1. The Dinitz Algorithm
An example of a run

2. Residual & Layered Networks construction9
The original network N v1 v2 v3 9 11 14 v1 v2 v3 11 14 25 1 25 8 1 8 s 5 t s 5 10 t 10 10 5 v5 10 5 v5 v4 6 8 4 v4 6 8 4 9 9 v6 7 v7 v1 v2 v6 7 v7 11 9 25 v5
The residual network Nf (f = 0) s 5 10 t 4 5 v7 v4 9 v6
The layered network Lf

3. Computing a blocking flow in Lf
Finding an augmentation path by arbitrarily backtracking from t
Updating the flow v1 v2
0/11
0/9
0/25 v5 s
0/5
0/10 t
0/4
0/5 v7 v4
0/9 v6

4. Computing a blocking flow in Lf
Updating the flow v1 v2
0/11
0/9
0/25 v5 s
5/5
5/10 t
0/4
0/5 v7 v4
0/9 v6

5. Computing a blocking flow in Lf
Updating the flow
Cleaning forward v1 v2
0/11
0/9
0/25 v5 s
5/5
5/10 t
0/4
0/5 v7 v4
0/9 v6

6. Computing a blocking flow in Lf
Finding an augmentation path by arbitrarily backtracking from t.
Cleaning forward v1 v2
0/11
0/9
0/25 v5 s
5/5
5/10 t
0/4
0/5 v7 v4
0/9 v6

7. Computing a blocking flow in Lf
Finding an augmentation path by arbitrarily backtracking from t.
Updating the flow. v1 v2
0/11
0/9
0/25 v5 s
5/5
5/10 t
0/4
0/5 v7 v4
0/9 v6

8. Computing a blocking flow in Lf
Updating the flow. v1 v2
0/11
9/9
9/25 v5 s
5/5
5/10 t
0/4
0/5 v7 v4
0/9 v6

9. Computing a blocking flow in Lf
Updating the flow.
Cleaning forward v1 v2
0/11
9/9
There aren’t any edges going into t – a blocking flow is found!
9/25 v5 s
5/5
5/10 t
0/4
0/5 v7 v4
0/9 v6

10. Adding the blocking flow to f
0/9 v1 v2 v3
0/11
0/14
0/25
0/1
0/8 s
0/5 t
0/10
0/10
0/5 v5 v4
0/6
0/8
0/4
0/9 v6
0/7 v7 v1 v2
0/11
9/9
9/25 v5 s
5/5
5/10 t
0/4
0/5 v7 v4
0/9 v6

11. Adding the blocking flow to f
9/9 v1 v2 v3
0/11
0/14
9/25
0/1
0/8 s
5/5 t
0/10
5/10
0/5 v5 v4
0/6
0/8
0/4
0/9 v6
0/7 v7 v1 v2
0/11
9/9
9/25 v5 s
5/5
5/10 t
0/4
0/5 v7 v4
0/9 v6

12. Constructing Nf and Lf v1 v2 v3 v1 v2 v3 s t s t v5 v5 v4 v4 v6 v7 v1
9/9 v1 v2 v3 9
0/11
0/14 v1 v2 v3 11 14
9/25 16
0/1
0/8 9 1 8 s
5/5 t s 5 t
0/10
5/10 10
0/5 v5 5 5 v5 5 v4
0/6
0/8
0/4 v4 6 8 4
0/9 9 v6
0/7 v7 v1 v2 v6 7 v7 11 14 v3 10 16 v4 v5 s 5 8 5 t 4 9 v6 v7 7

13. Computing a blocking flow in Lfv1 v2
0/11
0/14 v3
0/10
0/16 v4 v5 s
0/5
0/8
0/5 t
0/4
0/9 v6 v7
0/7

14. Computing a blocking flow in Lfv1 v2
0/11
0/14 v3
0/10
0/16 v4 v5 s
5/5
5/8
5/5 t
0/4
0/9 v6 v7
0/7

15. Adding the blocking flow to f
9/9 v1 v2 v3
0/11
0/14
9/25
0/1
0/8 s
5/5 t
0/10
5/10
0/5 v5 v4
0/6
0/8
0/4
0/9 v6
0/7 v7 v1 v2
0/11
0/14 v3
0/10
0/16 v4 v5 s
5/5
5/8
5/5 t
0/4
0/9 v6 v7
0/7

16. Adding the blocking flow to f
9/9 v1 v2 v3
0/11
0/14
9/25
0/1
0/8 s
5/5 t
0/10
10/10
5/5 v5 v4
0/6
5/8
0/4
0/9 v6
0/7 v7 v1 v2
0/11
0/14 v3
0/10
0/16 v4 v5 s
5/5
5/8
5/5 t
0/4
0/9 v6 v7
0/7

17. Constructing Nf and Lf v1 v2 v3 v1 v2 v3 s t s t v5 v5 v4 v4 v6 v7 v6
9/9 v1 v2 v3 9
0/11
0/14 v1 v2 v3 11 14
9/25 16
0/1
0/8 9 1
0/8 s
5/5 t s 5 t
0/10
10/10 10
5/5 v5 v5 5 3 10 v4
0/6
5/8 6
0/4 v4 5 4
0/9 9 v6
0/7 v7 v6 7 v7 v1 v2 v3 11 14 1 8 16 10 v5 v4 s 5 t 9 4 v7 6 v6

18. Computing a blocking flow in Lfv1 v2 v3
0/11
0/14
0/1
0/8
0/16
0/10 v5 v4 s
0/5 t
0/9
0/4 v7
0/6 v6

19. Computing a blocking flow in Lfv1 v2 v3
0/11
0/14
0/1
0/8
4/16
4/10 v5 v4 s
0/5 t
0/9
4/4 v7
4/6 v6

20. Computing a blocking flow in Lfv1 v2 v3
0/11
0/14
0/1
0/8
4/16
4/10 v5 v4 s
0/5 t
0/9
4/4 v7
4/6 v6

21. Computing a blocking flow in Lfv1 v2 v3
8/11
8/14
0/1
8/8
12/16
4/10 v5 v4 s
0/5 t
0/9
4/4 v7
4/6 v6

22. Adding the blocking flow to f
9/9 v1 v2 v3
0/11
0/14
9/25
0/1
0/8 s
5/5 t
0/10
10/10
5/5 v5 v4
0/6
5/8
0/4
0/9 v6
0/7 v7 v1 v2 v3
8/11
8/14
0/1
8/8
12/16
4/10 v5 v4 s
0/5 t
0/9
4/4 v7
4/6 v6

23. Adding the blocking flow to f
9/9 v1 v2 v3
8/11
8/14
21/25
0/1
8/8 s
5/5 t
4/10
10/10
5/5 v5 v4
4/6
5/8
4/4
0/9 v6
0/7 v7 v1 v2 v3
8/11
8/14
0/1
8/8
12/16
4/10 v5 v4 s
0/5 t
0/9
4/4 v7
4/6 v6

24. Constructing Nf and Lf v1 v2 v3 v1 v2 v3 s t s t v5 v5 v4 v4 v6 v7 v6
9/9 v1 v2 v3 9
8/11
8/14 v1 3 v2 6 v3
21/25 8 8 4
0/1
8/8 1 8 s 21 4
5/5 t s 5 t
4/10
10/10 6
5/5 v5 v5 10 5 3 v4
4/6
5/8
4/4 v4 5 2 4 4
0/9 9 v6
0/7 v7 v6 7 v7 v1 v2 v3 3 6 1 6 4 v5 v4 v6 v7 s 5 9 7 2 t

25. Computing a blocking flow in Lfv1 v2 v3
0/3
0/6
0/1
0/4
0/6 v5 v4 v6 v7 s
0/5
0/9
0/7
0/2 t

26. Computing a blocking flow in Lfv1 v2 v3
0/3
0/6
0/1
2/4
2/6 v5 v4 v6 v7 s
2/5
2/9
2/7
2/2 t

27. Adding the blocking flow to f
9/9 v1 v2 v3
8/11
8/14
21/25
0/1
8/8 s
5/5 t
4/10
10/10
5/5 v5 v4
4/6
5/8
4/4
0/9 v6
0/7 v7 v1 v2 v3
0/3
0/6
0/1
2/4
2/6 v5 v4 v6 v7 s
2/5
2/9
2/7
2/2 t

28. Adding the blocking flow to f
9/9 v1 v2 v3
8/11
8/14
23/25
0/1
8/8 s
5/5 t
6/10
10/10
5/5 v5 v4
6/6
3/8
4/4
2/9 v6
2/7 v7 v1 v2 v3
0/3
0/6
0/1
2/2
2/6 v5 v4 v6 v7 s
2/5
2/9
2/7
2/2 t

29. Termination: no path from s to t in Nf
9/9 v1 v2 v3 9
8/11
8/14 v1 3 v2 6 v3
23/25 8 8
0/1 2
8/8 1 8 s 23 4
5/5 t s
6/10 5 t
10/10 6
5/5 v5 v5 10 5 5 v4
6/6
3/8 v4 3
4/4 6 4 7
2/9 2 5 v6
2/7 v7 v6 2 v7
The flow f is maximal!