovom pohybe.
Skrutkové plochy
Skrutková plocha vzniká skrutkovým pohybom čiary k, ktorá nie je časťou priamky rovnobežnej alebo incidujúcej s osou skrutkového pohybu a ani nie je časťou žiadnej
skrutkovice pri tomto skrutkovom pohybe.
Čiara k sa nazýva tvoriaca čiara.
o = z x y k
Príklad: Jeden závit skrutkovej plochy,
ktorá vzniká skrutkovým pohybom čiary k.
Rückschlossová

16. Frank Gehry Vitra Design Museum Weil am Rhein Germany
en.wikipedia.org/wiki/Vitra_Design_Museum
Frank Gehry
Vitra Design Museum
Weil am Rhein
Germany

17. Rozdelenie skrutkových plôch podľa typu tvoriacej čiary:
Priamkové skrutkové plochy – tvoriaca čiara je priamka.
Cyklické skrutkové plochy – tvoriaca čiara je kružnica.
Všeobecné skrutkové plochy – tvoriaca čiara je iného typu. x y
o = z x y
z = o k S
Priamková skrutková plocha
Cyklická skrutková plocha
Mészárosová, Rückschlossová, Tereňová