1. בעיות מילוליות – כיתה ה לקראת בעיות דו-שלביות בעיות דו-שלביות
בעיות רב-שלביות
בעיות לא שגרתיות

2. מדוע קשה לילדים לפתור בעיות מילוליות?
בפתרון בעיות מילוליות על הילדים להבין מתוך ההקשר הסיפורי את:
סוג העצמים
מספר העצמים
והקשרים ביניהם.

3. בעיות מילוליות – כיתה ד התלמידים מתחילים בבניית דרך עבודה שיטתית
בפתרון בעיות דו-שלביות. הם מתמקדים:
בניתוח טקסטים
בהבנת מצבים המתוארים בטקסט
בכתיבת תרגילים שבעזרתם אפשר לפתור את הבעיה.

4. בעיות מילוליות – כיתה ה
התלמידים עוסקים בבעיות שבהן מצבים וניסוחים מורכבים יותר.

5. לקראת בעיות דו-שלביות בעיות חד-שלביות
בבעיות חד-שלביות כל מרכיבי הבעיה נתונים בגוף
הטקסט.

6. המרכיבים המילוליים ? מספר הנוסעים בקו ת"א-נתניה בשנת 2005 היה -
5,525,973 ?
מספר הנוסעים בקו ת"א-נתניה בשנת 2005 היה -
ההפרש בין מספר הנוסעים בקו ת"א-נתניה לבין מספר הנוסעים בקו ת"א-חיפה בשנת 2005 היה – 2,926,640.
חסר אחד המספרים.
פתרון הבעיה: 5,525,973 = 2,599, ,926,640
2,599,333.

7. בעיות דו-שלביות
בעיות דו-שלביות בנויות משתי בעיות חד-שלביות (ברצף אחד).
כיתות
ספרים לכיתה
כל הספרים
40 = 20 : 800
הבעיה החד-שלבית הראשונה: כמה ספרים קיבלה כל כיתה?
20 = 2 : 40
הבעיה החד-שלבית השנייה: כמה ילדים בכיתה ה'?
ספרים לכיתה
ספרים לילד
תשובה: 20 ילדים בכיתה ה'.
ילדים בכיתה ה'

8. כדי להצליח בפתרון בעיות דו-שלביות יש לשים לב
לשני היבטים מהותיים:
זיהוי שתי הבעיות החד-שלביות
מציאת סדר הפתרון.

9. כיצד פותרים בעיה דו-שלבית?
א. נסחו את השאלה לכל אחת מהבעיות החד-שלביות.
ב. החליטו לפי איזה סדר יש לפתור את הבעיות.
ג. פתרו כל אחד מהשלבים.
ד. כתבו תשובה לבעיה.

10. שלבים לפתרון הבעיה 168 = 12 - 180 84 = 2 : 168 שלב ראשון:
תלמידים בקרון 3
תלמידים ב-2 קרונות
סה"כ התלמידים
שלב ראשון:
כמה ילדים יושבים ב-2 קרונות?
168 =
שלב שני:
כמה מקומות ישיבה בכל קרון?
84 = 2 : 168
קרונות
תלמידים ב-2 קרונות
מקומות ישיבה בקרון
בתרגיל אחד: 84 = 2 : (12 – 180)
תשובה לבעיה:
84 מקומות ישיבה בכל קרון.

11. מספרים "נוחים" 8 = 7 - 15 כמה קופסאות נשארו? 24 = 8 X 3
קופסאות שנמכרו
קופסאות שנשארו
8 =
כמה קופסאות נשארו?
כל הקופסאות
24 = 8 X 3
כמה כדורים נשארו בחנות?
קופסאות שנשארו
כדורים בכל קופסה
כדורים בחנות
תשובה: בחנות נשארו 24 כדורים ולכן, אין אפשרות לספק את הכדורים הנדרשים.

12. הפעולות המעורבות בפתרון בעיה
בעיות שפותרים על ידי צירוף של הפעולות חיבור וכפל
10 X (3 + 2)
דרגת קושי קלה
בעיות שפותרים על ידי צירוף של הפעולות חילוק וחיסור
2 – 10 : 50
דרגת קושי קשה
30 = 10 X
3 = 10 : 30

13. הפעולות המעורבות בפתרון בעיה המשך
בעיות שפותרים על ידי צירוף של הפעולות חיבור וחילוק
10 : ( )
בעיות שפותרים על ידי צירוף של הפעולות כפל וחיסור
5 – 10 X 5
דרגת קושי בינונית

14. הפעולות המעורבות בפתרון בעיה המשך
בכל יום שישי יש לכיתה ד' 5 שיעורים. כל שיעור אורך 45 דקות. ביום שישי השבוע שחרר המורה את התלמידים 15 דקות לפני גמר השיעור האחרון.
כמה דקות למדו התלמידים ביום שישי השבוע?
תשובה: התלמידים למדו ביום שישי השבוע 210 דקות.
פתרון ראשון: 210 = 15 – 5 X 45
על אף שפתרון בעיה זו הוא בעזרת הפעולות חיבור וכפל השאלה קשה כיוון שלא רק הפעולות קובעות את דרגת הקושי, אלא גם מבנה השאלה.
פתרון שני: 210 = X 45

15. סדר המאורעות בטקסט פתרון הבעיה: = 14 : (30 – 450)
ככל שסדר המשפטים המתאר את האירוע דומה לסדר האיברים בתרגילים שפותרים בעזרתם את הבעיה, דרגת הקושי של הבעיה נמוכה יותר.

16. כתיבת בעיות

17. מה הילדים מפיקים מכתיבת בעיות?
תהליך זה:
מחזק את יכולת התלמידים לשאול שאלות.
מקדם היבטים של יצירתיות וחשיבה מתמטית.
מרחיב את מגוון הבעיות.
מאפשר למורה להתחבר אל תחומי העניין של התלמידים.
משמש לאבחון רמת התלמידים.

18. בעיות רב-שלביות
בעיות שלפתירתן נדרשות שלוש פעולות או יותר.

19. בעיות רב-שלביות המשך
בעיות אלה מתבססות על מה שלמדו התלמידים ביחידות הקודמות ולכן מומלץ לאפשר להם להתמודד אתן בעצמם.

20. בעיות רב-שלביות המשך

21. בעיות רב-שלביות המשך

22. בעיות לא שגרתיות (בל"ש)

23. בעיות לא שגרתיות המשך

24. בעיות לא שגרתיות המשך

25. בעיות לא שגרתיות המשך

26. דרך העבודה המומלצת התלמידים יפתרו את הבעיות האלה בקבוצה קטנה.
התלמידים יעבדו בקבוצה באופן עצמאי.
אם יש תלמידים ש"נתקעים" בתהליך הפתרון יש לסייע להם בעזרת שאלות מנחות.
חשוב לערוך דיון כולל על דרכי העבודה, על פתרונות אפשריים ועל הכללות.

27. מטרת העיסוק בבעיות לא שגרתיות
הפעלת אסטרטגיות מגוונות.
התמקדות בתהליך הפתרון.
הרחבת נקודות המבט של התלמידים על נושאים, על מושגים ועל רעיונות.

28. בעיות לא שגרתיות המשך

29. בעיות לא שגרתיות המשך

30. בעיות לא שגרתיות המשך

31. בעיות לא שגרתיות המשך 2 מחוברים 22 32 3 מחוברים 42 4 מחוברים 529 32
3 מחוברים 16 42
4 מחוברים 25 52
5 מחוברים

32. בעיות לא שגרתיות המשך 202 400 = 20 = 2 : (1 + 39)
אם נוסיף 1 למחובר האחרון ונחלק את הסכום ב-2 נקבל את מספר האיברים.
20 = 2 : (1 + 39)
202
400 =
סכום כל המספרים:

33. בעיות לא שגרתיות המשך 1 4 9 16

34. בעיות לא שגרתיות - "אופק"

35. ממצאי המחקר- הרשקוביץ נשר *2001
לפתרון בעיה במתמטיקה דרושים ארבעה סוגי ידע שונים:
השלב הייצוגי.
לשוני עובדתי – חוקי השפה ועובדות העולם
סכמתי – הקשר שהפותר עושה עם ידע קודם שלו בפתרון בעיות
השלב החישובי.
אסטרטגי – שימוש נכון במודל המתאים המייצג את הבעיה
אלגוריתמי – היכולת לפתור
פתרון שגוי נובע מהתאמת סכמה שאיננה מתאימהׁ(**HOWARD).
Hershkovitz, S. and P. Nesher (2001). Pathway between Text and Solution of Word Problems. 26th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematica Education, Utrecht, The Netherlands.
Howard, R. W. (1987). Concept and Schemata. London, Cassel Educational: Artillery House.

36. במה נבדלים תלמידים המצליחים בפתרון בעיות מאלו שלא מצליחים?
ממצאים:
"פותרים טובים" יודעים יותר מ"פותרים לא טובים". הידע קשור היטב בתחום התוכן ומאורגן בסכמות עשירות.
"פותרים טובים" מתמקדים במבנה העומק בעוד ש "פותרים לא טובים" מתייחסים למבנה השטח.
"פותרים טובים" מודעים לנקודות החולשה שלהם.
"פותרים טובים" יודעים לבקר את ניסיונותיהם.
"פותרים טובים" מחפשים פתרונות "אלגנטיים".
Lester, F. K. (1994). "Musings About Mathematical Problem Solving Research:
" Journal for Research in Mathematics Education 25(6):

37. לתשומת ליבכם... התלמידים צריכים לפתור הרבה בעיות כדי לשפר את יכולתם.
יכולת פתרון בעיות מתפתחת לאט.
כדי שתלמידים ירוויחו מההוראה הם צריכים להאמין שהמורים שלהם חושבים שפתרון בעיות חשוב.
רוב התלמידים מרוויחים מאוד מהוראה שיטתית של פתרון בעיות.