1. Banks, Carson, Nelson & Nicol Discrete-Event System Simulation
فصل ششم مدل های صف بندی
Banks, Carson, Nelson & Nicol
Discrete-Event System Simulation

2. اهداف
شبیه سازی عموما در تحلیل سیستم های صف بندی مورد استفاده قرار می گیرد.
یک مدل سیستم صف بندی ساده:
مدل های صف بندی این امکان را فراهم می کنند که تحلیل گر بتواند کارایی و کیفیت سرویس را در سیستم های صف بندی مورد مطالعه قرار دهد.
پارامتر های دخیل در کیفیت سرویس:
بهره وری سرور، اندازه صف انتظار، میزان تاخیر مشتری
در سیستم های ساده این پارامتر ها با استفاده از روابط ریاضی تحلیل می شوند.
در سیستم های پیچیده دنیای واقعی، برای محاسبه مقادیر پارامتر های فوق از شبیه سازی استفاده می شود.

3. چهارچوب کلی
در این فصل پرکاربردترین مدل های صف بندی مورد بررسی قرار می گیرد و مباحث مربوط به تئوری صف بر عهده دانشجویان گذارده می شود.
خصوصیات کلی صف ها.
معانی و ارتباطات بین پارامتر های کارایی.
محاسبه پارامتر های کارایی.
تاثیر ایجاد تغییرات در ورودی.
راه حل های ریاضی بعضی از مدل های صف بندی پایه.

4. خصوصیات سیستم های صف بندی
المان های پایه در سیستم های صف بندی:
مشتریان: اشاره دارد به هر چیزی که وارد سیستم شده و نیاز به دریافت سرویس دارد. مثال: افراد، ماشین ها، کامیون ها و ها.
سرور ها: اشاره دارد به منابع سیستم که درخواست سرویس از آن ها صورت می گیرد. مثال: تعمیرکار، باند فرودگاه، صندوق.

5. جمعیت فراخوان – Calling Population ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
جمعیت فراخوان: مجموعه مشتریان بالقوه، که می تواند محدود یا نا محدود باشد .
مدل های مبتنی بر جمعیت فراخوان محدود: در این حالت نرخ ورود بر اساس تعداد مشتریان در حال دریافت سرویس و تعداد مشتریان منتظر در صف تعیین می شود. مثال: مدل تعمیر یک هواپیمای جت، اگر این هواپیما آغاز به تعمیر کند، نرخ ورودی صفر خواهد شد.
مدل های مبتنی بر جمعیت فراخوان نامحدود: در این حالت نرخ ورودی از تعداد مشتریان منتظر یا در حال دریافت سرویس تاثیر نمی پذیرد.

6. ظرفیت سیستم ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
ظرفیت سیستم ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
ظرفیت سیستم: حداکثر تعداد مشتریانی که می توانند در سیستم ویا در صف انتظار حضور داشته باشند.
ظرفیت محدود. مثال: کارواشی که تنها فضا برای 10 ماشین را دارد.
ظرفیت نامحدود. مثال: فروش بلیط بدون محدودیت تعداد.

7. فرآیند ورود ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
فرآیند ورود ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
برای مدل های با جمعیت نامحدود:
فرآیند ورود به شکل زمان های بین دو ورودی برای مشتریان پشت سر هم مدل می شود.
ورودی های تصادفی: زمان های بین ورودی معمولا با استفاده از توزیع احتمال توصیف می شوند.
مهمترین مدل: فرآیند ورود بر اساس پواسون(با نرخ l)، در این حالت An برای نمایش زمان بین ورود مشتری n-1 و n به کار می رود. توزیع آن بر پایه توزیع نرمال (با میانگین 1/l) است.
ورودی های زمانبندی شده: زمان های بین ورودی ثابت بوده ویا کمی دچار تغییر می شوند. مثال: زمان بیماران مراجعه کننده به مطب پزشک، ورود هواپیما به باند فرودگاه.
حالت سوم: فرض می شود که همواره یک مشتری در سیستم حاضر است، بنابراین سرور هیچ گاه بیکار نخواهد بود.

8. فرآیند ورود ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
فرآیند ورود ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
برای مدل های با جمعیت محدود:
مشتریان تا زمانی که وارد سیستم صف بندی نشده اند به صورت معلق تلقی می شوند. مثال: مسئله تعمیرگاه: ماشین سالم معلق تلقی می شود. زمانی که نیاز به سرویس تعمیر کار داشته باشد از تعلیق خارج می شود.
زمان اجرا یا Runtime: زمان بین خروج مشتری از سیستم صف بندی و رجوع مجدد آن به صف را گویند. مثال: در سیستم تعمیرگاه: مشتریان: ماشین ها، Runtime:زمان تا خرابی مجدد.
A1(i), A2(i), … برای نمایش Runtime های مشتری iام و S1(i), S2(i) برای نمایش مجموع زمان صرف شده توسط مشتری i در بازدید n ام از سیستم.

9. رفتار صف بندی و اصول آن ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
رفتار صف بندی و اصول آن ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
رفتار صف: نحوه عملکرد مشتریان در صف در حال انتظار دریافت سرویس، به عنوان مثال:
Balk: ترک کردن صف زمانی که صف بسیار طولانی باشد.
Renege: ترک صف زمانی که حرکت در درون آن به کندی صورت می گیرد.
Jockey: رفتن از یک صف به صف کوتاه تر.
اصول صف : ترتیب منطقی مشتریان در صف که مشخص می کند کدام مشتری ابتدا باید سرویس را دریافت کند.
First-in-first-out (FIFO)
Last-in-first-out (LIFO)
Service in random order (SIRO)
Shortest processing time first (SPT)
Service according to priority (PR).

10. زمان سرویس و مکانیزم های سرویس ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
زمان سرویس و مکانیزم های سرویس ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
زمان سرویس ورودی های پشت سر هم را با S1, S2, S3 نمایش می دهیم.
زمان های سرویس ممکن است ثابت یا تصادفی باشند.
{S1, S2, S3, …} را می توان به عنوان دنباله ای از متغیر های تصادفی یکسان و مستقل از هم در نظر گرفت.
سیستم های صف بندی شامل تعدادی مرکز سرویس دهنده و صف های به هم متصل هستند.
هر مرکز سرویس شامل تعدادی سرور است که به صورت موازی با یکدیگر کار می کنند. مشتری هنگامی که به ابتدای صف برسد اولین سرور در دسترس را مورد مراجعه جهت دریافت سرویس قرار می دهد.
Single Server: c=1
Multiple server: 1<c<∞
Unlimited server: c=∞

11. زمان سرویس و مکانیزم های سرویس ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
زمان سرویس و مکانیزم های سرویس ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
مثال: انباری را در نظر بگیرید که در آن مشتریان برای دریافت کالای مورد نیاز می توانند مستقیما مراجعه کنند یا از 3 کارمند موجود در آن استفاده کنند. در نهایت نیز پس از دریافت کالا وجه مورد نظر را به صندوقدار پرداخت می کنند.

12. زمان سرویس و مکانیزم های سرویس ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
زمان سرویس و مکانیزم های سرویس ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
انتظار برای یکی از 3 کارمند
سرویس های گروهی یا Batch: یک سرور می تواند همزمان به چند مشتری سرویس دهد یا یک مشتری همزمان از چند سرور استفاده کند.

13. نماد ها در صف بندی ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
نماد ها در صف بندی ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
نماد ها یا notationها در یک سیستم صف بندی A/B/c/N/K
A: نمایانگر توزیع زمان های بین ورودی.
B: نمایانگر توزیع زمان سرویس.
c: نمایانگر تعداد سرورهای موازی.
N: ظرفیت سیستم.
K: اندازه جمعیت فراخوان.
سمبل های عمومی برای Aو B:
M: توزیع نمایی.
D: توزیع ثابت یا معین.
E: ارلانگ

14. نماد ها در صف بندی ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
نماد ها در صف بندی ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
Primary performance measures of queueing systems:
Pn: steady-state probability of having n customers in system,
Pn(t): probability of n customers in system at time t,
l: arrival rate,
le: effective arrival rate,
m: service rate of one server,
r: server utilization,
An: interarrival time between customers n-1 and n,
Sn: service time of the nth arriving customer,
Wn: total time spent in system by the nth arriving customer,
WnQ: total time spent in the waiting line by customer n,
L(t): the number of customers in system at time t,
LQ(t): the number of customers in queue at time t,
L: long-run time-average number of customers in system,
LQ: long-run time-average number of customers in queue,
w : long-run average time spent in system per customer,
wQ: long-run average time spent in queue per customer.

15. میانگین تعدادحضور مشتریان در سیستم ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
میانگین تعدادحضور مشتریان در سیستم ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
یک سیستم صف بندی را در دوره زمانی T در نظر بگیرید.
Ti را برابر تعداد زمان هایی قرار می دهیم که در بازه [0,T] سیستم شامل i مشتری بوده است. میانگین وزن دار حضور مشتریان در سیستم به صورت زیر تعریف می شود:
در نتیجه:
میانگین زمان حضور در بلند مدت:

16. میانگین تعدادحضور مشتریان در سیستم ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
میانگین تعدادحضور مشتریان در سیستم ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
میانگین زمان حضور در صف:
مثال:

17. میانگین زمان حضور مشتریان در سیستم ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
میانگین زمان حضور مشتریان در سیستم ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
میانگین زمان حضور برای هر مشتری در سیستم به صورت زیر محاسبه می شود:
که در آن W1, W2, …, WN زمان هایی است که مشتریان در سیستم در بازه [0,T] صرف کرده اند.
برای یک سیستم پایدار
در مثال قبل:

18. قانون لیتل ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
قانون لیتل ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
قانون لیتل به صورت زیر تعریف می شود:
این قانون برای تمامی سیستم های مبتنی بر صف صدق می کند و عواملی چون تعداد سرورها، اصول صف و غیره در آن نقشی ندارند.
به عنوان مثال در مثال قبل هر ورودی به طور متوسط در 4 واحد زمانی وارد سیستم می شود و به طور میانگین 4.6 دقیقه در سیستم سپری می کند. پس میانگین حضور مشتریان در سیستم (1/4)(4.6) = است که با نتیجه حاصله منطبق است.
Average System time
Average # in system
Arrival rate

19. بهره وری سرور ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
بهره وری سرور ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
تعریف: نسبت زمان مشغول بودن سرور به کل زمان شبیه سازی
برای نمایش بهره وری در سیستم از نماد استفاده می شود.
برای نمایش بهره وری سرور در بلند مدت از r استفاده می شود.
برای یک سیستم پایدار در بلند مدت داریم:

20. بهره وری سرور ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
بهره وری سرور ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
برای صف های G/G/1/∞/∞
هر سیستم صف بندی تک سرور با نرخ ورود l مشتری در واحد زمان و میانگین زمان سرویس E(S) = 1/m در واحد زمان و ظرفیت صف و جمعیت فراخوان نامحدود.
قانون لیتل را می توان اعمال نمود، L = lw.
میانگین تعداد مشتریان در سرور:

21. بهره وری سرور ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
بهره وری سرور ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
در حالت کلی برای سیستم های صف بندی تک سرور داریم:
در حالت پایدار:
در صف های ناپایدار(l > m)، بهره وری سرور در طولانی مدت برابر 1 است.

22. بهره وری سرور ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
بهره وری سرور ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
برای صف های G/G/c/∞/∞
در این حالت اگر مشتری بیش از 1 سرور را خالی ببیند، به دلخواه یکی را انتخاب کرده و وارد می شود.
بنابراین در این حالت رابطه Ls, = lE(s) = l/m میانگین تعداد سرورهای مشغول را نتیجه می دهد.
پس در حالت پایدار داریم:

23. هزینه در مسائل صف بندی ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
هزینه در مسائل صف بندی ] خصوصیات سیستم های صف بندی[
Costs can be associated with various aspects of the waiting line or servers:
System incurs a cost for each customer in the queue, say at a rate of $10 per hour per customer.
The average cost per customer is:
If customers per hour arrive (on average), the average cost per hour is:
Server may also impose costs on the system, if a group of c parallel servers (1 £ c £ ∞) have utilization r, each server imposes a cost of $5 per hour while busy.
The total server cost is: $5*cr.
WjQ is the time customer j spends in queue