1. 6.1 Platonic Solids ולדיסלב פנקוב 16.01.12
Polyhedra פאונים
ולדיסלב פנקוב

2. תוכן להיום 6.1 הגופים האפלטוניים פאונים קמורים פאונים משוכללים
6.2 מאפיין של אוילר
הומיאומורפיזם
נוסחת אוילר
גנוס

3. 6.1 הגופים האפלטוניים

4. מה זה פאון (Polyhedron)?
פאון (polyhedron) זוהי הרחבה של מצולע (polygon) לתלת מימד.
הגדרה לא פורמלית:
פאון זהו אזור במרחב, שחסום ע"י מספר סופי של מצולעים שהם הפאות (faces), כאשר החיתוך בין כל זוג פאות כאלו הוא:
ריק
קודקוד (vertex)
צלע (edge) והקצוות שלו .3 .2 .1

5. זווית דו-מישור (Dihedral angle)
6.1 Platonic Solids
זווית דו-מישור (Dihedral angle)
הגדרה: זווית דו-מישור ( 𝜑 𝑎𝑏 ) בין שני מישורים (פאות) a, b זוהי הזווית בין שני האנכים (הנורמלים) 𝑛 𝑎 , 𝑛 𝑏 של שני המישורים. או בכתיב ווקטורי:

6. צלע קמורה (Convex edge)
6.1 Platonic Solids
צלע קמורה (Convex edge)
הגדרה: צלע היא קמורה אם הזווית הדו-מישור בין שתי הפאות שהיא מחברת בתוך הפאון לא גדולה מ- 𝜋.
צלע קמורה
צלע לא קמורה

7. פאון קמור (Convex Polyhedron)
6.1 Platonic Solids
פאון קמור (Convex Polyhedron)
הגדרה:
פאון הוא קמור אמ"ם לכל 2 נקודות A, B בתוך הפאון הקטע AB גם בתוך הפאון.
למה 6.1:
פאון הוא קמור אמ"ם כל הצלעות שלו קמורות.
הוכחה (בנפנוף ידיים):
הוכחה פורמלית (פשוטה) אפשר לתת במונחים של פאונים כדוריים לעליהם נדבר בהרצאה הבאה
=> נניח בשלילה שיש צלע לא קמורה, אז יש שתי נקודות A, B כך ש AB יוצא מתוך הפאון. לכן כל הצלעות קמורות.
<= נניח בשלילה שקיימות נקודות A, B כך ש הקטע AB לא
מוכל כולו בפאון, נבחר תת-חתך CD שמחבר שתי פאות
וכולו בחוץ, אז קיים חתך של הפאון שבו נראה שיש צלעות
לא קמורות, הפאות צריכות
להיסגר ולכן הזוויות ביניהם
גדולות מ- 𝜋.
פנים הפאון
פנים הפאון
חוץ הפאון
חוץ הפאון

8. פאון קמור (Convex Polyhedron)
6.1 Platonic Solids
פאון קמור (Convex Polyhedron)
דוגמאות:
קמור
לא קמור
מכאן ניתן לראות: שפאות קמורות זה אינו תנאי מספיק בשביל הקמירות של הפאון
אבל הכרחי

9. פאון קמור (Convex Polyhedron)
6.1 Platonic Solids
פאון קמור (Convex Polyhedron)
תרגיל 6.2: הראה שכל פאה של פאון קמור חייבת להיות מצולע קמור. הוכחה: נניח בשלילה שקיימת פאה לא קמורה, נסמן את (אחד) הקודקוד הלא קמור ב A ונסתכל על כל הצלעות ש A מחובר אליהם. עם כל הצלעות האלו קמורות אז הפאות שבין AC ו AB אף פעם לא יפגשו וישאר שם חור. A C B

10. פאון קמור (Convex Polyhedron)
6.1 Platonic Solids
פאון קמור (Convex Polyhedron)
למה 6.3: לכל קודקוד בפאון קמור סכום הזוויות הצמודות לקודקוד בפאות הצמודות קטן מ- 2𝜋. אין הוכחה: גם זאת יותר קל להוכיח במונחים של פאונים כדוריים.
𝜋 2 + 𝜋 2 + 𝜋 2 <2𝜋
!אבל גם זהו אינו תנאי מספיק בשביל קמירות:
אותם זוויות, אבל אחד קמור ואחד לא

11. פאון משוכלל (Regular Polyhedron)
6.1 Platonic Solids
פאון משוכלל (Regular Polyhedron)
הגדרה: פאון קמור נקרא משוכלל אם כל הפאות שלו הן מצולעים משוכללים חופפים זה לזה ולכל קודקוד יש אותו מספר פאות הצמודות אליו. לעומת דו מימד, בתלת מימד יש מספר מאוד סופי של פאונים משוכללים: משפט 6.4: חמשת הגופים האפלטוניים הם הפאונים המשוכללים היחידים בתלת מימד. משפט זה נוסח(ללא שימוש באלגברה) ע"י אוקלידס בספר "יסודות", שם נאמר שככל שיש יותר פאות סביב קודקוד כך גם סכום הזוויות סביב קודקוד גדל ולכן אי אפשר לארוז אותם בלי לפגוע בקמירות.
ארבעון (Tetrahedron)
קובייה (Cube)
תמניון (Octahedron)
תריסרון (Dodecahedron)
עשרימון (Icosahedron)

12. פאון משוכלל (Regular Polyhedron)
6.1 Platonic Solids
פאון משוכלל (Regular Polyhedron)
הוכחה:
בהינתן פאון משוכלל 𝑃
נסמן ב 𝑘 את מספר הקודקודים של כל פאה של 𝑃, ונסמן ב 𝑚 את מספר הפאות הצמודות לכל קודקוד של 𝑃
סכום הזוויות במצולע משוכלל בעל 𝑘 צלעות הוא 𝜋(𝑘 −2) וכל זווית היא 𝜋 1 − 2 𝑘
אז לכל קודקוד של 𝑃 צמודות 𝑚 זוויות בגודל 𝜋 1 − 2 𝑘 ולפי למה 6.3 בפאון קמור סכום זה קטן מ- 2𝜋
לכן נקבל:
m𝜋 1 − 2 𝑘 <2𝜋
1 − 2 𝑘 < 2 𝑚
𝑘𝑚−2𝑘+2𝑚+4<4
(𝑘−2)(𝑚−2)<4

13. פאון משוכלל (Regular Polyhedron)
6.1 Platonic Solids
פאון משוכלל (Regular Polyhedron)
הוכחה (המשך):
אז קבלנו (𝑘−2)(𝑚−2)<4
כיוון ש 𝑘,𝑚≥3 נקבל 5 זוגות {𝑘, 𝑚} שנקראים Schläfli symbol על שם מתמטיקאי שוודי מהמאה ה-19 Ludwig Schläfli שפיתח מערכת סימנים לכתיב מבנה פאונים משוכללים ומשוכללים למחצה:
F (#פאות)
E (#צלעות)
V (#קודקודים)
(𝑘−2)(𝑚−2) 𝑚 𝑘
שם הפאון 4 6 1 3
ארבעון (Tetrahedron) 12 8 2
קובייה (Cube)
תמניון (Octahedron) 30 20 5
תריסרון (Dodecahedron)
עשרימון (Icosahedron)

14. פאון משוכלל (Regular Polyhedron)
6.1 Platonic Solids
פאון משוכלל (Regular Polyhedron)
מה אם 𝑘−2 𝑚−2 =4? נקבל מישור אין סופי שלא נחשב לפאון :𝑘=3, 𝑚=6 :𝑘=4, 𝑚=4 :𝑘=6, 𝑚=3

15. פאון משוכלל (Regular Polyhedron)
6.1 Platonic Solids
פאון משוכלל (Regular Polyhedron)
ניתן לשנות את ההגדרה של פאונים משוכללים ולקבל פאונים חדשים עם תכונות חדשות: הגופים של ארכימדס - מקיימים את ההגדרה של פאון משוכלל רק מורכבים מכמה סוגים של מצולעים משוכללים, אבל אותו מבנה פאות לכל קודקוד, בנוסף הם לא מנסרות(לא מעניין). אם נוותר גם על הקמירות אז נקבל את 75 הפאונים האחידים (uniform polyhedra), בינהם נמצא התריסרון הגדול(great dodecahedron).
התריסרון הגדול
(great dodecahedron)
גופים של ארכימדס

16. פאון משוכלל (Regular Polyhedron)
6.1 Platonic Solids
פאון משוכלל (Regular Polyhedron)
תרגיל 6.5:
מצא את 10 הגופים של ארכימדס שמורכבים רק משני סוגים של מצולעים שונים.
הוכחה:
נניח שפאון קמור 𝑃 מורכב ממצולעים 𝑇 1 ו- 𝑇 2 .
נסמן ב- 𝑘 1 את מספר הקודקודים של 𝑇 1 וב- 𝑘 2 של 𝑇 2 .
נסמן ב- 𝑚 1 את מספר המצולעים 𝑇 1 שצמודים לכל קודקוד וב- 𝑚 2 את 𝑇 2 .
אז נחשב סכום זווית בכל קודקוד ונפעיל את למה 6.3 (כמו קודם):
𝑚 1 𝜋 1 − 2 𝑘 𝑚 2 𝜋 1 − 2 𝑘 2 <2𝜋
𝑚 1 − 2 𝑚 1 𝑘 1 + 𝑚 2 − 2 𝑚 2 𝑘 2 <2
𝑘 1 , 𝑘 2 >2
𝑘 1 ≠ 𝑘 2
𝑚 1 , 𝑚 2 >0
𝑚 1 + 𝑚 2 >2
וולפרם אלפה מציע 29 פתרונות שלמים, אז נבחר את המתאימים:

17. פאון משוכלל (Regular Polyhedron)
6.1 Platonic Solids
פאון משוכלל (Regular Polyhedron)
תרגיל 6.5: מצא את 10 הגופים של ארכימדס שמורכבים רק משני סוגים של מצולעים שונים. הוכחה: 10 הפתרונות הטובים:
𝑘 𝟏
𝑘 2
𝒎 𝟏
𝒎 2 3 6 1 2 4 8 5 10

18. פאון משוכלל (Regular Polyhedron)
6.1 Platonic Solids
פאון משוכלל (Regular Polyhedron)
תרגיל 6.6: הוכח שבפאון משוכלל כל הזוויות הדו-מישוריות של כל הצלעות שוות. הוכחה (אינטואיציה): נחסום כדור בתוך הפאון, ומכל שתי פאות נוריד אנך למרכז הכדור ולצלע המשותפת, ונקבל מצולעים חופפים לכל זוג פאות (מטעמי סימטריה):
מרכז כדור

19. (hecatonicosachoron, 120-cell)
6.1 Platonic Solids
פאון כללי משוכלל (Regular Polytope)
פאון כללי משוכלל ארבע מימדי: מורכב מפאונים משוכללים תלת מימדים מחוברים ביחד במימד הרביעי. דרך אחת לייצג גופים אילו היא על ידי הטלת מסגרת התיל (Wire-frame) של הצורה לתלת מימד, שיטה זאת נקראת תרשים שלגל (Schlegel diagram). יש 6 פאונים כללים משוכללים בארבע מימדים ו 3 בכל מימד מעל. את כל הפאונים המשוכללים בארבע מימדים מצאו 2000 שנה אחרי האלו בשלושה מימדים. כיום לפאונים כללים יש הרבה שימושים ויישומים והם נמצאים תחת מחקר אקטיבי כיום.
היפרקובייה
(Hypercube)
120-תא
(hecatonicosachoron, 120-cell)

20. 6.2 מאפיין של אוילר

21. פאון (Polyhedron) נגדיר מחדש את הפאון: הגדרה:
6.1 Platonic Solids
פאון (Polyhedron)
נגדיר מחדש את הפאון:
הגדרה:
פאון מורכב מפאות, צלעות וקודקודים.
נגביל כל פאה להיות מצולע קמור(מצולע לא קמור ניתן פשוט לפרק למצולעים קמורים).
חלקים אלה יוצרים ביחד את פני השטח של הפאון אם הם מקיימים את שלושת תנאים הבאים:
חיתוך: חיתוך כל שתי פאות הוא ריק, קודקוד יחיד או צלע(כולל הקצוות).
טופולוגיה מקומית: לכל נקודה p על פני השטח של הפאון יש סביבה שהומיאומורפית לדיסק פתוח.
טופולוגיה גלובלית: פני השטח של הפאון הם קשירים – לכל שתי נקודות על פני השטח קיים מסלול שעובר על פני השטח שמחבר אותם.

22. הומיאומורפיזם (Homeomorphism)
6.1 Platonic Solids
הומיאומורפיזם (Homeomorphism)
הגדרה: שני משטחים 𝑆 1 , 𝑆 2 הן הומיאומורפים אם קיים הומיאומורפיזם ביניהם. הומיאומורפיזם הוא פונקציה חח"ע, רציפה שגם ההופכית שלה(קיימת) ורציפה. לא פורמלי: ניתן לחתוך את 𝑆 1 לכמה חתיכות, כל אחת למתוח ולקפל באופן רציף ואז לחבר בחזרה באותו אופן שגזרנו ולקבל את 𝑆 2 . פאון הומיאומורפי לכדור נקרא פאון כדורי.

23. הומיאומורפיזם (Homeomorphism)
6.1 Platonic Solids
הומיאומורפיזם (Homeomorphism)
תרגיל 6.10:
הראה דוגמאות ששלושת התנאים בהגדרת ההומיאומורפיזם הם הכרחיים בשביל שקילות טופולוגית:
חח"ע
רציפות
הפיכה רציפה
פתרון:

24. נוסחת אוילר (Euler's formula)
6.1 Platonic Solids
נוסחת אוילר (Euler's formula)
אחד התגליות החשובות ביותר בתורת הפאונים הייתה נוסחת אוילר שהתגלתה ב1750 ע"י לאונרד אוילר (Leonhard Euler) והיא אומרת שסכום הקודקודים והפאות גדול ב 2 ממספר הצלעות: 𝑉+𝐹=𝐸+2 אוילר לא הוכיח את הנוסחה עד הסוף, הראשון שהביא הוכחה מלאה היה אדריאן-מארי לז'נדר (Adrien-Marie Legendre) שהוכיח אותה ב1794. אז רבים שמו לב כי פאונים (לא רק קמורים) מקיימים את הנוסחה ללא יוצא מן הכלל, ולכן הרבה מאוד זמן חשבו שהתריסרון הגדול (great dodecahedron) הוא לא פאון בגלל שהתייחסו אליו כאוסף מחומשים משוכללים שחותכים זה את זה, כמו שעשה יוהנס קפלר (Johannes Kepler), במקום להסתכל עליו כאוסף של משולשים. התריסרון הגדול (great dodecahedron) הוא אחד מארבעת הפאונים המשוכללים הלא קמורים שנקראים פאוני קפלר-פוינסוט (Kepler-Poinsot polyhedra).

25. נוסחת אוילר (Euler's formula)
6.1 Platonic Solids
נוסחת אוילר (Euler's formula)
תרגיל 6.11:
חשב את 𝑉−𝐸+𝐹 עבור התריסרון הגדול (great dodecahedron) בשני דרכים:
אוסף משולשים חופפים
אוסף מחומשים משוכללים חופפים שחותכים זה את זה
פתרון:
סה"כ יש 60 משולשים לכן 𝐹=60; 𝐸=60 ∗ 3 2 =90; 𝑉=12+20=32; 32+60−90=2
סה"כ יש 12 מחומשים לכן 𝐹=12; 𝐸=12 ∗ 5 2 =30; 𝑉=𝐹=12; 12+12−30=−6

26. נוסחת אוילר (Euler's formula)
6.1 Platonic Solids
נוסחת אוילר (Euler's formula)
למת עזר:
לעץ (גרף) עם 𝑛 קודקודים יש 𝑛−1 צלעות.
הוכחה:
אינדוקציה:
𝑛=1 : קודקוד אחד אין צלעות.
𝑛=>𝑛+1 : נוריד קודקוד עלה (יש כזה כי אין מעגלים בגרף) ואת הצלע אליו הוא מחובר ונקבל 𝑛−1 צלעות, אז מלכתחילה היו 𝑛 צלעות ו 𝑛+1 קודקודים.
𝑛+1 𝑛

27. נוסחת אוילר (Euler's formula)
6.1 Platonic Solids
נוסחת אוילר (Euler's formula)
משפט 6.12:
לכל פאון 𝑃 שהומיאומורפי לכדור עם 𝑉 קודקודים, 𝐸 צלעות ו 𝐹 פאות מתקיים:
𝑉+𝐹=𝐸+2
הוכחה:
נוכיח זאת בשלבים:
בהינתן פאון 𝑃 נבנה גרף פשוט 𝐺.
נמצא את העץ הפורש 𝑇 של הגרף 𝐺.
נבנה את הגרף הדואלי 𝐺 ∗ של 𝐺.
נמצא את העץ הפורש 𝑇 ∗ של הגרף 𝐺 ∗ .
נפעיל את למת העזר על 𝑇 ו 𝑇 ∗ .

28. נוסחת אוילר (Euler's formula)
6.1 Platonic Solids
נוסחת אוילר (Euler's formula)
משפט 6.12:
לכל פאון 𝑃 שהומיאומורפי לכדור עם 𝑉 קודקודים, 𝐸 צלעות ו 𝐹 פאות מתקיים:
𝑉+𝐹=𝐸+2
הוכחה (המשך):
נבחר באקראי פאה של 𝑃, נמחק אותה ואת החור שהתקבל נמתח עד שניתן יהיה להטיל
את מה שנותר על מישור בלי שאף שתי צלעות יחתכו (זהו בעצם תרשים שלגל של הפאון):
את הגרף שיתקבל נסמן ב 𝐺 ולו יש 𝑉 קודקודים, 𝐸צלעות ו 𝐹 פאות כולל פאת החוץ, כמו ל P.

29. נוסחת אוילר (Euler's formula)
6.1 Platonic Solids
נוסחת אוילר (Euler's formula)
משפט 6.12:
לכל פאון שהומיאומורפי לכדור עם 𝑉 קודקודים, 𝐸 צלעות ו 𝐹 פאות מתקיים:
𝑉+𝐹=𝐸+2
הוכחה (המשך):
נבנה עץ פורש 𝑇 של הגרף 𝐺:
גם ל 𝑇 יש 𝑉 קודקודים

30. נוסחת אוילר (Euler's formula)
6.1 Platonic Solids
נוסחת אוילר (Euler's formula)
משפט 6.12:
לכל פאון שהומיאומורפי לכדור עם 𝑉 קודקודים, 𝐸 צלעות ו 𝐹 פאות מתקיים:
𝑉+𝐹=𝐸+2
הוכחה (המשך):
נבנה את הגרף הדואלי 𝐺 ∗ של 𝐺:
קודקודי הגרף 𝐺 ∗ יהיו פאות של 𝐺 (זה כולל את הפאה החיצונית) ופאות הגרף 𝐺 ∗ יהיו קודקודים של 𝐺.
לשני הגרפים אותו מספר צלעות 𝐸

31. נוסחת אוילר (Euler's formula)
6.1 Platonic Solids
נוסחת אוילר (Euler's formula)
משפט 6.12:
לכל פאון שהומיאומורפי לכדור עם 𝑉 קודקודים, 𝐸 צלעות ו 𝐹 פאות מתקיים:
𝑉+𝐹=𝐸+2
הוכחה (המשך):
נמצא את עץ פורש 𝑇 ∗ של הגרף 𝐺 ∗ :
נבחר את הצלעות של 𝑇 ∗ להיות הצלעות שלא בחרנו בבניית 𝑇.
כיוון שב 𝑇 אין מעגלים 𝑇 ∗ פורש את 𝐺 ∗ .
ב 𝑇 ∗ אין מעגלים אחרת חלק מהקודקודים של 𝐺 היו נסתרים מהשער ו 𝑇 לא היה פורש את 𝐺.
לכן 𝑇 ∗ פורש את 𝐺 ∗ .
𝑇 ∗ - כחול
𝑇 - אדום

32. נוסחת אוילר (Euler's formula)
6.1 Platonic Solids
נוסחת אוילר (Euler's formula)
משפט 6.12:
לכל פאון שהומיאומורפי לכדור עם 𝑉 קודקודים, 𝐸 צלעות ו 𝐹 פאות מתקיים:
𝑉+𝐹=𝐸+2
הוכחה (המשך):
נפעיל את למת העזר על 𝑇 ו 𝑇 ∗ .
ב 𝑇 ∗ יש 𝐹 קודקודים ולפי הלמה 𝐹−1 צלעות.
ב 𝑇 יש 𝑉 קודקודים ולפי הלמה 𝑉−1 צלעות.
לפי בניית 𝑇 ∗ מספר הצלעות הכולל של 𝑇 ∗ ו 𝑇 זה בדיוק 𝐸.
לכן קבלנו:
(𝐹−1)+(𝑉−1)=𝐸 ∎
𝑇 ∗ - כחול
𝑇 - אדום

33. נוסחת אוילר (Euler's formula)
6.1 Platonic Solids
נוסחת אוילר (Euler's formula)
תרגיל 6.13:
תבנה פאון 𝑃 ע"י הדבקה של 𝑘 תריסרונים בשורה ובדוק את נוסחת אוילר עבור 𝑃.
פתרון:
בתריסרון יש לנו:
𝑉=20
𝐸=30
𝐹=12
𝑉−𝐸+𝐹=20−30+12=2
אז בהדבקה של 𝑘 תריסרונים נקבל:
𝑉=20∗𝑘− 𝑘−1 ∗5=15𝑘+5
𝐸=30∗𝑘− 𝑘−1 ∗5=25𝑘+5
𝐹=12∗𝑘− 𝑘−1 ∗2=10𝑘+2
𝑉−𝐸+𝐹=15𝑘+5−25𝑘−5+10𝑘+2=2

34. 6.1 Platonic Solids
גנוס (Genus)
עד עכשיו כל הפאונים שראינו היו הומיאומורפים לכדור, אבל טורוס-פאוני לדוגמה לא הומיאומורפי לכדור אלא לטורוס עצמו. את ההבדל בין כדור לטורוס ראינו בהרצאה קודמת ע"י השערת פואנקרהPoincaré conjecture) ), כל מעגל על פני השטח של הכדור ניתן לכווץ לנקודה באופן רציף ובטורוס לא (מעגל סביב לטורוס). ע"י הוספת חורים לפאון ניתן לקבל אינסוף פאונים שאף אחד מהם לא הומיאומורפי לאחר.
הגדרה:
מספר החורים בפאון נקרא הגנוס (genus) של הפאון.
כאשר מספר חורים זהו מספר מסילות פשוטות מקסימלי שלא חותכות זו את זו, וכאשר חותכים את פני השטח של הפאון לפי אותם המסילות הם נשארים קשירים.
פאון עם גנוס 4

35. מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
6.1 Platonic Solids
ההנחה שעשינו כשהוכחנו את נוסחת אוילר היא שהפאון הומיאומורפי לכדור, מה שבעצם אפשר לנו לקחת ולהטיל את הפאון על מישור(טורוס לדוגמה אי אפשר להטיל על מישור באופן רציף).
אז עכשיו ננסה להרחיב את הנוסחה גם לפאונים עם חורים (עם גנוס גדול מ - 0).
מציאת הגנוס של הפאון הוא דבר לא קל(למטה), אבל זה ימצא לבד ע"י הנוסחה המורחבת.
לעומת זאת שאוילר הרכיב את הנוסחה שלו לפאונים, זוהי אינווריאנטה טופולוגית למשטחים יותר כלליים.
נקח משטח S הומיאומורפים לפאון, כדי לבדוק את נוסחת אוילר על המשטח נצייר גרף קשיר 𝐺 על המשטח 𝑆 שיחלק את 𝑆 לקודקודים, צלעות ופאות, אנו אומרים ש 𝐺 משוכן על 𝑆.
צלעות של 𝐺 יכולות להיפגש רק בקודקודים, והפאות של 𝐺 הומיאומורפיות למצולעים.
כדור משוכן ע"י רשת ריבועית

36. מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
6.1 Platonic Solids
מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
הגדרה:
עבור משטח 𝑆 שמשוכן ע"י גרף 𝐺 ל 𝑉 קודקודים, 𝐸 צלעות ו 𝐹 פאות, המאפיין של אוילר של המשטח הוא:
𝜒 𝑆 =𝑉−𝐸+𝐹
מכאן ניתן לראות שהמאפיין של אוילר של המשטח תלוי בגרף 𝐺 שמשוכן עליו, אבל מהמשפט הבא מסתבר שזה תלוי רק בגנוס של המשטח!
אז הנה נוסחת אוילר המורכבת שלראשונה הושגה ע"י Simon L'Huilier ב 1813.
משפט 6.15:
עבור משטח 𝑆 עם גנוס 𝑔 המאפיין של אוילר של המשטח הוא:
𝜒 𝑆 =2−2𝑔
הוכחה:
נוכיח באינדוקציה שלכל גרף 𝐺 שמשוכן על 𝑆 מתקיים:
2−2𝑔=𝑉−𝐸+𝐹
עבור 𝑔=0 כבר הוכחנו זאת במשפט 6.12
𝑉−𝐸+𝐹=2

37. מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
6.1 Platonic Solids
מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
משפט 6.15:
עבור משטח 𝑆 על גנוס 𝑔 המאפיין של אוילר של המשטח הוא:
𝜒 𝑆 =2−2𝑔
הוכחה (המשך):
אז בהינתן וזה נכון לכל גנוס קטן מ-𝑔 נוכיח שזה נכון גם ל 𝑔:
נניח 𝑆 משטח עם גנוס 𝑔 ועליו משוכן גרף 𝐺, נבחר מעגל λ ב 𝐺 שלא מחלק את המשטח לשניים (אפשרי אם גנוס גדול מאפס), ונחתוך את S לאורך המעגל λ ונאטום את החורים בשתי פאות חדשות, נקבל משטח חדש 𝑆 ′ עם גנוס 𝑔−1.
לאורך המעגל λ מספר הצלעות והקודקודים יוכפל ולכן לא ישנה את 𝜒 𝑆 אבל זה גם יוסיף שתי פאות חדשות ולכן באינדוקציה נקבל:
𝜒 𝑆 +2=𝜒 𝑆 ′ =2−2 𝑔−1

38. מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
6.1 Platonic Solids
מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
נשים לב שההוכחה הייתה בלתי תלויה מחלוקת הגרף 𝐺, זה בעצם היה הוכח כתנאי התחלה 𝑔=0 כאשר נעזרנו במשפט 6.12, משם פשוט שינינו את המספר באינדוקציה בלי להיזכר מזה בכלל הגרף 𝐺.
בנוסף קבלנו תכונה גלובלית - גנוס, מתכונה לוקלית של בחירת הגרף 𝐺. מאפיין של אוילר הפך למפתח בחקר מרחבים טופולוגיים כללים:
זה הסכום לסירוגין של מספרי בטי (Betti numbers), שמכיל את הדרגה של קבוצות הומולוגיה(homology groups) לאותו מרחב.
לא נמשיך לחקור עוד בכיוון הזה D: אבל נשתמש בזה בפרק הבא להוכחת משפט גאוס-בונט (Gauss-Bonnet).

39. נוסחת אוילר (Euler's formula)
6.1 Platonic Solids
נוסחת אוילר (Euler's formula)
תרגיל 6.16:
בדוק את נוסחת אוילר עבור הפאון הבא:
פתרון:
𝑉=32∗2=64
𝐸=57∗2+32=146
𝐹=22∗2+32=76
𝑉−𝐸+𝐹=64−146+76=−6≠2
2−2𝑔=−6
𝑔=4

40. מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
6.1 Platonic Solids
מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
תרגיל 6.17:
מצא את המאפיין של אוילר ואת הגנוס של פאונים הבאים:
פתרון:
𝑉=26
𝐸=55
𝐹=27
𝜒 𝑆 =𝑉−𝐸+𝐹=26−55+27=−2
2−2𝑔=−2
𝑔=2
𝑉=5∗6=30
𝐸=8∗6+3∗8=72
𝐹=6+3∗8=30
𝜒(𝑆)=𝑉−𝐸+𝐹=30−72+30=−12
2−2𝑔=−12
𝑔=7

41. מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
6.1 Platonic Solids
מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
תרגיל 6.18:
למרות שנוסחת אוילר מתוכננת למשטחים קשירים, היא עובדת גם למשטחים כללים יותר.
מצא את המאפיין של אוילר עבור קובייה עם חלל ריק בצורת קובייה.
האם זה זהה לכל ספרה טופולוגית עם חלל ריק בצורת ספרה טופולוגית?
פתרון:
𝜒 𝑆 =2+2=4
𝑔=−1
אותו דבר לכל ספרה טופולוגית.

42. מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
6.1 Platonic Solids
מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
נשים לב שממשפט 6.15 (𝜒 𝑆 =2−2𝑔) המאפיין של אוילר תמיד זוגי.
זה נכון לכל משטח סגור אבל עבור משטחים חתוכים זה יכול להיות גם אי זוגי (דוגמאות בהמשך).

43. מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
6.1 Platonic Solids
מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
תרגיל 6.19:
מצא את נמאפיין של אוילר עבור דיסק טופולוגי.
פתרון:
𝜒 𝑆 =𝑉−𝐸+𝐹=3−3+1=1
2−2𝑔=1
𝑔=0.5

44. מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
6.1 Platonic Solids
מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
תרגיל 6.20:
מצא את המאפיין של אוילר עבור קובייה פתוחה.
פתרון:
𝜒(𝑆)=𝑉−𝐸+𝐹=8−12+5=1
2−2𝑔=1
𝑔=0.5

45. מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
6.1 Platonic Solids
מאפיין של אוילר (Euler's characteristic)
תרגיל 6.20:
מצא את המאפיין של אוילר עבור רצועה גלילית.
פתרון:
𝜒 𝑆 =𝑉−𝐸+𝐹=4−6+2=0
2−2𝑔=0
𝑔=1

46. 6.1 Platonic Solids
סוף
תודה על ההקשבה