1. ISETc 2010, Timisoara, November 11, 2010
A Second Order Statistical Analysis of the Hyperanalytic Wavelet Transform
LE DEBRUITAGE DES IMAGES SONAR EN UTILISANT LA THEORIE DES ONDELETTES
SORIN MOGA ET ALEXANDRU ISAR
1Corina Nafornita, 1,2Ioana Firoiu, 1Dorina Isar, 2Jean-Marc Boucher and 1Alexandru Isar
Transformarile wavelet complexe se folosesc tot mai frecvent datorita performantelor lor care sunt superioare performantelor transformarilor wavelet reale. Astfel transformarea wavelet hiperanalitica este cvasi-invarianta la translatii si are o selectivitate directionala mai buna decat transformarea wavelet discreta bidimensionala.
Membrii echipei noastre de cercetare au folosit deja transformarea wavelet hiperanalitica pentru reducerea zgomotului care perturba imaginile si pentru protectia drepturilor de autor asupra imaginilor. Ambele aplicatii mentionate se preteaza la prelucrari statistice. De aceea, subiectul acestei lucrari este o analiza statistica de ordinul doi a transformarii wavelet hiperanalitice.
1 Politehnica University of Timisoara, Romania
2Telecom Bretagne, France

2. Hyperanalytic Mother Wavelet
Transformarea wavelet hiperanalitica este asemănătoare cu transformata wavelet complexă cu arbore dublu. Versiunea de transformare wavelet hiperanalitica care face obiectul acestei lucrari reprezintă o generalizare a transformării wavelet analitice pentru cazul semnalelor bidimensionale. Această generalizare presupune definirea unui semnal bidimensional care să corespundă semnalului analitic din cazul unidimensional. Spectrul semnalului analitic este identic nul la frecvenţe negative şi egal cu dublul spectrului semnalului la care este asociat semnalul analitic pentru frecvenţe pozitive. Această condiţie este satisfăcută doar de semnale complexe. De aceea partea reală a semnalului analitic asociat unui semnal real dat este identică cu acel semnal iar partea imaginară a semnalului analitic se obţine calculând transformata Hilbert a semnalului la care este asociat semnalul analitic. Spectrul semnalului ‘analitic’ bidimensional are patru cadrane. Problema definiţiei semnalului ‘analitic’ bidimensional (numit şi semnal hiperanalitic) este că el trebuie să aibă o ‘parte reală’ şi trei ‘părţi imaginare’. În consecinţă pentru definirea sa nu mai este suficientă algebra numerelor complexe. Profesorul Sofia Charlotta Olhede de la departamentul de statistica al University College din Londra, a definit un semnal ‘analitic’ bidimensional folosind algebra cuaternionilor, cu ajutorul căruia a definit o variantă de transformare wavelet hiperanalitică. Dezavantajul algebrei cuaternionilor este că nu este comutativă în raport cu înmulţirea. De aceea varianta de transformare wavelet hiperanalitică definită de Sofia Olhede nu poate fi redusă la intrare. Varianta de transformare wavelet hiperanalitică care se studiaza in acesata lucrare porneşte de la algebra numerelor hipecomplexe propusă de Clyde Davenport, care este comutativă în raport cu înmulţirea. Numarul hipercomplex Z are partea reala x si ‘partile imaginare’ y, z si t. Conjugatul sau hipercomplex este numarul Z*. In cea de a treia ecuatie este prezentata forma canaonica a numarului hipercomplex Z. Undisoara mama hipercomplexa este definita in ecuatia urmatoare.
Ioana Adam, Corina Nafornita, Jean-Marc Boucher, Alexandru Isar, A New Implementation of the Hyperanalytic Wavelet Transform , ISSCS /14

3. Hyperanalytic Wavelet Transform
LE DEBRUITAGE DES IMAGES SONAR EN UTILISANT LA THEORIE DES ONDELETTES
SORIN MOGA ET ALEXANDRU ISAR
Această variantă de transformare wavelet hipercomplexă poate fi redusă la intrare: transformata wavelet hiperanalitică a unei imagini reale este egală cu transformata wavelet bidimensională discretă a imaginii hiperanalitice asociată acelei imagini.
Ioana Adam, Corina Nafornita, Jean-Marc Boucher, Alexandru Isar, A New Implementation of the Hyperanalytic Wavelet Transform , ISSCS /14

4. Enhancement of directional selectivity
LE DEBRUITAGE DES IMAGES SONAR EN UTILISANT LA THEORIE DES ONDELETTES
SORIN MOGA ET ALEXANDRU ISAR
Varianta de transformare wavelet hiperanalitică care face obiectul acestei lucrari presupune calculul a patru transformări wavelet discrete bidimensionale. Prima este aplicată imaginii care trebuie prelucrată, cea de a doua se aplică transformării Hilbert pe linii a imaginii de prelucrat, cea de a treia se aplică transformării Hilbert pe coloane a imaginii de intrare iar utlima se aplică transformării Hilbert pe coloane a transformării Hilbert pe linii a imaginii de intrare. După calculul celor patru transformări wavelet discrete bidimensionale, se efectuează câteva transformări liniare ale coeficienţilor de detalii obţinuţi, pentru a se creşte selectivitatea direcţională a transformării wavelet. Deci transformata wavelet hiperanalitică este redundantă, factorul de redundanţă fiind egal cu 4.
Aceasta varianta de transformare wavelet hiperanalitică are un grad de invarianţă la translaţii apropiat de gradul de invarianţă la translaţii al transformării wavelet complexe cu arbore dublu bidimensională (care are acelaşi factor de redundanţă). De asemenea,ea este cvasi-invariantă la rotaţii. Nu în ultimul rând, din punct de vedere al selectivităţii direcţionale varianta de transformare wavelet hiperanalitică studiata este echivalentă cu transformarea wavelet complexă cu arbore dublu bidimensională.
Ioana Adam, Corina Nafornita, Jean-Marc Boucher, Alexandru Isar, A New Implementation of the Hyperanalytic Wavelet Transform , ISSCS /14

5. 2D-DWT
D04
Deoarece calculul variantei de transformare wavelet hiperanalitica care face obiectul acestei lucrari revine la calculul a patru transformari wavelet discrete bidimensionale, membrii echipei noastre de cercetare s-au ocupat recent de analiza statistica de ordinul doi a transformarii wavelet discrete bidimensionale.
O iteratie a acestei transformari (reprezentata in figura din mijloc) prespune doua categorii de operatii: pe linii si pe coloane. In fiecare caz se face o filtrare trece-jos (cu m0) urmata de o decimare respectiv o filtrare trece-sus (cu m1) urmata de decimare. Se obtin patru sub-imagini, una de aproximari (pe ramura cu doua filtre trece-jos) si trei de detalii (pe celelalte ramuri): orizontale, verticale si diagonale. Aceste sub-imagini se mai numesc si sub-benzi. In continuare indicele iteratiei va fi m iar indicele sub-benzii va fi k. m se mai numeste si indice de scara. Coeficientii de aproximare corespund unei analize multirezolutie. In urma unei iteratii a transformarii wavelet discrete se trece de la o rezolutie (scara de reprezentare) la o rezolutie de doua ori mai slaba.
Pentru imaginea din stanga, efectuand trei iteratii ale transformarii, se obtine imaginea din dreapta, pe care sunt marcate sub-imaginea de aproximari obtinuta dupa a treia iteratie (m=3, k=4), si sub-imaginile de detalii obtinute dupa fiecare din cele trei iteratii (m=1,2,3 si k=1,2,3).
C. Nafornita, I. Firoiu, D. Isar, J. M. Boucher, A. Isar, “A Second Order Statistical Analysis of the 2D DWT”-Communications 2010, Bucharest, June /14

6. Second Order Statistical Analysis
m-scale, k-subband
intra-scale and intra-band
inter-scale and inter-band
inter-scale and intra-band
intra-scale and inter-band
Analiza statistica de ordinul doi consta din calculul mediilor statistice ale coeficientilor wavelet precum si din calculul intercorelatiilor acestora. Mediile statistice ale tuturor sub-imaginilor de detalii sunt egale cu 0 (indiferent de valoarea lui m). Media statistica a coeficientilor de aproximare creste cu cresterea lui m.
Exista patru tipuri de dependente ale coeficientilor wavelet de detalii:
Intra-scara si intra-banda (se calculeaza autocorelatia coeficientilor wavelet de la aceiasi scara si din aceiasi sub-banda);
Inter-scara si inter-banda (se calculeaza intercorelatia coeficientilor wavelet de la scari diferite situati in sub-benzi diferite);
Inter-scara si intra-banda (se calculeaza intercorelatia coeficientilor wavelet de la scari diferite situati in aceiasi sub-banda) si
Intra-scara si inter-banda (se calculeaza intercorelatia coeficientilor wavelet de la scari diferite dar situati in aceiasi sub-banda).
C. Nafornita, I. Firoiu, D. Isar, J. M. Boucher, A. Isar, “A Second Order Statistical Analysis of the 2D DWT”-Communications 2010, Bucharest, June /14

7. Dependencies
Cazul cel mai general corespunde dependentei inter-scara si inter-banda. Intercorelatia coeficientilor wavelet de la scarile m1 si m2=m1+q situati in pozitiile (n1,p1) si respectiv (n1’,p1’) cu n1’=2-qn1 si p1’=2-qp1 se calculeaza pe baza convolutiei dintre autocorelatia esantionata a imaginii de intrare x si intercorelatia esantionata a celor doua undisoare mama care genereaza sub-banda considerata. Daca imaginea de intrare este un zgomot alb Gaussian de medie nula bidimensional, w, atunci dependenta inter-scara si inter-banda se simplifica, depinzand doar de intercorelatia esantionata a celor doua undisoare mama care genereaza sub-banda considerata.
In continuare se va considera ca se lucreaza cu undisoare mama ortogonale, a caror autocorelatie esantionata este egala cu impulsul unitar.
In cazul dependentei inter-scara si intra-banda intercorelatia coeficientilor wavelet de la scarile m1 si m2=m1+q din sub-banda k situati in pozitiile (n1,p1) si respectiv (n1’,p1’) cu n1’=2-qn1 si p1’=2-qp1 depinde doar de autocorelatia esantionata a imaginii de intrare x.
In cazul dependentei intra-scara si intra-banda, autocorelatia coeficientilor wavelet de la scara m si din sub-banda k situati in pozitiile (n1,p1) si (n2,p2) depinde doar de autocorelatia esantionata a imaginii de intrare x. Daca aceasta este de tip zgomot alb Gaussian de medie nula atunci autocorelatia coeficientilor wavelet de la scara m si din sub-banda k devine proportionala cu impulsul unitar bidimensional in timp discret. Rezulta ca transformarea wavelet discreta bidimensionala nu coreleaza zgomotul alb Gaussian, in ciuda utilizarii filtrelor m0 si m1.
Asimptotic, cand m tinde la infinit, autocorelatia coeficientilor de la aceiasi scara si din aceiasi sub-banda tinde la impulsul unitar bidimensional in timp discret ponderat. Ponderea este egala cu densitatea spectrala de putere a imaginii de la intrare calculata in origine.
De aceea se poate afirma ca transformarea wavelet discreta bidimensionala are un efect de albire.
C. Nafornita, I. Firoiu, D. Isar, J. M. Boucher, A. Isar, “A Second Order Statistical Analysis of the 2D DWT”-Communications 2010, Bucharest, June /14

8. Second Order Statistical Analysis
m-scale, k-subband
inter-scale and inter-band
inter-scale and intra-band
intra-scale and inter-band
intra-scale and intra-band
inter-scale and inter-band
inter-scale and intra-band
intra-scale and inter-band
intra-scale and intra-band
Acum se poate trece la analiza statistica de ordinul doi a transformarii wavelet hiperananlitice.
Fiecare trunchi de piramida din figura corespunde la cate o transformare wavelet discreta bidimensionala. Aceasta analiza este mai complicata deoarece acum ne putem referi si la sub-benzi apartinand la trunchiuri de piramida diferite.
Mediile statistice ale coeficientilor z+ si z- de detalii sunt egale cu zero.
Si in acest caz se poate vorbi de aceleasi patru tipuri de dependenta:
Inter-scara si inter-banda, inter-scara si intra-banda, intra-scara si inter-banda si intra-scara si intra-banda.
De aceasta data insa, tinand seama de faptul ca z+ si z- sunt coeficienti complecsi, trebuie sa luam in considerare si intercorelatiile dintre partile lor reale si imaginare.
7/14

9. 8/14 inter-scale and inter-band
Cea mai complicata dependenta este cea de tip inter-scara si inter-banda. Asimptotic, pentru m1 tinzand la infinit, partile reale si imaginare ale coeficientilor z+ respectiv z- sunt decorelate. Acest rezultat teoretic, obtinut in lucrare, este verificat si prin simulare. In figura din stanga este prezentata autocorelatia imaginii a carei transformata wavelet hiperanalitica se calculeaza. In figura din dreapta este reprezentata intercorelatia dintre partile reala si imaginara ale coeficientilor z- de la scarile m1=6 si m2=7 situati in sub-benzile k1=1 si k2=2. Se observa ca aceasta intercorelatia ia valori foarte mici desi m1 are doar valoarea 6. Se poate presupune ca pentru valori si mai mari ale lui m1, aceasta intercorelatie va lua valori si mai mici.
Mai mult, intercorelatiile partilor reale ale coeficientilor z+ si z- respectiv intercorelatiile partilor imaginare ale coeficientilor z+ si z- sunt egale cu zero aproape peste tot.
8/14

10. 9/14 inter-scale and intra-band intra-scale and inter-band
Pentru studiul dependentei inter-scara si intra-banda se calculeaza intercorelatii de tipul celei dintre partile reala si imaginara ale coeficientilor z- si z+ de la scarile m1 si m1+q, din subbanda k. Acestea se exprima ca si sume de patru intercorelatii de semnale de intrare in cele patru transformari wavelet discrete bidimensionale: f (imaginea originala), Hx (transformata Hilbert pe linii a imaginii de intrare), Hy (transformata Hilbert pe coloane a imaginii de intrare) si Hy{Hx} (transformata Hilbert pe coloane a transformatei Hilbert pe linii a imaginii de intrare).
Pentru studiul dependentei intra-scara si inter-banda se calculeaza intercorelatii de tipul celei dintre partile imaginare ale coeficientilor z+ si z- de la scara m din sub-benzile k1 si k2. Se constata ca acestea sunt egale cu zero aproape peste tot.
intra-scale and
inter-band
9/14

11. 10/14 intra-scale and intra-band
Pentru studiul dependentei intra-scara si intra-banda a coeficientilor transformarii wavelet hiperanalitice se calculeaza autocorelatii de forma celei dintre partile reale ale coeficientilor z+ de la scara m si din subanda k. Asimptotic acesti coeficienti sunt necorelati. Practic nici partile reale ale coeficientilor z+ si z- de la aceiasi scara si din aceiasi sub-banda nu sunt corelate asa cum se constata din simulare. Considerand aceeasi imagine de intrare ca si aceea din exemplul anterior (cu autocorelatia reprezentata in figura din stanga) se obtine intercorelatia dintre partile reale ale coeficientilor z+ si z- de la scara m=1 si din sub-banda k=2 reprezentata in figura din dreapta. Se constata ca valorile acestei intercorelatii sunt foarte mici, putandu-se practic considera ca partile reale ale acestor coeficienti sunt necorelate.
10/14

12. In aceasta simulare se demonstreaza comportarea asimptotica a transformarii wavelet hiperanalitice. In figura de sus este reprezentata autocorelatia imaginii de intrare. Se constata ca aceasta este de tipul unui zgomot bidimensional corelat. In figurile de jos sunt reprezentate autocorelatiile partilor imaginare ale coeficientilor z+, de la scara m=7 din sub-benzile k=1, k=2 si k=3. Avand in vedere ca toate aceste trei functii seamana cu impulsuri unitare bidimensionale, rezulta ca acesti coeficienti reprezinta zgomote albe. Deci si transformarea wavelet hiperanalitica decoreleaza zgomotul de la intrarea sa intr-un scenariu intra-scara si intra-banda.
z+r, m=7 k= k= k=3
12/14

13. In aceasta simulare se prezinta modul in care prelucreaza transformarea wavelet hiperanalitica zgomotul alb bidimensional. In figura de sus se prezinta autocorelatia zgomotului alb bidimensional de la intrare. In celelalte doua figuri se prezinta autocorelatiile partilor reale respectiv imaginare ale coeficientilor z+ si z- situati la scarile m=2 si m=5 in sub-banda k=3.
Se constata ca indiferent de valoarea lui m autocorelatiile seamana din ce in ce mai mult cu un impuls unitar bidimensional. In consecinta se poate afirma ca la toate scarile si in toate sub-benzile coeficientii wavelet ai unui zgomot alb bidimensional sunt zgomote albe bidimensionale.
13/14

14. Conclusions
Inter-scale dependence: Coefficients in subbands with same type of orientation are asymptotically decorrelated.
Inter-band dependence: bigger number of subbands, complex coefficients.
Inter-band and inter-scale: coefficients asymptotically decorrelated.
Subbands with opposite type of orientation – Cross- correlations are zero a.e.w. even for finite number of scales.
Inter-scale and intra-band: correlations independent of the mother wavelets.
Intra-scale and intra-band: whitening system.
14/14