1. MULTIVARIJACIONE METODE MANOVA MULTIVARIJACIONA ANALIZA VARIJANSE
Univerzitet u Beogradu
Filozofski fakultet
MULTIVARIJACIONE METODE MANOVA MULTIVARIJACIONA ANALIZA VARIJANSE
Oliver Tošković

2. ANALIZA VARIJANSE ANOVA (Analysis of Variance) Faktorijalni nacrt
1 ili više kategoričkih varijabli sa 2 ili više nivoa (grupa)
nezavisne
1 numerička varijabla
zavisna

3. Intenzitet: kolike su razlike F test: Odnos EFEKATA i GREŠKE
Suma kvadriranih odstupanja - total
Suma kvadriranih odstupanja – između grupa
Suma kvadriranih odstupanja – unutar grupa
Intenzitet: kolike su razlike
F test: Odnos EFEKATA i GREŠKE

4. MULTIVARIJACIONA ANALIZA VARIJANSE
MANOVA
Faktorijalni nacrt
1 ili više kategoričkih varijabli sa 2 ili više nivoa (grupa)
nezavisne
2 ili više numeričkih varijabli
zavisnih

5. MANOVA Teorijski konstrukt je razvio Samual S. Wilks 1932. godine
proširenje ANOVA-e ako su ZV povezane
MANOVA pokazuje:
da li se grupe definisane NV razlikuju na linearnoj kombinaciji ZV
Ima li interakcije nezavisnih varijabli u pogledu linearnog kompozita ZV
Da li su značajni univarijatni efekti NV na svaku ZV

6. Linearni kompozit b1* b2* b0 + b1*x1 + b2*x2 .... = y b1* b2*
Varijable– sastojci
Ponderi određuju količinu sastojaka
b1*
b2*
b b1*x b2*x = y
b1*
b2*

7. MANOVA u ANOVA-i: SS kao skalarna veličina
u MANOVA-i: SSCP – matrica suma kvradrata i kros produkata
uzimaju se u obzir korelacije između ZV
detrminante SSCP matrica su zbirni indeksi varijansi
kao prosečno kvadrirano odstupanje (varijansa) u ANOVA-i

8. MANOVA Blaga MZ Srednja MZ Teška MZ Y1 Y2 Exper 115 108 100 105 89 7898 95 85
107 90
Kontrol 92 70 80 65 62 68 81 82 72 73

9. Y111= D1= D2= D3= T1= T2= GM= Y111- GM= (Y111- GM)* (Y111- GM)’ =
115
108 98
105
107 98
Y111=
prosečne vrednosti
zaostalosti
95.83
96.50
88.83 88
82.67
77.17
D1=
D2=
D3=
prosečne vrednosti
E i K grupe
99,89
96.33
78.33
78.11
T1=
T2=
veliki prosek na Y1 i Y2
89.11
87.22
GM=
115
108
89.11
87.22
25.89
20.75
Y111- GM=
670.29
537.99
431.81
(Y111- GM)* (Y111- GM)’ =
25.89
20.75
25.89
20.75

10. SD= ST= Sw= SD*T= SD*T+Sw= 570.29 761.72 1126.78 2090.89 1767.56
SD=
ST=
544 31
539.33
2.11
5.28
52.78
Sw=
SD*T=
2.11
5.28
52.78
544 31
539.33
546.11
36.28
592.11
SD*T+Sw=

11. [SD*T+Sw] - determinanta
2.11
5.28
52.78
544 31
539.33
546.11
36.28
592.11
SD*T+Sw=
546.11
36.28
592.11
[SD*T+Sw] - determinanta
Deljenjem sumi kvadrata sa df – varijansa
Deljenjem krosprodukata sa df – kovarijansa
Determinanta – analog varijanse
ANOVA testira odnose varijansi
MANOVA testira odnose determinanti

12. n – broj ispitanika u svakoj grupi p – broj zavisnih varijabli
veličina efekata

13. MANOVA Koristi se kada su ZV umereno korelisane
Ako su korelacije između ZV niske – teško je naći linearni kompozit, nizak komunalitet
Ako su korelacije između ZV jako visoke – prva ZV pokupi svu značajnu varijansu
“Zbog povećanja složenosti i dvosmislenosti rezultata MANOVA-e, najbolje preporuka je: Izbegnite je kad god možete." (Tabachnick & Fidell, 1983, p.230)

14. ANOVA vs MANOVA ANOVA ne uzima u obzir složaj korelacija između ZV
ANOVA može pokazati da nema razlika dok ih u MANOVA može biti
MANOVA je osetljiva ne samo na razlike proseka već i na smer i intenzitet korelacija ZV

15. ANOVA vs MANOVA
razlike distribucija na svakoj od ZV (Y) kao da ne postoje
razlike na kombinaciji ZV su uočljive – razlike između elipsi

16. ANOVA vs MANOVA
Linearni kompozit čini razlike između grupa najvišim mogućim
Linearni kompozit je ona kombinacija ZV na kojoj se grupe najviše razlikuju

17. ANOVA vs MANOVA MANOVA povećava verovatnoću dobijanja razlika
MANOVA smanjuje porast greške tipa I
nivo značajnosti 0.05
veliki broj poređenja (pojedinačne ANOVA-e)
porast verovatnoće da odbacimo tačnu Ho

18. MANOVA PRETPOSTAVKE Veličina uzorka Normalnost raspodele Linaernost
u svakoj grupi N veće od broja ZV
10 ispitanika minimum za svaku ZV
Normalnost raspodele
multvarijatna normalnost , svaka kombinacija ZV ima normalnu raspodelu u svakoj od grupa
univarijatne normalnosti, svaka ZV ima normalnu raspodelu u svakoj od grupa
Linaernost
linearna povezanost svih parova ZV

19. MANOVA PRETPOSTAVKE Homogenost matrice kovarijansi i varijansi
Leveneov test (p>0.05)
Boxov M test (p>0.05) – slična povezanost ZV na svim nivoima NV
Ako su jednake grupe i veliki uzorak, a značajnost jako ispod nivoa, nije veliki problem
Multikolinearnost i singularnost
srednje korelacije: ne preko 0.7 (multikolinearnost) ili ispod 0.3 (singularnost)
Outlier

20. MANOVA PRETPOSTAVKE NV
ZV1
ZV3
ZV4
ZV2
ZV2 – suvišna, pokriva isti varijabilitet koji je već pokriven preostalim ZV
ZV2 – potencijalni kovarijat

21. MANOVA PRETPOSTAVKE Samo za MANCOVA: homogenost regresije
jednake korelacije svake ZV sa kovarijatom, u svakoj grupi

22. Multivarijatni testovi
Karakteristični koren λ (svojstvena vrednost matrice, eignevalue) i karakteristični vektor x (eigenvektor)
U matrici interkorelacija – broj za koji umanjene i pomnožene korelacije varijabli po jednoj dijagonali postaju jednak umnošku korelacija po drugoj dijagonali
determinanta sa najvišom eigenvalue sadrži najviše korelacije
za x0
a11
a12
a21
a22 
a11-
a12
a21
a22-

23. Multivarijatni testovi
Roy-ev max karakteristični koren (eigenvalue)
razlike samo na prvoj linearnoj kombinaciji
osetljiv na kršenje uslova
Wilksova Lambda
razlike na svim linearnim kombinacijama (karakterističnim korenovima)
odnos determinante greške i determinante “totala” (zbira efekata i greške)
procenat neobjašnjenog efekta
što je manji, to je veći efekat

24. Multivarijatni testovi
Hotellingov trag
razlike na svim linearnim kombinacijama
Pillaijev trag
robustniji od lambde, koristi se za male uzorke, nejednake grupe ili nejednake kovarijanse u grupama
Statistička snaga
Pillai > Wilks > Hotelling > Roy
U većini slučajeva svi daju sličan rezultat!

25. MANOVA - nedostaci
Linearne kombinacije (diskriminantne funkcije) je teško interpretirati
napravljene su da razlikuju grupe a ne konceptualno
Ima puno uslova koje je teško postići
Kako izbeći MANOVA-u
Faktorskom analizom izdovijiti kombinacije ZV pa raditi ANOVA-e

26. LITERATURA
Howel, D. C. (1997). Statistical methods for psychology (4th ed.). Pacific Grove, CA: Duxbury.
Tabachnick, G. Fidell, L. (2007). Using Multivariate Statistics (5th ed.). Pearson Education, Inc: Boston.