1. CAD
Computer aided design

2. עקומות אנליטיות
עקומה מפורשת:
עקומה סתומה:
עקומה פרמטרית (מנורמלת):

3. עקומה דו ממדית מסדר ראשון
ישר בין הנקודות P1=(x1,y1); P2=(x2,y2)
עקומה מפורשת: y=mx+b
עקומה סתומה: Ax+By+C=0
עקומה פרמטרית מנורמלת: 0 < u < 1
x = x1 + u(x2 - x1)
y = y1 + u(y2 - y1)

4. עקומה דו ממדית מסדר שני
עקומה מפורשת
עקומה סתומה
עקומה פרמטרית

5. דוגמאות של עקומה דו ממדית מסדר שני

6. דוגמא
מעגל שמרכזו בנקודה (10,10) ורדיוסו 5. עקומה מפורשת: עקומה סתומה: עקומה פרמטרית: עקומה פרמטרית מנורמלת:

7. Analytical geometry: 2D curves
Circle

8. עקומה פולינומיאלית מסדר שלישי

9. עקומות הרמיט - Hermite
עקומה מסדר שלישי המוגדרת ע”י שתי נקודות קצה ושני תנאי נגזרת בנקודות הקצה.
P(0)
P’(0)
P(1)
P’(1)

10. ייצוג גיאומטרי של עקומת הרמיט

11. עקומות בזיה - Bezier P1 P0 P2 P3
עקומה מסדר שלישי המוגדרת ע”י 4 נקודות: שתי נקודות קצה ושתי נקודות ביקורת.

12. דוגמאות

13. משטחים אנליטיים
משטחים מסדר שלישי מוגדרים ע”י אוסף של עקומות מסדר שלישי.

14. משטחים אנליטיים

15. מודל מוצק - PPI
Pure Primitive Instancing - PPI הפעלת טרנספורמציות לינאריות על רכיבים פשוטים.

16. Analytical geometry: 2D polygons
Triangle P3 z P2 P1

17. Analytical geometry: 2D polygons
Quadrangle Pentagon P2 P1

18. Matrixes and transformations
Transformations of vector P2 P1

19. Matrixes and transformations
Transformations of vector P1 P2
Reflection

20. Matrixes and transformations
Transformations of vector
Reflection P1 P2
Stretching

21. Matrixes and transformations
Transformations of vector
Reflection
Stretching P2
Rotation P1

22. Matrixes and transformations
Transformations of 2D polygons P3 P2 P1

23. Matrixes and transformations
Transformations of 2D polygons
Reflection
Stretching P3
TV3 P2 P1 P3
TV2
TV1
TV1
TV2 P2
TV3 P1

24. Analytical geometry: 3D polygons
Pyramids P4 P4 P5 P1 P2 P1 P2 P3 P3

25. Analytical geometry: 3D polygons
Transformations of 3D polygons P4 P1 P2 P3

26. Analytical geometry: 3D polygons
Transformations of 3D polygons
Reflection P4
TV4 P2
TV2
TV3 P1 P3
TV1

27. Analytical geometry: 2D vs. 3D
2D D

28. טרנספורמציות לינאריות הומוגניות
וקטור נקודה -
ייצוג הומוגני
טרנספורמציה ליניארית

29. טרנספורמציית הזזה הזזת הגוף לאורך הוקטור (X,Y,Z). Z Z Y Y 3 1 1 1 1 X2

30. טרנספורמציית מתיחה מתיחה (כיווץ) הגוף ע”פ מקדמי המתיחה. Z Z Y Y 4 1 1
0.5 1 X X 2

31. טרנספורמציית סיבוב סיבוב הגוף בזווית  סביב ציר סיבוב סיבוב סביב ציר X
סיבוב סביב ציר Y
סיבוב סביב ציר Z

32. טרנספורמציות סיבוב Z 1 X Z Y Y X X Z Y Z Y 1 1 1 X

33. טרנספורמציות סיבוב Z Z Y Y 1 1 1 X X

34. טרנספורמציות משולבות
שילוב מספר טרנספורמציות לינאריות ע”י הכפלת המטריצות (יש חשיבות לסדר ההכפלה !!!). 1 X Z Y Z 1 X Z Y Y X

35. מודל מוצק - Revolve

36. מודל מוצק – SWEEP

37. מודל מוצק - מודל CSG
Constructive Solid Geometry – CSG. המודל נוצר ע”י פעולות בוליאניות בין מרכיבים פשוטים:

38. הפעולות הבוליאניות במודל CSG

39. מודל CSG

40. B-Rep

41. VOXEL Boundary Voxel Grid Medical Images: CT, fMRI
Science: ultrasound, density
Immediate 3D computer graphic: normal vector, color
Games and simulation: height -map

42. משוואת אוילר לבדיקת גופים פיסיקליים
פוליהדרון (קָמוּר) פשוט F-E+V=2 F - מספר המשטחים Face E - מספר הקצוות Edge V - מספר הקדקודים vertex

43. משוואת אוילר פוליהדרון “לא” פשוט (בעל חורים)
משוואת אוילר פוליהדרון “לא” פשוט (בעל חורים)
חור לא עובר (שפה טבעתית אחת)
F-E+V=2-2P+H
H - מספר שפות טבעתיות
P - מספר מעברים (חורים עוברים)
חור עובר (שתי שפות טבעתיות)

44. משוואת אוילר - פוליהדרון מורכב
משטח חיבור
F-E+V=2S-2P+H
S – מספר משטחי החיבור
משטח חיבור

45. משוואות אוילר