1. دانشگاه صنعتي نوشيرواني بابل
TSP & VRP
محمد مهدي پايدار
دانشگاه صنعتي نوشيرواني بابل

2. Routing Problem

3. مسأله فروشنده دوره گرد
مساله فروشنده دوره گرد يکي از بنيادي ترين مسائل مسيريابي و برنامه ريزي حمل و نقل است .هدف از حل اين مسأله ، پيدا کردن کوتاهترين مسيري است که از مجموعه اي از شهرها ( گره ها ) عبور کرده ، بطوريکه هر شهر فقط يکبار ملاقات شود و سپس به شهر اوليه که از آن حرکت را شروع کرده است ، برگردد.

4. در محدوده ی جغرافیایی فروشنده ی دوره گرد تعدادی شهر وجود دارد که فاصله بین هر زوج از شهر ها مشخص وعددی ثابت است. قرار است فروشنده از یکی از شهر ها شروع کند و کلیه ی شهر ها را ، هر یک را فقط یکبار ، ملاقات کند و در نهایت به نقطه ی شروع برگردد.
مساله فروشنده ی دوره گرد کاربرد های متنوعی دارد. مانند تخلیه ادواری صندوق های پستی به وسیله ی پستچی.

5. این مسئله اولین بار توسط دو دانشمند به نام های 1-هامیلتون ایرلندی و 2- کیرکمن بریتانیایی مطرح شد.
اولین نمونه شبیه به این مساله درسال 1759 مطرح شد و به این صورت بود که یک مهره اسب می بایست روی بردشطرنج حرکت کند و از هر خانه دقیقا یک بار عبور کند .
مسئله فروشنده دوره گرد جزو مسائل رام نشدنی می باشد و حل دقیق آن زمان زیادی می برد.

6. در این مساله میخواهیم دوری همیلتنی با حداقل هزینه را بیابیم .
در یک گراف جهت دار، یک تور، که به آن دور هامیلتونی نیز گفته می شود عبارت است از مسیری از یک راس به خودش که از تمام رئوس دیگر دقیقا یک بار عبور کند.
نکته: ممکن است گرافی اصلا تور نداشته باشد.

7. نکته: طول تور بهینه وابسته به انتخاب راس آغازین نیست.
این مساله را می توان به صورت ریاضی هم شبیه سازی کرد . به دوری فراگیر G(v,e) این ترتیب که ما در یک گراف وزن دار با مینیمم مجموع وزنهای یالهای گذرنده می خواهیم بیابیم .
در حالت عادی باید کلیه ی روش های ممکن بررسی شود.که در این حالت مرتبه ی زمانی ! n خواهد بود.

8. به روش ریاضی مساله با یافتن تعداد جایگشت ها وسپس ارزیابی هر حالت بررسی می شود .
تعداد جایگشتها n! است. برای یافتن مینیمم دورها نیز به حداکثرn! محاسبه احتیاج داریم. ولی اگر n را زیاد فرض کنیم تعداد محاسبات بسیار بالا خواهد بود

10. 2006

11. 2001

12. multiple Traveling Salesman Problem (mTSP)
يکي از شناخته شده ترين مسئله فروشنده دوره گرد، مسئله استاندارد چندين فروشنده دوره گرد است.
اين مسئله را مي توان به اين گونه تعريف نمود: تعيين مجموعه اي از مسير براي m فروشنده به طوري که همگي از يک شهر به عنوان مبدا حرکت و به همان شهر باز مي گردند و هر شهر فقط و فقط توسط يک فروشنده بازديد مي گردد.
مسالهmTSP بطورکلي به اين شکل قابل تعريف است: يک مجموعه اي از نقاط داريم، تعدادm فروشنده را در نظر مي گيريم که در تنها يک نقطه (شهر مبدا) قرار دارند. بقيه نقاط (شهرها) که بايد توسط فروشندگان مورد بازديد قرار گيرند نقاط (شهرهاي) مياني ناميده مي شوند. بنابراين مساله mSTP تشکيل شده از يافتن مسيرهايي براي همه m فروشنده بطوريکه همه از شهرمبدا آغاز و به آن برگردند، همچنين هر نقطه (شهر) مياني فقط يکبار ديده شود و هزينه کل ديدن همه شهرها کمينه گردد. ماتريس هزينه مي تواند روي فاصله زمان و غيره تعريف شود.

13. 2006

15. محدوديت هاي (1) و (2) تضمين مي کنند که دقيقا m فروشنده از مبدا خارج و به آن برگردند. محدوديت هاي (3) و (4) محدوديت هاي درجه اي هستند. نامعادله هاي (5) و (6) کران بالا و پايين شهرهايي که بوسيله هر فروشنده مي تواند بازديد شوند را کنترل مي کنند. اين دو نوع محدوديت مرزي هستند و در ادبيات موضوعmTSP کاملا جديد مي باشند. نامساوي(7) تضمين مي کند که اگر و فقط اگر باشند. بنابراين اين محدوديت از ايجاد زير مسير بين شهرها جلوگيري مي کند. نامساوي (8) هر فروشنده را از بازديد کردن تنها يک شهر باز مي دارد. لذا مي باشد.

16. اگر محدوديتي براي کران پايين تعداد شهرهايي که هر فروشنده بايد بازديد کند وجود نداشته باشد، فقط کافيست در محدوديت (6) ضريب متغير را برابر صفر قرار دهيم. همچنين اگر فروشندگان مجاز به برگشت به مبدا در صورت بازديد از فقط يک شهر باشند، کافيست محدوديت(8) حذف شود.

17. multiple departures single destination multiple traveling salesman problem (MDmTSP)
مسئله چندين مبداء چندين فروشنده دوره گرد (MmTSP) تعميم يافته مسئله يک مبداء چندين فروشنده دوره گرد مي باشد به طوري که بيش از يک مبداء و تعدادي فروشنده در هر مبداء وجود دارد.
مسئله چندين مبداء يک مقصد چندين فروشنده دوره گرد (MDmTSP) اولين بار توسط کارا و بکتاس(2006) ارائه گرديد.

19. تعداد کمان های وارد شده به گره مقصد
مدل ریاضی MDmTSP
Minimize
تعداد کمان های وارد شده به گره مقصد
هر مشتری یک خروجی دارد
هر مشتری یک ورودی دارد
تعداد فروشنده ها در هر نقطه مبدا

20. محدودیت بالا یک محدودیت حذف زیر مسیر ها می باشد که از بوجود آمدن هرگونه مسیرهای فرعی (زیر مسیر) بین نقاط میانی جلوگیری می کند.مسیر های فرعی، مسیر های بسته ای هستند که توسط نثاط میانی بدون وجود مبدا یا پایان بوجود می آیند. (Subtour Elimination Constraint (SEC) )
دو محدودیت بالا به ترتیب حدود بالایی و پایانی تعداد گره های بازدید شده را به مسیر ها اعمال می کند.

21. محدودیت بالا از ایجاد مسیرهایی فقط با یک نقطه میانی جلوگیری می کند.

22. مسير يابي وسائل نقليه Vehicle Routing Problem (VRP)

23. اجزاي مسأله VRPرا در شكل معمول و شناخته شده آن مي توان به مجموعه مشتريان، مجموعه خودروها (ناوگان حمل و نقل)، و شبكه جاده اي (مسيرها) تقسيم بندي كرد. هر يك از اين اجزا داراي خصوصياتي هستند كه بعنوان فرضيات مسأله يا پارامترهاي ورودي آن بايستي مورد توجه قرار گيرند.

24. خصوصيات مشتريان
موقعيت مكاني مشتري: با گره در گراف شبكه جاده اي نشان داده مي شود. مختصات مكان مشتري در صورت لزوم براي محاسبه فاصله زمان و يا هزينه سفر بين گره ها استفاده ميشود .
مقدار تقاضا: معرف مقدار كالايي است كه بايد به مشتري تحويل داده شود، يا از محل مشتري جمع آوري گردد .
زمان سرويس: مدت زماني است كه خودرو در محل مشتري براي ارائه سرويس به آن توقف مي كند. زمان سرويس را مي توان بصورت تابعي از تقاضاي مشتري هم تعريف كرد .
مجموعه خودروهاي قابل استفاده براي مشتري: زير مجموعه اي از خودروهاست كه امكان سرويس دهي به مشتري را دارند .
بازه زماني سرويس: بازه زماني كه سرويس دهي به مشتري بايستي انجام پذيرد.

25. خصوصيات خودروها
مركز استقرار خودروها: انبار محلي است كه خودروها از آنجا مسير حركت را آغاز كرده و در انتها به آن باز مي گردند .اين مركز با گره اي نشان داده مي شود كه داراي خصوصيات مربوط به گره هاي مشتريان است .
ظرفيت خودرو: ظرفيت باري خودروها بعنوان يكي از پارامترهاي ورودي مسأله در محدوديت هاي مسأله مطرح مي شود. ظرفيت خودروها مي تواند يكسان يا متفاوت باشد .
چگونگي بارگيري و تخليه بار خودرو.
هزينه هاي مربوط به بكارگيري خودرو.
مسيرهايي كه خودرو امكان پيمودن آنها را دارا است.
محدوديت هايي مربوط به ميزان استفاده از خودرو (حداكثر زمان - مسافت استفاده).

26. خصوصيات مسيرها (شبكه جاده اي)
گره هاي ابتدا و انتهاي مسير.
هزينه (زمان – مسافت) مربوط به سفر در طول مسير از ابتدا تا انتها.
يكسان بودن يا نبودن هزينه سفر رفت و برگشت مسيرها.

27. هدف مسأله
معموليترين و در عين حال مهمترين هدف مسأله VRP حداقل كردن كل هزينه سيستم است. گاهي اوقات به جاي حداقل كردن هزينه، از معادل هاي آن يعني كل مسافت طي شده توسط خودروها يا مجموع زمان استفاده از آنها در تابع هدف استفاده مي شود.
حداقل كردن هزينه (زمان – سفر) كل سيستم.
استفاده از حداقل تعداد خودروهاي ممكن براي سرويس دهي به مشتريان.
ماكزيمم كردن تعداد مشترياني كه توسط خودروها به آنها سرويس داده مي شود.
بالانس سيستم براي امكان سرويس دهي به مشتريان در بازه هاي زماني تعيين شده.
حداقل كردن زيان هاي ناشي از عدم برآورده شدن برخي خواسته هاي مشتريان.
حداقل كردن زيان هاي ناشي از عدم استفاده از كل ظرفيت خودروها.

28. دسته ديگر از انواع مسايل VRP عبارت است از مسأله مسيريابي دوره اي وسايل نقليه (PVRP).
مسأله PVRP داراي يک افق برنامه ريزي مشتمل برروز است، و تواتر بازديد براي هر مشتري مشخص مي کند که در اين دوره T-روزه هر چند وقت يکبار مي بايست بازديد شود.