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1
Introductory Logic PHI 120
Complex Problems II Introductory Logic PHI 120
2
Grading, attendance, accommodation issues RECITATION INSTRUCTOR
REMINDER Grading, attendance, accommodation issues Dealt with by your RECITATION INSTRUCTOR
3
Homework Proofs Handout: Problem Set A: S1 - S27
Problem Set B: T1 – T4 Problem Set C: S34 - S49 Problem Set D: T5 - T7
4
Homework (1) Solve S39 – S49 from Proofs Handout T5 – T7
Come to review with specific problems (3) Study Guide 2
5
Mathematical Concepts -- Commutativity -- -- Distribution -- -- Associativity --
Problems from Ex
6
Commutativity 2 x 2 Question Method Mathematical Concepts
P & Q ⊣⊢ Q & P P v Q ⊣⊢ Q v P 2 x 2 Question Method P <-> Q ⊣⊢ Q <-> P
7
PvQ ⊣⊢ QvP
8
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P Q v P ⊢ P v Q
9
PvQ ⊣⊢ QvP The Two Questions Think vE (why?) P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A
Think vI (why?) P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) Q v P ⊢ P v Q Think vE (why?) The Two Questions
10
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) A Q v P ⊢ P v Q
11
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A Q v P ⊢ P v Q
12
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A 2 (2) ~P A Q v P ⊢ P v Q
13
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A (3) Q v P ⊢ P v Q
14
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A (3) ,2 vE Q v P ⊢ P v Q
15
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A (3) Q 1,2 vE
16
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
17
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE (4)
18
PvQ ⊣⊢ QvP vI P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
(4) ?? Q v P ⊢ P v Q
19
PvQ ⊣⊢ QvP vI P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
20
PvQ ⊣⊢ QvP vI P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
21
PvQ ⊣⊢ QvP The Two Questions vI P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A
1,2 (3) Q ,2 vE 1,2 (4) Q v P vI Q v P ⊢ P v Q The Two Questions Either ->I or RAA
22
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI (5) Q v P ⊢ P v Q RAA Strategy
23
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI (5) A Q v P ⊢ P v Q RAA Strategy
24
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI (5) ~(Q v P) A Q v P ⊢ P v Q RAA Strategy
25
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI 5 (5) ~(Q v P) A Q v P ⊢ P v Q RAA Strategy Remember: assumptions take the number of the line
26
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI 5 (5) ~(Q v P) A Q v P ⊢ P v Q
27
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI (5) ~(Q v P) A (6) Q v P ⊢ P v Q
28
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI (5) ~(Q v P) A (6) ,5 RAA(?) Q v P ⊢ P v Q
29
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI (5) ~(Q v P) A (6) ,5 RAA(?) Q v P ⊢ P v Q “save the best for last”
30
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI (5) ~(Q v P) A (6) ,5 RAA(2) Q v P ⊢ P v Q
31
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI (5) ~(Q v P) A (6) P ,5 RAA(2) Q v P ⊢ P v Q
32
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI 5 (5) ~(Q v P) A 1,5 (6) P ,5 RAA(2) Q v P ⊢ P v Q
33
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI (5) ~(Q v P) A 1,5 (6) P ,5 RAA(2) (7) Q v P ⊢ P v Q
34
PvQ ⊣⊢ QvP vI P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
(5) ~(Q v P) A 1,5 (6) P ,5 RAA(2) (7) ?? Q v P ⊢ P v Q
35
PvQ ⊣⊢ QvP vI P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
(5) ~(Q v P) A 1,5 (6) P ,5 RAA(2) (7) vI Q v P ⊢ P v Q
36
PvQ ⊣⊢ QvP vI P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
(5) ~(Q v P) A 1,5 (6) P ,5 RAA(2) (7) Q v P vI Q v P ⊢ P v Q
37
PvQ ⊣⊢ QvP The Two Questions vI P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A
1,2 (3) Q ,2 vE 1,2 (4) Q v P vI (5) ~(Q v P) A 1,5 (6) P ,5 RAA(2) 1,5 (7) Q v P vI Q v P ⊢ P v Q The Two Questions
38
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI (5) ~(Q v P) A 1,5 (6) P ,5 RAA(2) 1,5 (7) Q v P vI (8) Q v P ⊢ P v Q
39
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI (5) ~(Q v P) A 1,5 (6) P ,5 RAA(2) 1,5 (7) Q v P vI (8) ,7 RAA(5) Q v P ⊢ P v Q
40
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI (5) ~(Q v P) A 1,5 (6) P ,5 RAA(2) 1,5 (7) Q v P vI (8) Q v P ,7 RAA(5) Q v P ⊢ P v Q
41
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI 5 (5) ~(Q v P) A 1,5 (6) P ,5 RAA(2) 1,5 (7) Q v P vI (8) Q v P ,7 RAA(5) Q v P ⊢ P v Q
42
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI (5) ~(Q v P) A 1,5 (6) P ,5 RAA(2) 1,5 (7) Q v P vI 1 (8) Q v P ,7 RAA(5) Q v P ⊢ P v Q
43
PvQ ⊣⊢ QvP P v Q ⊢ Q v P (1) P v Q A (2) ~P A 1,2 (3) Q 1,2 vE
1,2 (4) Q v P vI (5) ~(Q v P) A 1,5 (6) P ,5 RAA(2) 1,5 (7) Q v P vI 1 (8) Q v P ,7 RAA(5) Q v P ⊢ P v Q Solve on your own
44
Distribution Mathematical Concepts P & (Q v R) ⊣⊢ (P & Q) v (P & R)
P v (Q & R) ⊣⊢ (P v Q) & (P v R)
45
Distribution Mathematical Concepts P & (Q v R) ⊣⊢ (P & Q) v (P & R)
P v (Q & R) ⊣⊢ (P v Q) & (P v R)
46
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
47
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
Do this left side one on your own (P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R)
48
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A
49
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A (2) ?? Recognize the RAA! If forced to add assumptions, you may begin with the proper strategy.
50
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A
51
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A (possible vE) 2 (2) ~(P & (Q v R)) A (3) ??
52
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A (disjunction) 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A (denial of left disjunct)
53
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A (disjunction) 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A (denial of left disjunct) 1,3 (4) P & R 1, 3 vE (the other disjunct)
54
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE
55
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E
56
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E 1,3 (6) R 4 &E
57
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E 1,3 (6) R 4 &E 1,3 (7) Q v R 6 vI
58
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E 1,3 (6) R 4 &E 1,3 (7) Q v R 6 vI 1,3 (8) P & (Q v R) 5, 7 &I
59
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E 1,3 (6) R 4 &E 1,3 (7) Q v R 6 vI 1,3 (8) P & (Q v R) 5, 7 &I
60
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E 1,3 (6) R 4 &E 1,3 (7) Q v R 6 vI 1,3 (8) P & (Q v R) 5, 7 &I
61
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E 1,3 (6) R 4 &E 1,3 (7) Q v R 6 vI 1,3 (8) P & (Q v R) 5, 7 &I (9) 2,8 RAA(?)
62
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E 1,3 (6) R 4 &E 1,3 (7) Q v R 6 vI 1,3 (8) P & (Q v R) 5, 7 &I (9) P & Q 2,8 RAA(3)
63
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E 1,3 (6) R 4 &E 1,3 (7) Q v R 6 vI 1,3 (8) P & (Q v R) 5, 7 &I 1,2 (9) P & Q 2,8 RAA(3)
64
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E 1,3 (6) R 4 &E 1,3 (7) Q v R 6 vI 1,3 (8) P & (Q v R) 5, 7 &I 1,2 (9) P & Q 2,8 RAA(3)
65
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E 1,3 (6) R 4 &E 1,3 (7) Q v R 6 vI 1,3 (8) P & (Q v R) 5, 7 &I 1,2 (9) P & Q 2,8 RAA(3) 1,2 (10) P 9 &E
66
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E 1,3 (6) R 4 &E 1,3 (7) Q v R 6 vI 1,3 (8) P & (Q v R) 5, 7 &I 1,2 (9) P & Q 2,8 RAA(3) 1,2 (10) P 9 &E 1,2 (11) Q 9 &E
67
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E 1,3 (6) R 4 &E 1,3 (7) Q v R 6 vI 1,3 (8) P & (Q v R) 5, 7 &I 1,2 (9) P & Q 2,8 RAA(3) 1,2 (10) P 9 &E 1,2 (11) Q 9 &E 1,2 (12) Q v R 11 vI
68
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E 1,3 (6) R 4 &E 1,3 (7) Q v R 6 vI 1,3 (8) P & (Q v R) 5, 7 &I 1,2 (9) P & Q 2,8 RAA(3) 1,2 (10) P 9 &E 1,2 (11) Q 9 &E 1,2 (12) Q v R 11 vI 1,2 (13) P & (Q v R) 10, 12 &I
69
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E 1,3 (6) R 4 &E 1,3 (7) Q v R 6 vI 1,3 (8) P & (Q v R) 5, 7 &I 1,2 (9) P & Q 2,8 RAA(3) 1,2 (10) P 9 &E 1,2 (11) Q 9 &E 1,2 (12) Q v R 11 vI 1,2 (13) P & (Q v R) 10, 12 &I
70
P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E 1,3 (6) R 4 &E 1,3 (7) Q v R 6 vI 1,3 (8) P & (Q v R) 5, 7 &I 1,2 (9) P & Q 2,8 RAA(3) 1,2 (10) P 9 &E 1,2 (11) Q 9 &E 1,2 (12) Q v R 11 vI 1,2 (13) P & (Q v R) 10, 12 &I 1 (14) P & (Q v R) 2, 13 RAA (2)
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P&(QvR) ⊣⊢ (P&Q)v(P&R)
(P & Q) v (P & R) ⊢ P & (Q v R) 1 (1) (P & Q) v (P & R) A 2 (2) ~(P & (Q v R)) A 3 (3) ~(P & Q) A 1,3 (4) P & R 1, 3 vE 1,3 (5) P 4 &E 1,3 (6) R 4 &E 1,3 (7) Q v R 6 vI 1,3 (8) P & (Q v R) 5, 7 &I 1,2 (9) P & Q 2,8 RAA(3) 1,2 (10) P 9 &E 1,2 (11) Q 9 &E 1,2 (12) Q v R 11 vI 1,2 (13) P & (Q v R) 10, 12 &I 1 (14) P & (Q v R) 2, 13 RAA (2) Distribution: Complex? Yes. Hard? Moderately so.
72
Associativity Do these problems at home Mathematical Concepts
P & (Q & R) ⊣⊢ (P & Q) & R Do these problems at home P v (Q v R) ⊣⊢ (P v Q) v R
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Homework (1) Solve S39 – S49 from Proofs Handout T5 – T7
Come to review with specific problems (3) Study Guide 2
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