1. DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI –LOGISTIČKI MODEL -KAOS-
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
Zavod za matematiku
DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI –LOGISTIČKI MODEL -KAOS-
Petra Sabljić
Seminarski rad
Zagreb, 2009

2. SADRŽAJ Uvod Diskretni dinamički sustavi Grafička iteracija
Fiksne točke
Logistički model (populacijska jednadžba)
Kaos

3. UVOD- Dinamički sustavi
Kontinurani i diskretni
Rješavanje diferencijalnih i diferencijskih jednadžbi – analitičkim ili iteracijskim postupkom
Grafička iteracija- prikaz orbita sustava
Primjeri : meteorologija, kardiologija, biologija, prirodne znanosti, itd.

4. DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI
Promatramo realnu funkciju Uz
Iteracijom se dolazi do:

5. DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI
Primjer 1.
Sjeme orbite neka je 0
xo = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 5, x4 = 26,…, xn = velik
lim xn = +∞ za n→∞

6. DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI
x0 je fiksna točka za ƒ ako je ƒ(xo)= x0
Konstantan niz : x0, x1=x0, x2= x0…
- fiksna orbita
x0 je periodan za ƒ ako je ƒn(x0)=x0 , za n >0
n- ciklus: x0, x1, …, xn-1, x0, x1, …, xn-1, x0 xn
x2n

7. DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI -GRAFIČKA ITERACIJA
Primjer 2.
X0=0
x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = x0 = 0…
- 3-ciklus

8. DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI - FIKSNE TOČKE
Privlačne fiksne točke
|f ' (x0) |< 1
postoji okolina I točke x0 sa svojstvom da ako je y0  I, tada fn(y0)  I za svaki n, te da fn(y0) →x0 kad n→∞.

9. DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI - FIKSNE TOČKE
Odbijajuće fiksne točke
|f ' (x0) |> 1
za svaki I oko x0 postoji
y0 x0 i fn(y0) bježi iz I

10. DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI - FIKSNE TOČKE
Neutralne fiksne točke - sve može biti
f ' (x0) = ±1
0 je privlačna točka s jedne strane i odbijajuća s druge strane.

11. LOGISTIČKI MODEL - Populacijska jednadžba
t je vrijeme, k koeficijent rasta populacije,
M nosivi kapacitet
dx/dt predstavlja brzinu rasta populacije x’
k > 0
KONTINUIRANI LOGISTIČKI MODEL t x x0 M
Integriranje

12. DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL - Populacijska jednadžba
- k i M su pozitivni parametri, xn+1 predstavlja broj populacije slijedeće godine, a xn trenutnu populaciju
→ xn ≥ M, onda je xn+1 ≤ 0 - populacija izumire
Ako s xn označimo udio maksimalne populacije, 0 ≤ xn ≤ 1
λ > 0

13. DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL - Populacijska jednadžba
Logističko preslikavanje
Za poznatu vrijednost početne populacije
. . .

14. DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL - Dinamika modela
Promatra se zatvoreni interval I = [0,1]
1< λ <4
0 < λ ≤ 1 –ponor u 0
- populacija izumire
neovisno o x0
λ=1

15. DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL - Dinamika modela
1 < λ ≤ 2 – stabilizira se na λ -1/ λ, neovisno o x0
2 < λ ≤ 3 –stabilizira se na λ -1/ λ, ali prvo oscilira oko te vrijednosti
λ=2
f.t. = ½
(λ -1/ λ)
λ=2.5
f.t.=0.6
(λ -1/ λ)

16. DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL - Dinamika modela
3< λ < 3.45 – oscilacija između 2 vrijednosti
3.45< λ < (4 vrijednosti) …
λ=3.35
λ=3.54

17. DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL - KAOS
λ=4 - orbite zauzimaju cijeli interval

18. KAOS- Definicija kaotičnih sustava
f: I → I , I = [α, β]
Periodne su točke guste na I
f je tranzitivna na I; ako postoji x0  U1 tako da bude
xn  U2 za neki n, gdje U predstavlja otvoreni podinterval od I
f je senzibilna na I; ako postoji konstanta senzibilnosti β >0 takva da za bilo koji x0 U i neki otvoreni interval U oko x0, postoji sjeme y0 U i n > 0 takav da vrijedi:
> β

19. KAOS- Definicija kaotičnih sustava
Primjer 1. Dupliciranje
D (x) = 2x mod 1 D D2 D3
Dn (x) = 2nx mod 1

20. KAOS- Definicija kaotičnih sustava
Primjer 1. Dupliciranje
Periodne točke guste na [0, 1) ; duljina intervala je 1/2n
Za otvoreni interval J može se naći interval oblika [k/2n, ( k +1)/ 2n) unutar J za neki dovoljno veliki n, jer Dn preslikava J na cijeli [0, 1)
Konstanta senzibilnosti 1/2

21. LITERATURA
M.W.Hirch, S.Smale, R.L.Davaney, Differential Equations, Dynamical Systems and an Introduction to Chaos, second edition, Elsevier Academic Press 2003.