1. Lygčių sistemos modeliai
Literatūra:
Asteriou D. Applied Econometrics A Moderm approach using EWievs and Microfit.
Palgrave Macmilan, 2008 (12. Simultaneous Equation Models) psl
D.Gujaraty Part 4 Chapter 18,19,20 (Simultaneous Equation Models)
G.S Madala, Kajal Lahiri. Introduction to Econometrics Fourth edition,
Wiley, 2009,Chapter 9 “Simultaneous Equation Models” psl.
VU EF V.Karpuškienė

2. Lygčių sistemos modeliai
Bendra modelio išraiška, modelių pavyzdžiai, sąvokos
Parametrų vertinimo problemos
Lygčių sistemos modelių parametrų vertinimo būdai
VU EF V.Karpuškienė

3. 1.Bendra modelio išraiška, modelių pavyzdžiai, sąvokos
Bendra modelio forma
Modelių pavyzdžiai
Sąvokos
VU EF V.Karpuškienė

4. Bendra lygčių sistemos modelio forma
VU EF V.Karpuškienė

5. Modelio kintamieji Y1, Y2, ...Ym –endogeniniai kintamieji
X1, X2, ...Xk–egzogeniniai kintamieji
β1, β2, ... βm -endogeninių kintamųjų koeficientai
γ1 γ2 ...γk – egzogeninių kintamųjų koeficientai
u1 u2 ...um – modelio lygčių paklaidos
i – stebėjimų skaičius (i=1n)
VU EF V.Karpuškienė

6. Sąvokos Egzogeniniai kintamieji Endogeniniai kintamieji
Redukuota lygtis
Redukuoti koeficientai
VU EF V.Karpuškienė

7. Modelių pavyzdžiai Modelių pavyzdžiai: Pasiūlos paklausos modelis
Keinso modelis
Darbo užmokesčio - kainų modelis
IS- modelis
VU EF V.Karpuškienė

8. Lygčių sistemos parametrų vertinimo problemos
Netenkinama klasikinio regresinio modelio paklaidų ir nepriklausomų kintamųjų koreliuotumo prielaida t.y., Cov(Xj, u)≠0
MKM metodu įvertinti parametrai bus paslinkti ir nesuderinti
VU EF V.Karpuškienė

9. PVZ: Keinso modelis Vartojimo funkcija: Pajamų tapatybė:
Kur C = vartojimo išlaidos
Y = pajamos
I = visuminės investicijos
S = santaupos
t = laikas
u = atsitiktinių veiksnių įtaka
ir = parametrai
VU EF V.Karpuškienė

10. PVZ: Keinso modelis
Parametras tai ribinis polinkis vartoti (MPC) (reikšmė yra tarp 0 ir 1).
Parametras tai nepriklausomas nuo pajamų (autonominis) vartojimas
VU EF V.Karpuškienė

11. PVZ: Keinso modelis Redukuota lygtis
C, Y– endogeniniai kintamieji
I – egzogeniniai kintamieji
VU EF V.Karpuškienė

12. PVZ. Keinso modelis
VU EF V.Karpuškienė

13. PVZ: Keinso modelis Tačiau , kur Taigi ir Tačiau , kur Taigi ir .
Netenkinama klasikinės regresijos prielaida, teigianti, kad nepriklausomi kintamieji nėra atsitiktiniai dydžiai.
Tačiau
, kur
Taigi ir .
VU EF V.Karpuškienė

14. 2. Lygčių sistemos modelių parametrų įvertinimo problemos
Modelio lygtys netenkina klasikinių regresijos prielaidų
Modelio koeficientai gali būti neįvertinami
VU EF V.Karpuškienė

15. Lygčių sistemos parametrų vertinimo problemos
Netenkinama klasikinio regresinio modelio paklaidų ir nepriklausomų kintamųjų koreliuotumo prielaida t.y., Cov(Xj, u)≠0
MKM metodu įvertinti parametrai bus paslinkti ir nesuderinti
VU EF V.Karpuškienė

16. Lygčių sistemos parametrų vertinimo problemos
Koeficientų vertinimo procedūra:
MKM apskaičiuojami redukuotos regresijos lygties parametrai
Taikant formules, iš redukuotų koeficientų gaunami pradinės lygčių sistemos koeficientai
VU EF V.Karpuškienė

17. Lygčių sistemos modelių parametrų įvertinimo problemos
Galimi perskaičiavimo iš redukuotų koeficientų į pirminius atvejai:
Neįvertinamumas (underidentification)
Neįmanoma perskaičiuoti pirminių koeficientų (nėra sprendinių)
Tikslus įvertinamumas (identification)
Gaunami vieninteliai pirminių koeficientai (vienintelis sprendinys)
Pervertinamumas – (overidentification)
Gauname daug pirminių koeficientų variantų (daug sprendinių)
VU EF V.Karpuškienė

18. Lygčių sistemos modelio koeficientų tikslaus įvertinamumo sąlygos
Eilės sąlygos – būtinos bet nepakankamos
Rango sąlygos – būtinos ir pakankamos
VU EF V.Karpuškienė

19. Eilės sąlygos Žymėjimai: Eilės sąlygos
G – endogeninių kintamųjų skaičius lygčių sistemoje
M – neįtrauktų į nagrinėjamą lygtį kintamųjų (egzogeninių ir endogeninių) skaičius
Eilės sąlygos
Jeigu M<G-1 → lygties koeficientai neįvertinami
Jeigu M=G-1 → lygties koeficientai tiksliai įvertinami
Jeigu M>G-1 → lygties koeficientai pervertinami
Eilės sąlygos modelio įvertinimui būtinos, bet nepakankamos
VU EF V.Karpuškienė

20. Rango sąlygos Procedūra:
Sudaryti lentelę (Koef, 0, 1), kurioje stulpeliai yra kintamieji, eilutės - sistemos lygtys
Nagrinėjame sistemos kiekvienos lygties įvertinamumą
VU EF V.Karpuškienė

21. Rango sąlygos
VU EF V.Karpuškienė

22. Rango sąlygos 1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3 -β10 -β12 -β13 -γ11 -β20 -β23
-γ11
-β20
-β23
-γ21
-γ22
-β30
- β31
-γ31
-γ32
-β40
-β41
-β42
-γ43
VU EF V.Karpuškienė

23. Rango sąlygos Procedūra:
Nagrinėjame sistemos kiekvienos lygties įvertinamumą
pagal eilės sąlygas nustatome neįvertinamas lygtis. Jų rango sąlygų vėliau nenagrinėjame
sudarome naują lentelę rango sąlygoms nustatyti
Išbraukiame iš lentelės nagrinėjamą lygtį
Išbraukiame tuos pradinės lentelės stulpelius, kurių nagrinėjamos lygties kintamieji lygūs 0
Išvados: jeigu antroje lentelėje iš išbrauktų stulpelių elementų (pažymėti mėlynai) galime sudaryti bent vieną (G-1) matavimo eilės kvadratinę matricą, kurios determinantas būtų nelygus 0, tuomet lygtis yra įvertinama
VU EF V.Karpuškienė

24. Rango sąlygos (1lygtis)
Koeficientai prie kintamųjų 1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3
-β20
-β23
-γ21
-γ22
-β30
- β31
-γ31
-γ33
-β40
-β41
-β12
-γ43
Pirma lygtis neįvertinama pagal rango sąlygas
VU EF V.Karpuškienė

25. Rango sąlygos (2 lygtis)
Koeficientai prie kintamųjų 1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3
-β10
-β12
-β13
-γ11
-β30
-β31
-γ31
-γ32
-β40
-β41
-γ43
Antra lygtis neįvertinama pagal rango sąlygas
VU EF V.Karpuškienė

26. Rango sąlygos (3 lygtis)
Koeficientai prie kintamųjų 1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3
-β10
-β12
-β13
-γ11
-β20
-β23
-γ21
-γ22
-β40
-β41
-β42
-γ43
Trečia lygtis neįvertinama pagal rango sąlygas
VU EF V.Karpuškienė

27. Rango sąlygos (4 lygtis)1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3
-β10
-β12
-β13
-γ11
-β20
-β23
-γ21
-γ22
-β30
- β31
-γ31
-γ32
Ketvirta lygtis įvertinama pagal rango sąlygas
VU EF V.Karpuškienė

28. 3. Lygčių sistemos parametrų vertinimo metodai
Neįvertinamas modelis –lygčių sistemos parametrų apskaičiuoti neįmanoma
Tiksliai įvertinami modelio parametrai – NMKM (Netiesioginis mažiausių kvadratų metodas ) (ILS- indirect least square)
Pervertinamas modelis – 2ŽMKM (Dviejų žingsnių mažiausių kvadratų metodas) (TSLS –two stages least square)
VU EF V.Karpuškienė

29. NMKM=ILS metodas NMKM žingsniai:
Surandame lygčių sistemos redukuotą lygtį
Apskaičiuojame redukuotos lygties parametrus taikydami MKM
Apskaičiuojame pradinius koeficientus naudodamiesi redukuotų koeficientų formulėmis
VU EF V.Karpuškienė

30. 2ŽMKM=TSLS metodas Idėja:
Endogeninius kintamuosius Yj, kurie koreliuoja su lygčių sistemos paklaidomis ui, pakeičiame jų pakaitalais , kurie nekoreliuoja su ui
pakaitalai gaunami apskaičiavus Yj priklausomybę nuo modelio egzogeninių kintamųjų, vadinamų instrumentais
VU EF V.Karpuškienė

31. 2ŽMKM=TSLS metodas Žingsniai:
Apskaičiuojame paprastu MKM modelio endogeninių kintamųjų, kurie kartu yra įtakojantys veiksniai, t.y., sutinkami dešinėje modelio lygčių pusėje, priklausomybę nuo egzogeninių ir vėluojančių egzogeninių kintamųjų, jeigu pastarieji yra įtraukti į modelį. Tokios apskaičiuotos endogeninių kintamųjų reikšmės, priklausančios tik nuo egzogeninių kintamųjų, yra vadinamos instrumentais
Suskaičiuojame pradinius sistemos lygčių koeficientus paprastu MKM pakeitę endogeninių kintamųjų faktines reikšmes apskaičiuotomis 1 žingsnyje instrumentų reikšmėmis
VU EF V.Karpuškienė

32. PVZ: Keinso modelis 2ŽMK metodas
C, Y– endogeninis kintamasis
I – egzogeniniai kintamieji
Pirmas žingsnis:
Antras žingsnis:
VU EF V.Karpuškienė

33. 2ŽMKM=TSLS metodas Praktinės įžvalgos:
MKM ir 2ŽMK metodu apskaičiuotos lygties paklaidos skiriasi, todėl ir R2 yra skirtingi
Kuo stipresnė instrumentinių kintamųjų priklausomybė nuo egzogeninių kintamųjų, tuo MKM ir 2ŽKM regresijų paklaidos ir R2 yra panašesni
R2 paprastai yra didesnis tuomet, kai turime daugiau egzogeninių kintamųjų
VU EF V.Karpuškienė

34. Du svarbūs klausimai
Kurie kintamieji yra egzogeniniai, o kurie endogeniniai?
Kada lygčių sistemos modelio parametrus skaičiuoti MKM, o kada 2ŽMKM (2TLS)?
VU EF V.Karpuškienė

35. 1 klausimo atsakymas Nusprendžia analitikas
Hausman kintamųjų egzogeniškumo nustatymo testas
VU EF V.Karpuškienė

36. Pirmoji sistemos lygtis yra:
Hausman kintamųjų egzogeniškumo nustatymo testas (Hausman exogeneity specification test)
Tarkim:
turime trijų lygčių sistemą, kurios endogeniniai kintamieji yra Y1 ,Y2;,Y3; o X1, X2, X3 egzogeniniai kintamieji
Pirmoji sistemos lygtis yra:
VU EF V.Karpuškienė

37. Suskaičiuojame tris papildomas lygtis:
Hausman kintamųjų egzogeniškumo nustatymo testas (Hausman exogeneity specification test)
Suskaičiuojame tris papildomas lygtis:
Dvi lygtis instrumentiniams kintamiesiems įvertinti (tik nuo egzogeninių)
Papildoma Hausman testo lygtis su instrumentais
VU EF V.Karpuškienė

38. H0 (Y2;,Y3 egzogeniniai kintamieji)
Hausman kintamųjų egzogeniškumo nustatymo testas (Hausman exogeneity specification test)
H (Y2;,Y3 egzogeniniai kintamieji)
H1 bent vienas (Y2;,Y3 kintamieji/bent vienas endogeniniai )
Testas su ∝ reikšmingumo lymeniu
Jeigu Fapskaičiuota>F (m;n-k,∝) atmetam H0
Išvada: Y2;,Y3 yra endogeniniai
Fapskaičiuota<F (m;n-k,∝) atmesti H0 negalime
Išvada: Y2;,Y3 egzogeniniai
VU EF V.Karpuškienė

39. Priminimas F testo statistika
m –tikrinamų (ribojančių) kintamųjų skaičius
n – stebėjimų skaičius
k –vertinamų koeficientų prie visų kintaųjų skaičius nagrinėjamoje lygtyje
VU EF V.Karpuškienė

40. Antras svarbus klausimas
2. Kada lygčių sistemos modelio parametrus skaičiuoti MKM, o kada 2ŽMKM (2TLS) Atsakymas: 2ŽMKM (2TLS)- Kai lygties dešinėje pusėje tarp įtakojančių kintamųjų turime endogeninius kintamuosius
VU EF V.Karpuškienė