1. قسم الرياضيات ورشة عمل للصف الحادي عشر علمي الوحدة التاسعة ( 9-1)
وزارة التربية
الإدارة العامة لمنطقة العاصمة التعليمية
ثانوية العصماء بنت الحارث بنات
ورشة عمل
للصف الحادي عشر علمي الوحدة التاسعة ( 9-1)
بأشراف الموجهه الأولى
أ/ حصة العلي
الموجه الفني
أ/ عبد الوهاب نور الدين
رئيسة القسم
عنها أ/ أمل الكعبي
مديرة المدرسة أ / خيال الابراهيم

2. أعداد وتنسيق : أ / نيفين غطاس
تقديم : أ / بدر عزت

3. تطبيقات على حساب المثلثات Applications of Trigonometry
الوحدة التاسعة
تطبيقات على حساب المثلثات
Applications of Trigonometry
مشروع الوحدة : الموجات الصوتية

5. 1 – مقدمة المشروع : أنت تسمع في الإذاعات عن تردد الموجات الصوتية وقياساتها وكيف تصل إلى مسامعك من خلال موجات متتالية لها قوانين ووحدات قياس معرفة .
2 – الهدف : قياس بعض الموجات البسيطة .
3 – اللوازم : ورق رسم بياني – آلة حاسبة علمية .
4 – أسئلة حول التطبيق : نربط خيطاً مطاطياً من طرفيه بوتدين ثابتين . إذا ضغطنا على الخيط عمودياً ، ثم تركناه نلاحظ أنه يهتز محدثاً موجات صوتية متتالية وخفيفة . لنفرض أنه لا يوجد أي احتكاك أو صدى ، يمكن نمذجة هذه الموجات بالمعادلة :
Y = ym sin (kx – wt) ، حيث ym هي السعة بالأمتار ((m ؛ k و w هما كميتان ثابتتان ؛ t هو الزمن ؛ x هي المسافة من أحد طرفي الخيط إلى نقطة الضغط .
يتأثر تردد الموجة الصوتية بالمسافة x وبالزمن t ، لذلك للموجة حركتان أفقية وعمودية عبر الزمن . لنأخذ المعادلة :
Y = sin ( 68.3x – 2.68t )
a – ماسعة الموجة ym ؟ وما الثابت w بالراديان في الثانية ؟
b – إن تردد الموجات الصوتية هو عدد الأهتزازات في الثانية ويعطى بالقانون w
= f

6. ووحدته هرتز Hertz . أوجد تردد الموجة أعلاه .
c – طول الموجة الصوتية هو أقصر مسافة تتكرر فيها الموجة في فترة زمنية محددة t . يعطى طول الموجة بالقانون :
فما طول الموجة أعلاه ؟
d – مثل بيان الدالة إذا كانت = 1 m
e – تتردد موجتان معاً على الخيط نفسه . وينمذج تردد الموجتين معاً بالمعادلة :
= ، حيث :(k - wt) ym sin = y ، ) + wt – (k y =ym sin
حيث تمثل الفرق بين الموجتين بإزاحة أفقية ثابتة مستخدماَ المتطابقات المثلية اكتب :
+ = كناتج ضرب. ] إرشاد: ( ) cos ( ) 2sin = sin q+[sin p
f – أوجد y ، y ثم y في حالة
ym = m , = 2.5 radians , = 0.09 m , = 2.3 hertz مثل بيان كل من y ، y ، y في نظام إحداثي واحد ، علماَ أن 1 m=
= f k
P+q
p-q f
5 – التقرير : اكتب تقريراَ مفصلاَ يبين خطوات العمل التي قمت بها وأشر إلى المتطابقات المثلثية التي استعنت بها . أرفق تقريرك بالتمثيلات البيانية الملونة .

7. الأهداف السلوكية
1 – يذكر الطالب المتطابقات المثلثية الأساسية ( متطابقات القسمة – متطابقات المقلوب – متطابقات فيثاغورث )
2 – يذكر الطالب أي الدوال المثلثية زوجية أيها فردية
3 – يبسط الطالب المقادير المثلثية عن طريق استخدام المتطابقات المثلثية الأساسية
4 – يستخدم الطالب المتطابقات المثلثية لتبسيط مقادير تتضمن كسوراَ
5 – يحلل الطالب المقادير المثلثية
6 – يحل الطالب مسائل متنوعة الأفكار على ماسبق

8. يتم تقسيم بند ( 9-1) الى ثلاثة حصص 1 – الحصة الأولى
المتطابقات المثلثية الأساسية
2 – الحصة الثانية
تستخدم المتطابقات المثلثية لتبسيط مقادير تتضمن كسوراً
3 – الحصة الثالثة
متطابقات الدوال المثلثية الزوجية أو الفردية

9. الحصة الأولى

10. دعنا نفكر و نتناقش
المتطابقة هي معادلة تمثل عبارة صحيحة لجميع قيم المتغير ما عدا القيم التي يكون فيها أي طرف من طرفي المعادلة غير معرف

11. المتطابقة المثلية هي متطابقة تتضمن تعبيراً مثلياً
باستخدام نظرية فيثاغورث ودائرة الوحدة ، يمكن أن نكتب :
إذا عوضنا عن بـ cos وعن بـ sinنحصل على
cos sin = لكل قيم
cos sin = 1 : هي من متطابقات فيثاغورث
المعادلة

12. cos , sin ))
( و )

13. نستخدم المتطابقات المثلية الأساسية لتحويل المقادير المثلية إلى شكل أبسط .
المتطابقات المثلية الأساسية Trigonometric Identities
متطابقات القسمة ( الظل وظل التمام )
Quotient Identities (Tangent and Cotangent)
Sin
cos
tan =
cot =
Sin
cos

14. متطابقات المقلوب Reciprocal Identities
cos 1 , 1
sin , 1
sec =
csc =
cot =
tan
متطابقات فيثاغورث Pythagorian Identities
sin 2
= 1
cos + ,
1 + tan
= sec 2 ,
1 + cot 2
= csc

15. الحل مثال (1) بسط المقدار : sin - sin Sin عامل مشترك3
بسط المقدار : sin - sin
الحل
Sin عامل مشترك 2 3
sin - sin = sin ( 1 – sin )
متطابقة فيثاغورث 2
sin cos=

16. الحل حاول أن تحل متطابقة فيثاغورث بأخذ 3 عامل مشترك
1 - بسط المقادير التالية : - 2 2
( a ) 3cos sin
الحل
متطابقة فيثاغورث
بأخذ 3 عامل مشترك 2 2
3 (cos sin )
= 3 × = 3 1

17. الحل متطابقة فيثاغورث متطابقة المقلوب بأخذ cos عامل مشترك2 2 2
( b ) cos tan cos
الحل
متطابقة فيثاغورث
بأخذ cos عامل مشترك 2 2 2
cos (1 + tan ) = 2 2
sec = = cos
متطابقة المقلوب 1 2 1
cos = 1 2
cos 1

18. باستخدام متطابقتي المقلوب وناتج القسمة
مثال 2
بسط التعبير المثلثي التالي : csc tan
الحل
باستخدام متطابقتي المقلوب وناتج القسمة
csc tan = 1
sin
sin
cos
أضرب = 1
sin
sec =
sin cos 1
بسط = 1
cos

19. الحل = 2 – بسط التعبير المثلثي التالي : sec cot متطابقة المقلوب
حاول أن تحل
2 – بسط التعبير المثلثي التالي : sec cot
الحل
متطابقة المقلوب
sec cot 1
cos
cos 1 = =
cos
sin
sin
cos 1 1 = =
csc
sin

20. الحصة الثانية

21. تستخدم المتطابقات المثلثية لتبسيط مقادير تتضمن كسوراً

22. مثال 3 الحل = sin cos cos 1 – sin cos cos sin (1 – sin )
أوجد مقاماً مشتركاً
(1- sin )cos
cos (1 – sin ) 2 =
cos - ( sin ) (1 – sin )
أطرح البسط
( 1 – sin ) cos = 2 2
cos - sin + sin
متطابقة فيثاغورث
( 1 – sin ) cos 1 1
1 – sin
متطابقة المقلوب = =
sec =
(1 – sin ) cos
cos 1

23. الحل حاول أن تحل متطابقة فيثاغورث متطابقة المقلوب =
3- بسط المقادير التالية : - 2 2
( a ) cos (1 + tan )
متطابقة فيثاغورث
الحل 2 2
cos (1 + tan ) =
متطابقة المقلوب 2 2
cos sec = 2 1 1 2
cos
cos =
= 1 2 2
cos
cos 1

24. الحل ( b ) 1 – cos sin + 1 – cos متطابقة فيثاغورث sin sin sin (1 – cos2 2
متطابقة فيثاغورث
1 – 2cos + cos +sin =
sin
(1 – cos )
2 – 2cos =
sin
(1 – cos ) 1
2 (1- cos ) 2 = = =
csc 2
sin
(1 – cos )
sin 1

25. إن إحدى طرق تبسيط المقادير المثلثية هي تحويلها إلى مقادير مثلثية بدلالة جيب وجيب التمام

26. متطابقتا القسمة والمقلوب
مثال 4
بسط المقدار : sin tan - sec
الحل
متطابقتا القسمة والمقلوب
sin tan - sec sin
sin 1 =
cos
cos = 2
sin
متطابقة فيثاغورث
cos = 2
= - cos
- cos
cos

27. يمكننا أن نتحقق من نتيجة مثال ( 4 ) بيانياً وذلك بتمثيل الدالة y1= sin tan - sec وكذلك تمثيل بيان الدالة y2 = - cos في المستوى الأحداثي نفسه وسنلاحظ أن التمثيلين البيانيين للدالتين منطبقان ( يمكن استخدام الة الحاسبة البيانية )

29. حاول أن تحل الحل بسط المقدار : tan cot - sin متطابقة القسمة sin cos ــ2
بسط المقدار : tan cot - sin
الحل
متطابقة القسمة 2
sin
cos ــ
sin =
cos
sin 1 1
cos
sin ــ 2
sin =
متطابقة
فيثاغورث
cos
sin 1 1 2 2
1 – sin = cos =

30. الحصة الثالثة

31. متطابقات الدوال المثلثية الزوجية أو الفردية Even-Odd Trigonomertric Identities
تعلمت سابقاً أن دالة الجيب دالة فردية ودالة جيب التمام دالة زوجية .
بدراسة الأشكال التالية أكمل الجدول التالي :

32. M(cos ,sin )
M(cos ,sin )
N(cos( ),sin( ))
N(cos( ),sin( ))

33. تذكر :
تكون الدالة ( ) f = y والتي مجالها D بشرط
: D
دالة زوجية إذا وفقط إذا كان :
( ) f = ( -) f
(2) دالة فردية إذا وفقط إذا كان :
( ) - f = ( -) f

34. الدالة نوعها المتطابقة sec( )=
دالة الجيب
دالة فردية
sin( )= - sin
دالة جيب التمام
دالة زوجية
cos( )= cos
دالة الظل
دالة
tan( )= -tan
دالة قاطع التمام
csc( )=
دالة القاطع
sec( )=
دالة ظل التمام
cot( )=
فردية
-csc
فردية
sec
زوجية
-cot
فردية

35. sin ( - ) – cos ( - ) sin ( - ) – cos ( - ) = = = =
مثال 5 2 2
sin ( - ) – cos ( - )
بسط المقدار التالي:
sin ( - ) – cos ( - )
الحل 2
sin ( - ) – cos ( - ) 2 =
sin ( - ) – cos ( - ) 2
cos ) ) ( - sin ) - 2 2 2
sin - cos =
- sin – cos
- ( sin + cos ) 1
sin +cos ) )sin - cos )) =
sin + cos )) - 1
sin + cos - =

36. الحل بسط المقدار التالي : حاول أن تحل sec ( - ) – tan ( - ) sec ( - )2 2
sec ( - ) – tan ( - )
sec ( - ) 2 2
( sec ) - (-tan )
الحل =
sec 2 2
sec(- )=sec
tan(- )=- tan
1+tan = sec
sec - tan =
sec 2 2
sec - (sec ) = 2 2
sec 2 2
sec - sec +1 1
cos = = =
sec
sec

37. تحليل المقادير المثلثية Factorising Trigonometric Expressions
يمكن تحليل المقادير المثلثية وذلك بكتابتها بدلالة دالة مثلثية واحدة

38. مثال 6 الحل اكتب 1 + cos - sin في صورة ناتج ضرب عوامل .2
اكتب 1 + cos - sin في صورة ناتج ضرب عوامل .
الحل 2 2
بسبب عدم إمكانية التحليل نستبدل sin بـ cos
متطابقة فيثاغورث 2 2
sin =1 + cos (1 – cos ) cos 2
= 1 + cos cos 2
= cos + cos
= cos ( 1 + cos )

39. الحل حاول أن تحل sin ( sin – 1 ) sin ( sin + 1 ) ( sin - 1 ) =4 2
اكتب sin - sin في صورة ناتج ضرب عوامل .
الحل 2 2
sin ( sin – 1 ) 2 =
sin ( sin ) ( sin )

40. مثال 7 الحل حلل المقدار : sec + tan - 32
حلل المقدار : sec tan - 3
الحل 2 2
نستبدل sec بـ ( 1 + tan ) ليكون المقدار بدلالة دالة مثلثية واحدة 2 2
- 3 sec + tan = 1 + tan + tan 2
بسط = tan + tan
حلل ( = ( tan ) ( tan

41. الحل حاول أن تحل حلل المقدار : sin - sin + ( sin - ) (sin - ) 5 3 4 82 4
الحل 8
( sin ) (sin ) 1 3 2 4

42. شكراً جزيلاً لكم
مع تحيات قسم الرياضيات =