1. Rekstrarhagfræði III Leikjafræði4
Rekstrarhagfræði III Leikjafræði

2. Leikjafræði
Leikjafræði (Game Theory) er ein af stoðgreinum hagfræðinnar. Leikjafræði er notuð til að greina ákvarðanir einstaklinga sem eru þátttakendur í einhvers konar keppni. Keppninni er yfirleitt lýst með því að tilgreina annars vegar leikreglurnar og hins vegar því hver útkoman verður miðað við allar hugsanlegar samsetningar af ákvörðunum.
Leikjafræði reynir að varpa ljósi á flóknar aðstæður og gefur okkur oft tækifæri á að komast að kjarna málsins.
Hvaða kringumstæður sem er þar sem einstaklingar verða að taka stefnumótandi ákvarðanir er hægt að líta á sem leik.
Leikjafræði skiptist í tvo hluta: Kenningar um samvinnuleiki (cooperative games), en þar geta leikmenn gert bindandi samkomulag. Hins vegar kenningar um leiki án samvinnu (non-cooperative games), en þar er samkomulag ekki mögulegt.
Hér verður aðeins fjallað um leiki án samvinnu.

3. Leikjafræði Allir leikir hafa þrjá grunnþætti.
Leikmenn, t.d. einstaklingar eða fyrirtæki
Leikáætlanir (strategy), þ.e. þær akvarðanir sem hægt er að velja á milli
Leikslokafylki (payoff), en það lýsir úkomum allra hugsanlegra samsetninga af ákvörðunum leikmanna
Leikmenn:
Hver aðili leiks, sem ákvörðun tekur, er kallaður leikmaður. Leikmaður getur verið einstaklingur, fyrirtæki, ríkisstjórn, o.s.frv.
Leikáætlun (Strategy):
Hver ákvörðun leikmanns í leik er kölluð leikáætlun (strategy). Það er háð leiknum hversu flókin leikáætlun er.

4. Leikjafræði Í hverjum leik eru leikáætlanir vel skilgreindar.
Hver leikmaður hefur takmarkaðan fjölda leikáætlana sem hann getur valið á milli.
Í leikjum án samvinnu (non-cooperative games), geta leikmenn ekki talað sig saman um hvaða leikáætlanir best sé að leika - hver leikmaður er óviss um hvað hinn mun gera.
Flestir leikir hér gera ráð fyrir að leikmaður geti aðeins valið milli tveggja leikáætlana.

5. Leikjafræði Leikslokafylki (Payoffs):
Leikslokafylki sýna útkomur í leik. Útkoma leiks er oft sýnd sem nytjar sem hver leikmaður fær í sinn hlut.
Í leikjum með fyrirtækum er þó peningalegur ágóði eða hagnaður oftast notaður.
Í flestum leikjum finnum við lausnir, þ.e. leikurinn hefur tiltekna útkomu. Í öðrum leikjum er engin ein lausn, en þá oftast um líkindaleikáætlun (blindingsleikbragð) í staðinn.

6. Leikjafræði Flokka má leiki á nokkra vegu:
Samtímaleikir og raðleikir: Hægt er að skipta leikjum í tvo flokka eftir því hvort þátttakendur taka ákvarðanir samtímis eða hver á fætur öðrum. Fyrri tegundin er kölluð samtímaleikir (Simultaneous Games) en sú síðari raðleikir (Sequential Games).
Einnig má flokka leiki eftir upplýsingamenginu sem þeim fylgir:
Leikir með fullkomnar upplýsingar (games of perfect information)
Leikir með ófullkomnar upplýsingar (games of imperfect information)
Leikir með fullar upplýsingar (games of complete information)
Leikir með takmarkaðar upplýsingar (games of incomplete information)

7. Leiktré í raðleik með fullkomnum upplýsingum
IBM og Toshiba eru að huga að vali á stýrikerfi
í tölvur sínar. Þau geta valið milli DOS eða UNIX. IBM velur á undan og síðan velur Toshiba. Þegar Toshiba velur veit það hvað IBM valdi.

8. Leiktré í raðleik með ófullkomnum upplýsingum
IBM og Toshiba eru að huga að vali á stýrikerfi
í tölvur sínar. Þau geta valið milli DOS eða UNIX. IBM velur á undan og síðan velur Toshiba. Þegar Toshiba velur veit það ekki hvað IBM valdi.

9. Venjuleg framsetning – Normal form
Venjuleg framsetning (normal-form) á leiknum að ofan.
Toshiba
(DOS|DOS, DOS|UNIX)
(DOS|DOS, UNIX|UNIX)
(UNIX|DOS, UNIX|UNIX)
(UNIX|DOS, DOS|UNIX)
IBM
DOS
600,200
100,100
UNIX
200,600

10. Núllsummu leikur: Matching pennies

11. Matching pennies Leikmaður 2 Leikmaður 1
Hvort barn lætur pening í lófa sinn á þess að hitt barnið sjái hvor
hliðin snúi upp. Síðan opna bæði lófa sína samtímis. Ef báðir
peningarnir snúa eins, þá greiðir barn 1 barni 2 pening, en annars
öfugt.
Leikmaður 2 H T
Leikmaður 1
-1,+1
+1,-1

12. The “Gift of the Magi”
Sjá Schotter bls

13. The “Gift of the Magi” Bob Alice Sjá Schotter bls. 236-8 Selja úrið
Kaupa kort
Alice
Selja hárið
-100,-100
+501,+25
+25,+50
+10,+10

14. Ísak-Abraham leikurinn
Sjá Schotter bls

15. Ísak-Abraham leikurinn
Sjá Schotter bls
Guð
Þiggja og hegna
Þiggja og hegna ekki
Ekki þiggja og hegna
Ekki þiggja og hegna ekki
Abraham
Fórna
-50,+90
+100,+100
Ekki fórna
-100,-100
-10,-10

16. Lausnir og jafnvægi Lausnir og jafnvægi leikja:
Lausn leiks er oft kölluð jafnvægi. Það eru þó til margar gerðir af jafnvægi, en hér verður aðeins minnst á eina þeirra.
Nash-jafnvægi: Par leikáætlana (a*,b*) lýsa jafnvægislausn í leik tveggja leikmanna, ef a* er besta leikáætlun leikmanns A gegn leikáætlun b* hjá leikmanni B og b* er besta leikáætlun leikmanns B gegn leikáætlun a* hjá leikmanni A.
Nash-jafnvægi (Nash-equilibrium):
Sérhver þátttakandi hefur valið þá leikáætlun sem kemur honum best í ljósi þess hvaða leikáætlanir hinir þátttakendurnir hafa valið.
Sumir leikir hafa ekkert Nash-jafnvægi og aðrir leikir hafa fleiri en eitt Nash-jafnvægi.
Leikurinn “Skæri og Pappír” hefur ekkert Nash-jafnvægi, og leikurinn “Barátta kynjana” hefur tvö Nash-jafnvægi.
Til eru önnur jafnvægishugtök en Nash-jafnvægi (en öll eru þau þó skyld).

17. Víkjandi og ríkjandi leikáætlanir
Við segjum að leikáætlun A sé víkjandi (Dominated Strategy) ef til er a.m.k. ein önnur leikáætlun sem er alltaf betri en A, sama hvað andstæðingarnir gera. Í vanda fangans var það að játa ekki víkjandi leikáætlun.
Við segjum að leikáætlun A sé ríkjandi (Dominating Strategy) ef hún er alltaf betri en allar aðrar leikáætlanir, sama hvað andstæðingarnir gera. Í vanda fangans var það að játa ríkjandi leikáætlun.
Ein leið til að finna lausn á leikjum er að leita að víkjandi og ríkjandi leikáætlunum, útiloka þær fyrrnefndu en velja þær síðarnefndu. Ef aðeins ein leikáætlun stendur eftir fyrir hvern þátttakanda að því loknu, þá höfum við fundið lausn leiksins.
Með lausn eigum við yfirleitt við svokallað Nash-jafnvægi, sem nefnt var hér að ofan.

18. Bílaframleiðendurnir Ríkjandi og víkjandi leikáætlanirGM
Hátt verð
Lágt verð
Ford
500,500
100,700
700,100
300,300

19. Vandi fangans Vandi fangans (Prisoner´s dilemma):
Hugsum okkur tvo fanga sem eru í haldi fyrir mjög alvarlegar sakargiftir sem þeir frömdu. Saksóknarinn hefur hins vegar ekki nægar sannanir til að láta sakfella þá í samræmi við þann glæp sem þeir frömdu. Hann getur einungis fengið þá dæmda til árs fangelsisvistar, fyrir annað minni afbrot, ef frekari sannanir koma ekki til.
Hvorum fanga um sig er sagt, að ef hann játi þá verði hann látinn laus, en vitorðsmaðurinn dúsi samtals 20 ár í fangelsi. Ef báðir hins vegar játa, þá fá þeir báðir 5 ára fangelsi.
Ráðandi stefna í þessum leik (tafla á næstu glæru) er að játa á sig glæpinn.
Vandi fanganna er skortur á trausti eða vöntun á skuldbindingu. Einfalt loforð væri ef til vill ekki nægilegt. Báðir hefðu getað lofað að segja ekki frá, en samt breytt vali sínu þegar í klefann er komið. Skuldbinding gæti hins vega falist í því, að fangarnir vissu um aðra alvarlega glæpi hins aðilans og gætu sannað þá fyrir saksóknara, ef annar kjaftar.

20. Fangaleikur Fangi Y Játa Neita Játa 5 ár hvor 0 ár fyrir X
____________________________________________________________________________________________________
Játa ár hvor 0 ár fyrir X
Fangi X ár fyrir Y
Neita ár fyrir X 1 ár hvor
0 ár fyrir Y

21. Leikur með marga valmöguleika Ríkjandi og víkjandi leikáætlanir
Leikmaður 2 1 2 3 4
Leikmaður 1
40,20
90,300
200,100
55,22
30,25
85,55
100,50
10,10
38,55
75,65
44,60
40,60
22,98
85,200
155,195
33,155

22. Ríkjandi og víkjandi leikáætlanir

23. Ríkjandi og víkjandi leikáætlanir
Leikmaður 2
Leikbragð 1
Leikbragð 2
Leikmaður 1
4,4
0,1
6,3

24. Að fjarlægja víkjandi leikáætlanir
Leikmaður 2 1 2 3
Leikmaður 1
2,0
2,4
0,2
0,6
4,0

25. Að fjarlægja víkjandi leikáætlanir
Leikmaður 2 1 2
Leikmaður 1
2,0
2,4
0,6
0,2

26. Að fjarlægja víkjandi leikáætlanir
Leikmaður 2 1 2
Leikmaður 1
2,0
2,4

27. Að fjarlægja víkjandi leikáætlanir
Leikmaður 2 1 2 3
Leikmaður 1
20,0
10,1
4,-4
20,2
10,0
2,-2

28. Að fjarlægja víkjandi leikáætlanir
Leikmaður 2 1 2
Leikmaður 1
20,0
10,1
20,2
10,0

29. Leikur með fleiri en eitt jafnvægi
Leikmaður 2
(svarandinn)
Hringja til baka
Bíða eftir símatali
Leikmaður 1
(hringjandinn)
0,0
3,6
Bíða eftir símtali
6,3

30. Leikir með fleiri en eitt jafnvægi
Leikmaður 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Leikmaður 2
1,1
0,0
2,2
3,3
4,4
5,5
6,6
7,7
8,8
9,9
10,10

31. Leikir með líkindaleikáætlanajafnvægi
Hershöfðingi 2
Hörfa
Árás
Hershöfðingi 1
5,8
6,6
8,0
2,3

32. Leikir með líkindaleikáætlanajafnvægi
Fyrir hershöfðingja 2 verða árás og hörfa jafngild ef hershöfðingi 1 velur árás
með líkunum 3/7 og og hörfa með líkunum 4/7
Fyrir hershöfðingja 1 verða árás og hörfa jafngild ef hershöfðingi 2 velur árás
með líkunum 2/5 og og hörfa með líkunum 3/5

33. Leikir með líkindaleikáætlanajafnvægi
Dísa
Klæðast rauðu
Klæðast bláu
Magga
-1,2
2,-2
1,-1
-2,1

34. Trúverðug hótun
Sumir leikir hafa jafnvægi sem kallast undirleiks-fullkomið jafnvægi, eða
jafnvægi með trúverðugri hótun.

35. Neita að fara til Siggu frænku
Trúverðug hótun
Foreldri
Hegna barninu
Gefa eftir
Óþekka barnið
Fara til Siggu frænku
1,1
Neita að fara til Siggu frænku
-1,-1
2,0

36. Lausn rakin aftur á bak (backward induction)

37. Lausn rakin aftur á bak (backward induction)
Í næsta leik hefur leikmaður númer eitt um tvær leikáætlanir að velja (U/N) en leikmaður númer tvö hefur um fjórar að velja:
i) u ef númer eitt velur U en n ef eitt velur N
ii) u ef númer eitt velur U og n ef eitt velur N
iii) n ef númer eitt velur U og n ef eitt velur N
iv) n ef númer eitt velur U en u ef eitt velur N

38. Lausn rakin aftur á bak (backward induction)
Leikinn hér að ofan má einnig setja fram í töfluformi:

39. Lausn rakin aftur á bak (backward induction)
Leikmaður 1 hefur tvo valmöguleika og tvær leikáætlanir.
Leikmaður 2 hefur tvo valmöguleika, en fjórar leikáætlanir:
u, u: Ef leikmaður 1 velur U þá velur leikmaður 2 u, ef 1 velur N þá velur 2 u
u, n: Ef leikmaður 1 velur U þá velur leikmaður 2 u, ef 1 velur N þá velur 2 n
n, u: Ef leikmaður 1 velur U þá velur leikmaður 2 n, ef 1 velur N þá velur 2 u
u, u: Ef leikmaður 1 velur U þá velur leikmaður 2 n, ef 1 velur N þá velur 2 n

40. Lausn rakin aftur á bak (backward induction)
Hér má sjá að {U, (u, l)} er Nash-jafnvægi, þ.e. röðin U og dálkurinn (u, l).
Þegar lausnin var rakin aftur á bak (backward induction) hér að ofan, kom í ljós að hún var fólgin í því að leikmaður 1 valdi U og 2 valdi u í framhaldi. Þegar hægt er að rekja aftur á bak og fá eina lausn, þá er um Nash-jafnvægi að ræða (reyndar undirleiks-fullkomið Nash-jafnvægi). Fyrir raðleiki sést þetta yfirleitt best með því að setja leikinn fram í tréformi.
En að sumu leyti er þetta þó flóknara.

41. Lausn rakin aftur á bak (backward induction)
Í þessum leik má sjá að lausnin rakin aftur á bak er (4, 2), þ.e. {R, (l, l)}.

42. Fleiri en eitt jafnvægi
Þegar leikurinn er settur fram á töfluformi sést að um fleiri en
eitt Nash-jafnvægi er að ræða: Þau eru þrjú.

43. Ótrúverðug hótun
Aðeins {R, (l, l)} er undirleiks-fullkomið Nash-jafnvægi (subgame perfect Nash-equilibrium), þó {L, (l, r)} og {R, (r, l)} uppfylli skilyrði Nash-jafnvægis.
Seinni tvö jafnvægin fela í sér það sem kallast ótrúverðugar hótanir (noncredible threats). Þetta má útskýra á þann hátt að leikmaður B myndi aldrei velja r í framhaldi af því að A hefði valið R, enda gefur það val honum aðeins 1 í nytjar á meðan það að velja l gefur 2 í nytjar. Leikmaður B velur því ekki dálk (l, r), dálkurinn er ótrúverðug hótun af hans hálfu og A sér það.

44. Ótrúverðug hótun
Á sama hátt er dálkur (r, l) ótrúverðug hótun og B myndi ekki velja þann dálk. M.ö.o. B myndi aldrei velja r eftir að A hefur valið L þar sem val á l gefur honum meiri nytjar (3 í stað 0).
Leik sem inniheldur ótrúverðugar hótanir má einfalda, þ.e. Þurrka má út þá dálka sem innihalda ótrúverðugar hótanir.
Nú sést það Nash-jafnvægi betur sem fundið var með
því að rekja lausnina aftur á bak.

45. Fangaleikurinn leikinn einu sinni, eða endurtekinn í n skipti
Leikmaður 2
Þegja
Kjafta frá
Leikmaður 1
6,6
2,12
12,2
4,4

46. Fangaleikurinn leikinn óendalega oft

47. Fangaleikurinn aftur
Ef leikurinn er endurtekinn í hið óendanlega, þá er:

48. Yak grazing game

49. Leikur með takmarkað upplýsingamengi
Matrix 1
Matrix 2
Leikmaður 2a
Leikmaður 2b V H
Leikmaður 1a U
4,7
3,0
4,0
3,6 N
5,1
3,1
5,7
Matrix 3
Matrix 4
Leikmaður 1b
5,0
5,6
2,6
1,1
2,1
1,7

50. Leikur með takmarkað upplýsingamengi
Bayes-Nash jafnvægi:
Hvor leikmaður getur annaðhvort verið týpa a eða b og eru líkurnar 0,5
Vongildi fyrir leikmann 1a við val U: 0,5(4)+0,5(3)=3,5
Vongildi fyrir leikmann 1a við val N: 0,5(3)+0,5(5)=4
Vongildi fyrir leikmann 1b við val U: 0,5(5)+0,5(5)=5
Vongildi fyrir leikmann 1b við val N: 0,5(2)+0,5(1)=1,5
Reiknað er á sama hátt fyrir leikmann 2
Bayes-Nash jafnvægi: Leikmaður 1 velur N ef hann er týpa a og U ef hann er týpa b. Leikmaður 2 velur sín hæstu vongildi m.v. týpu.

51. Entry-prevention game

52. Entry-prevention game

53. Entry-prevention game

54. Contestable markets

55. Cournot

56. Cournot jafnvægi (Nash jafnvægi)

57. Óstöðugt jafnvægi

58. Bertrand