2. اهداف درس این جلسه
حل مساله کوله پشتی با رویکرد حریصانه مقایسه رویکرد حریصانه با برنامه‌نویسی پویا در حل مساله

3. یادآوری مسئله کوله‌پشتی صفر و یک
که wi و pi و W همگی اعداد مثبتی هستند. می‌خواهیم زیر مجموعه A از S را به گونه‌ای مشخص کنیم که ...

4. ه) الگوریتم حریصانه در مسئله کوله پشتی صفر و یک
اگر بخواهیم رویکرد brute-force را درنظر بگیریم ... باید تمامی زیرمجموعه‌های S را درنظر بگیریم و ... از اونهایی که مجموع وزنشون از W بیشتر است صرفنظر کنیم و ... از زیرمجموعه‌های باقیمانده اونی که بیشترین مجموع منفعت دارد را به عنوان پاسخ انتخاب کنیم. پیچیدگی محاسباتی این روش بادرنظر گرفتن n آیتم n می‌باشد

5. ه) الگوریتم حریصانه در مسئله کوله پشتی صفر و یک
اولین راه حل حریصانه که شاید برای این مساله به ذهن برسد آن است که ...
تمامی آیتم‌ها را بر اساس منفعتشان به صورت نزولی مرتب کنیم و ...
به ترتیب آیتم‌ها را از مجموعه مرتب‌شده برداریم مادامیکه ...
مجموع وزنشان از W بیشتر نشود.
این استراتژی زمانیکه آیتم‌های با منفعت بالا وزن بیشتری در مقایسه با منفعتشون دارند مناسب نمی‌باشد.

6. ه) الگوریتم حریصانه در مسئله کوله پشتی صفر و یک
احتمالا استراتژی بعدی این می‌تواند باشد که آیتم‌های سبک‌تر را ابتدا برداریم ... این استراتژی هم زمانی که آیتم‌های سبک منفعت کمی داشته باشند به شکست می‌انجامد.

7. ه) الگوریتم حریصانه در مسئله کوله پشتی صفر و یک
راه حل حریصانه مناسب این است که ... آیتم‌ها را بر اساس منفعت واحد وزنشان به صورت نزولی مرتب کنیم و ... آیتم‌ها را تا زمانیکه مجموع وزنشان از W بیشتر نشود برداریم.

8. ه) الگوریتم حریصانه در مسئله کوله پشتی صفر و یک

9. ه) الگوریتم حریصانه در مسئله کوله پشتی کسری (Fractional)
در مساله کوله‌پشتی کسری چنانچه برداشتن کل آیتم میسر نیست، می‌توان بخشی از آن را نیز برداشت. مثلا در مثال قبل ... بنابراین هیچ فضایی هدر نمی‌رود. پس همواره حل بهینه را خواهیم داشت.

10. ه) برنامه‌نویسی پویا در مسئله کوله پشتی صفر و یک
چنانچه بتوانیم ... اصل بهینگی را در مساله کوله‌پشتی صفر و یک نشان دهیم ... بنابراین می‌توانیم آن را با برنامه‌نویسی پویا حل کنیم.

11. ه) برنامه‌نویسی پویا در مسئله کوله پشتی صفر و یک
یادآوری اصل بهینگی (Principle of Optimality)
تعریف:
مساله‌ای شرایط اصل بهینگی را دارد
چنانچه در آن مساله ...
زیر راه‌حل‌های یک راه‌‌حل بهینه برای هر نمونه مساله‌ ...
خودشان راه‌حل‌های بهینه برای زیرمسائلی متناظر باشند.

12. ه) برنامه‌نویسی پویا در مسئله کوله پشتی صفر و یک
فرض کنیم که A، زیرمجموعه بهینه شامل n آیتم باشد ... باید نشان دهیم زیر راه‌حل‌های بهینه این راه حل بهینه خود حل‌های بهینه برای زیر مسائل متناظرشان هستند. در اینجا دو امکان وجود دارد ... یا A شامل itemn است یا نیست.

13. ه) برنامه‌نویسی پویا در مسئله کوله پشتی صفر و یک
اگر A شامل itemn نباشد، بنابراین ... A دربرگیرنده پاسخ بهینه (زیر راه حل) برای n-1 آیتم (زیر مساله) می‌باشد. اگر A شامل itemn باشد ... بنابراین مجموع منفعت‌های بدست آمده در A برابر است با pn به اضافه ... منفعت بهینه بدست آمده از انتخاب n-1 آیتم اول ... البته با این محدودیت که ... مجموع وزن n-1 آیتم اول از ... W-wn بیشتر نشود. پس اصل بهینگی برقرار است

14. ه) برنامه‌نویسی پویا در مسئله کوله پشتی صفر و یک
برای حل مساله با رویکرد برنامه ‌نویسی پویا همانند گذشته باید ... ویژگی بازگشتی تعریف کنیم که حل مساله از پایین به بالا ایجاد شود. یعنی ... ابتدا راه حل بهینه برای زمانیکه که A دارای 1 آیتم، سپس A دارای آیتم، سپس دارای 3 آیتم و ... در نهایت A دارای n آیتم باشد.

15. ه) برنامه‌نویسی پویا در مسئله کوله پشتی صفر و یک
ماتریس P را درنظر می‌گیریم که P[i][w] برابر است با ...
منفعت بهینه زمانی باشد که ...
i آیتم ابتدایی با این شرط که مجموع وزنشان از w تجاوز نکند.
توجه: آیتم‌های لیست بر اساس نسبت منفعت به وزن مرتب شده‌اند.
پاسخ نهایی ...
P[n][W] می‌باشد.

16. ه) برنامه‌نویسی پویا در مسئله کوله پشتی صفر و یک
بنابراین ماتریس P باید دارای سطرهایی با اندیس 0 تا n باشد. همچنین ...
باید دارای ستون‌هایی با اندیس 0 تا W باشد تا ...
بر اساس رابطه بازگشتی تعریف شده، المان‌های ماتریس را محاسبه کنیم تا در نهایت ...
P[n][W] محاسبه شود.
مقادیر P[0][w] و P[i][0] پیش‌فرض برابر 0 قرارداده می‌شود.

17. ه) روش بهبود‌یافته برنامه‌نویسی پویا در مسئله کوله پشتی صفر و یک
با این روش حل، پیچیدگی محاسباتی هم به n و هم به ... W بستگی دارد. اگر مجبور باشیم تمامی المان‌های ماتریس را محاسه کنیم در این صورت باید … nW محاسبه انجام دهیم که روش ما داری مرتبه پیچیدگی محاسباتی Θ(nW) خواهد بود که ... به W وابسته است که اگر W مقادیر بزرگ مثلا n! داشته باشد در این صورت ... مثلا برای n=20، اجرای الگوریتم سال‌ها به طول خواهد کشید. در این حالت ... این الگوریتم از الگوریتم brute force که دارای پیچیدگی ... 2n بود بدتر می‌باشد.

18. ه) روش بهبود‌یافته برنامه‌نویسی پویا در مسئله کوله پشتی صفر و یک
الگوریتم را می‌توانیم به گونه‌ای تغییر دهیم که پیچیدگی محاسبات کاهش یابد. چگونه؟ این واقعیت وجود دارد که نیازی نیست که مثلا در سطر i، مقادیر تمامی ستون‌ها از 1 تا W محاسبه شود. مثلا تنها المان‌هایی که نیاز است در سطر n-1 ام محاسبه شود ...

19. ه) روش بهبود‌یافته برنامه‌نویسی پویا در مسئله کوله پشتی صفر و یک
بنابراین تعداد المان‌هایی از ماتریس که نیاز است محاسبه شود برابر می‌شود با ...