1. Др Наташа Папић-Благојевић
Предавања 5
Др Наташа Папић-Благојевић

2. Вишеструка регресиона анализа
Модел регресије који укључује више од једне независне променљиве назива се вишеструки регресиони модел.
Вишеструки регресиони модел са зависном променљивом (Y) и независним променљивим (X1,X2, ... Xn) приказује се у следећем облику:
𝑌= 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 1 + 𝛽 2 𝑋 2 +…+ 𝛽 𝑛 𝑋 𝑛 +𝜀
где 𝛽 0 представља одсечак или константу, 𝛽 1 , 𝛽 2 ,…, 𝛽 𝑛 су коефицијенти нагиба или регресиони параметри, а 𝜀 случајна грешка вишеструког регресионог модела.

3. Вишеструки регресиони модел описује линерану зависност између зависне променљиве и независних променљивих n.
Модел претпоставља да нема интеракције између независних променљивих, што у пракси није увек случај.
Константа 𝛽 0 представља вредност зависне променљиве Y када су вредности свих независних променљивих једнаке нули.
Коефицијенти 𝛽 1 , 𝛽 2 ,…, 𝛽 𝑛 називају се парцијални регресиони коефицијенти, стварни регрeсиони коефицијенти или параметри регресионог модела основног скупа.

4. Позитивна вредност коефицијента 𝛽 𝑖 указује на позитивну зависност променљиве Y од променљиве 𝑋 𝑖 .
Део 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 1 + 𝛽 2 𝑋 2 +…+ 𝛽 𝑛 𝑋 𝑛 назива се детерминистички део, а 𝜀 је стохастички део.

5. Регресиони модел се оцењују на основу података из узорка, па узорачка регресиона једначина гласи:
𝑌 = 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑋 1 + 𝑏 2 𝑋 2 +…+ 𝑏 𝑛 𝑋 𝑛
где су вредности 𝑏 1 , 𝑏 2 ,…, 𝑏 𝑛 статистике узорка које престављају одговарајуће тачкасте оцене регресионих параметара основног скупа 𝛽 1 , 𝛽 2 ,…, 𝛽 𝑛 .
У моделу 𝑌= 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 1 + 𝛽 2 𝑋 2 +…+ 𝛽 𝑛 𝑋 𝑛 +𝜀, 𝑌 представља стварну вредност зависне променљиве.
У моделу 𝑌 = 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑋 1 + 𝑏 2 𝑋 2 +…+ 𝑏 𝑛 𝑋 𝑛 , 𝑌 представља оцењену вредност зависне променљиве.
Разлика између 𝑌 и 𝑌 представља резидуал.

6. Претпоставке вишеструког регресионог модела
Средња вредност случајне грешке 𝜀 једнака је нули, односно Е(𝜀)=0
Случајне грешке за различите опсервације су међусобно независне (некорелисане). Случајне грешке су нормално распоређене и имају константну стандардну девијацију.
Независне променљиве нису међусобно линеарно зависне. Када је ова претпоставка испуњена значи да не постоји проблем мултиколинеарности.
Између независне променљиве 𝑋 𝑖 и случајне грешке 𝜀 не постоји корелациона веза.

7. Стандардна девијација случајне грешке
Стандардна девијација случајне грешке ( 𝜎 𝜀 ) представља меру дисперзије случајне грешке.
Стандардна девијација случајне грешке оцењује се на основу стандардне грешке регресије Ѕ:
𝑆= 𝑆𝐾𝑅 𝑛−𝑘−1
где је SKR сума квадрата резидуала и израчунава се:
𝑆𝐾𝑅= 𝑌− 𝑌 2

8. Коефицијент вишеструке детерминације
Коефицијент вишеструке детерминације R2 показује колико је учешће објашњеног варијабилитета у укупном, односно колики је део варијација зависне променљиве објашњен вишеструким регресионим моделом.
R2 представља меру валидности регресионог модела, односно показује да ли изабране независне променљиве добро објашњавајау варијације зависне променљиве.
0 ≤ R2 ≤ 1

9. Вредност R2 се повећава са додавањем нових променљивих, без обзира да ли оне значајно објашњавају варијације зависне променљиве.
У циљу елиминисања овог недостатка коефицијента R2, користи се кориговани коефицијент:
𝑅 2 =1− 1− 𝑅 2 𝑛−1 𝑛−𝑘−1
Коефицијент може да се повећа, смањи или остане исти са додавањем нових објашњавајућих променљивих.
𝑅 2 може бити негативан.

10. Вишеструка регресиона анализа употребом Excel-a
Пример: На основу датих података, оценити регресиони модел и испитати да ли и у којој мери искуство возача (изражено бројем година) и бројем саобраћајних прекршаја у току једне године утиче на висину премије ауто осигурања (изражено у €).
Табела 1.
Годишња премија
Возачко искуство
Број прекршаја
148 5 2 76 14
100 6 1
126 10 3
194 4
110 8
114 11 86 16
198 92 9 70 19
120 13

11. У првом кораку неопходно је дефинисати променљиве:
Y – годишња премија ауто осигурања (у €);
𝑋 1 - возачко искуство у годинама;
𝑋 2 - број саобраћајних прекршаја возача у току једне године.
Потребно је оценити регресиони модел:
𝑌= 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 1 + 𝛽 2 𝑋 2 +𝜀
Користи се функција LINEST.
Једначина гласи: 𝑦= 𝑚 1 𝑥 1 + 𝑚 2 𝑥 2 +…+𝑏

12. Синтакса: LINEST(poznati_y, [poznati_x], [konstanta], [statistika])
poznati_y – интервал y-вредности које су познате;   
poznati_x – интервал познатих променљивих;   
konstanta - логичка променљива (true)   
statistika - логичка вредност (true)

13. Табела 2. Број прекршаја Возачко искуство Годишња премија x2 x1 y 2 5
148 14 76 1 6
100 3 10
126 4
194 8
110 11
114 16 86
198 9 92 19 70 13
120

14. Добијени су следећи резултати:
Табела 3.
𝑌 = 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑋 1 + 𝑏 2 𝑋 2
Оцењена једначина гласи:
𝑌 =110,28−2,75 𝑋 1 +16,11 𝑋 2 x1 x2 b
-2,
16,10612
110,27607
SE coef 0,
2,61332
14,618649 r2 0,
12,14592
#N/A F
60, 9 SS
17961,2895
1327,71

15. Вредност 𝑏 0 =110,28 показује вредност 𝑌 за 𝑋 1 =0 и 𝑋 2 =0 (Возач без искуства и саобраћајних прекршаја, у просеку годишње плаћа премију у висини од 110,28 €).
Вредност 𝑏 1 = -2,75 показује промену 𝑌 при повећању 𝑋 1 за јединицу, када је 𝑋 2 константно (Возачи са једном годином више возачког искуства, а са истим бројем саобраћајних прекршаја, плаћају у просеку 2,75 € мање годишњу премију-негативна веза).
Вредност 𝑏 2 =16,11 показује промену 𝑌 при повећању 𝑋 2 за јединицу, када је 𝑋 1 константно (Возачи са једним прекршајем више, а са истим бројем година возачког искуства, плаћају у просеку 16,11 € већу годишњу премију-позитивна веза).

16. У Табели 3. приказани су и следећи резултати:
Стандардна грешка регресије Ѕ=12,14592
Коефицијент вишеструке детерминације R2 = 93,12%
Стандардна грешка оцене 𝑏 1 = 0,9770
Стандардна грешка оцене 𝑏 2 = 2,61332
Стандардна грешка оцене 𝑏 = 14,6186

17. Коришћењем Add-Ins Regression добијају се следећи резулатати:
Regression Statistics
Multiple R 0,
R Square 0,
Adjusted R Square 0,
Standard Error
12,
Observations 12
ANOVA
Df-broj stepeni slobode
SS-suma kvadrata
MS-varijansa
F-tablična vrednost
Regression 2
17961,28955
8980,644774
60,
Residual 9
1327,710451
147,
Total 11
19289
Coefficients
t Stat
P-value
Intercept
110,
14, 7,
3,52827E-05
Iskustvo
-2, 0,
-2, 0,
Prekršaji
16, 2, 6, 0,

18. Коришћењем Add-Ins Regression добијају се следећи резулатати:

19. Литература:
Prem, S. Mann (2009). Uvod u statistiku, šesto izdanje. CID Ekonomskog fakulteta u Beogradu, Beograd.