1. Metóda Konečných Prvkov vo výrobných technológiach
prednáška č. 6

2. Obsah prednášky MKP v dynamike telies
Základné pojmy v lineárnej dynamickej analýze
Rovnice dynamickej rovnováhy telesa
Matica hmotnosti
Matica tlmenia
Typy dynamických analýz
Modálna analýza
Určenie vlastných tvarov kmitania
Určenie vlastných frekvencií kmitania

3. MKP v dynamike Rozdiel medzi statickou a dynamickou analýzou:
zaťažujúce sily sa v čase menia (nestacionárna úloha)
posunutia, rýchlosti, zrýchlenia, deformácie a napätia sú časovo závislé
čas vystupuje ako ďalšia premenná
úlohu riešime v nejakom časovom intervale
rovnica
K a(t) = f(t)
vyjadruje podmienku rovnováhy telesa v danom časovom okamihu
pre dynamické úlohy je potrebné túto rovnicu rozšíriť o účinok zotrvačných a vnútorných tlmiacich síl

4. MKP v dynamike

5. Základné pojmy Rovnice dynamickej rovnováhy:
podľa d´Alambertovho princípu zahrnieme zotrvačné sily do MKP formulácie ako objemové sily
kde ü je lokálny vektor zrýchlenia všeobecného bodu prvku
äe je lokálny vektor (zovšeobecnených) zrýchlení uzlových bodov
prvku
re je hustota materiálu prvku

6. Základné pojmy Matica hmotnosti:
V prvkoch konštrukcie pribudne zotrvačná sila
kde Me je lokálna matica hmotnosti prvku
Ak miesto äe použijeme globálny vektor zrýchlení uzlových bodov prvku äe dostaneme globálnu maticu hmotnosti prvku Me a globálny vektor zotrvačných síl fze prvku.

7. Základné pojmy
Súčtom rozšírených globálnych vektorov zotrvačných síl prvku dostaneme globálny vektor zotrvačných síl konštrukcie fz
kde M je matica hmotnosti konštrukcie.
Rovnice rovnováhy konštrukcie potom budú mať tvar
kde

8. Základné pojmy
Ak pri odvodení matice hmotnosti rozdelíme celkovú hmotnosť prvku do uzlov na základe „spriemerovania“ dostaneme tzv. maticu sústredenej hmotnosti prvku (lumped matrix). Pre určitú časť hmotnosti prvku sa predpokladá konštantné zrýchlenie rovné zrýchleniu uzla. Získané matice sú diagonálne.
Ak sa pri odvodení uplatňujú interpolačné matice pre hodnoty zrýchlení bodov prvku mimo uzlov prvku, t.j. na aproximáciu zmeny zrýchlenia v objeme prvku sa využíva tá istá matica interpolačných funkcií Ne ako pre posunutia bodov, dostaneme tzv. konzistentnú maticu hmotnosti (consistent matrix).

9. Základné pojmy Matica tlmenia:
Podobným spôsobom môžeme do formulácie dynamickej úlohy zahrnúť tlmiace sily, ktorá závisia od rýchlosti bodu telesa.
Dynamické rovnice rovnováhy konštrukcie (telesa) budú mať potom tvar
kde C je matica tlmenia telesa
å je vektor rýchlostí uzlov konštrukcie
ke je parameter určujúci tlmiace vlastnosti prvku

10. Základné pojmy
Tento parameter je obtiažne určiť a preto sa v praxi globálna matica tlmenia C netvorí z matíc tlmenia prvkov, ale vytvára sa pomocou matíc hmotnosti M a tuhosti K konštrukcie.
Často sa predpokladá tzv. proporcionálne (Rayleighovo) tlmenie a potom
ako aproximácia reálneho tlmenia telesa, ktoré sa skladá z vonkajšieho tlmenia (odpor prostredia), vnútorného (materiálového) tlmenia a konštrukčného tlmenia.
Súčiniteľe a, b sa určujú experimentálne.
Vo všeobecnosti: tuhostné tlmenie tlmí viac vyššie frekvencie a menej nižšie, kým pri hmotnostnom tlmení je to opačne.

11. Typy dynamických analýz
Modálna analýza
Harmonická analýza
Spektrálna analýza
Prechodová analýza

12. Metódy riešenia metódy priamej integrácie pohybových rovníc
explicitné – metóda stredovej diferencie
implicitné – Houboltova metóda
Wilsonova –metóda
Newmarkova metóda – najčastejšie používaná (ANSYS)
metóda superpozície vlastných tvarov

13. Modálna analýza Cieľ modálnej analýzy: Využitie modálnej analýzy:
určenie vlastných frekvencií kmitania
určenie vlastných tvarov kmitania
Využitie modálnej analýzy:
vyhnutie sa neželaným vibráciam v rezonančnej oblasti
naladenie sústavy na vlastnú kruhovú frekvenciu
ako základný prvok pre ďalšie typy analýz

14. Modálna analýza Matematická formulácia problému
(tlmenie a zaťaženie nie sú uvažované) čiže
riešenie predpokladáme v tvare
kde w je vlastná kruhová frekvencia
 je vektor vlastných tvarov (módov) kmitania, ktorý obsahuje
veľkosť amplitúd zložiek kmitania uzlových bodov telesa
nezávislých od času, ale len od počiatočného impulzu, ktorý
ich vyvolal

15. Modálna analýza
Matematická formulácia prejde na problém vlastných čísiel
Pre neupevnené teleso je K singulárna a riešením je aj w = 0 (tuhý pohyb telesa). To vedie na rovnicu K atuh.teleso = 0 čo sa často využíva pri kontrole kvality zvolených prvkov.
Pri hľadaní nenulových hodnôt vlastných frekvencií sa úloha redukuje odobraním riadkov a stĺpcov zodpovedajúcich odstráneným stupňom voľnosti
potom zovšeobecnený problém vlastných čísel má nenulové riešenia vtedy, ak

16. Modálna analýza w12, w22, ..., wn2 Rozpísaním determinantu
dostaneme algebraickú rovnicu n-tého stupňa pre výpočet w2.
Korene tejto rovnice predstavujú vo všeobecnosti n vlastných čísiel, v tomto prípade n druhých mocnín vlastných kruhových frekvencií telesa
w12, w22, ..., wn2
Frekvencii wi potom zodpovedá vektor i - vlastný tvar kmitania telesa pri tejto frekvencií.

17. Modálna analýza Z rovnice vyplýva:
Ak Fi je riešením tak aj ci je riešením, t.j. amplitúdy voľného kmitania môžu mať (teoreticky) ľubovolnú hodnotu v závislosti od začiatočného impulzu, ktorý pohyb vyvolal.
Preto pri výpočte amplitúd i sústavy pre známu frekvenciu wi amplitúdy normujeme, napr. tak že fin = 1
Dostaneme tak správny relatívny pomer amplitúd uzlov telesa.
Absolútne hodnoty amplitúd uzlov sú závislé od spôsobu normovania.

18. Modálna analýza
Na riešenie problému sa používajú v programe ANSYS nasledovné algoritmy
- Block Lanczos (default)
Subspace
Power Dynamics
Reduced
Unsymmetric
Damped (full)
QR Damped

19. Modálna analýza
Pri riešení pomocou metódy superpozície vlastných tvarov je potrebné normovať každý vlastný tvar tak, aby
alebo
Špeciálnou vlastnosťou vlastných tvarov, ktorá sa pri tejto metóde využíva je ich ortogonálnosť vzhľadom na M a K

20. Príklad - jednorozmerná netlmená dvojhmotová sústava
Vypočítajte vlastné tvary a frekvencie kmitania
k = 128 Nm-1 m = 1 kg
u2(t)
u3(t)
u1 = 0 2k k 2m m F 3 2 1

21. Matica tuhosti a hmotnosti sústavy
Dosadením do

22. Po redukcií sústavy rovníc (pre u1 = 0)
Dostaneme redukovanú sústavu rovníc
Po roznásobení dostaneme kvadratickú rovnicu

23. Výsledkom riešenia sú 2 vlastné frekvencie
t.j.
Vlastný tvar kmitania (vektor i ) pre i-tu vlastnú frekvenciu určíme z

24. Ak zvolíme normovanie f3i = 1 dostaneme 2 vlastné tvary (vektory) pre obe vlastné frekvencie kmitania.
Normovanie vzhľadom na M
Modálna matica konštrukcie  má potom tvar