1. INTERPOLACIJA PO DIJELOVIMA POLINOMIMA

2. Interpolacija po dijelovima polinomima
Po dijelovima polinomna interpolacija funkcije f je funkcija  t.d.:
k=1,...,n
Gdje za čvorove interpolacije vrijedi:
x0<x1<...<xn
pk su polinomi stupnja m određeni s (m+1)-im koeficijentom
Da bi odredili polinome pk ukupno moramo odrediti (m+1)n koeficijenata
Zadano je 2n interpolacijskih uvjeta:
pk(xk-1)=f(xk-1), pk(xk)=f(xk) ,k=1,...,n
Za m=1 ne trebamo dodatne uvjeta, ali za m>1 potrebno je dodati uvjete na glatkoću funkcije 

3. Linearni splajn
Linearni splajn je interpolacija po dijelovima polinomima stupnja 1 u obliku:
pk(x)=c0,k+ c1,k(x-xk-1) za x  [xk-1,xk] , k=1,...,n
Možemo ga zapisati u Newtonovoj formi:
pk(x)=f[xk-1]+f[xk-1 ,xk](x-xk-1)
Vrijedi: c0,k=f[xk-1]=fk-1
c1,k=f[xk-1 ,xk]=(fk-fk-1)/(xk-xk-1) , k=1,...,n

4. Binarno pretraživanje
Ako želimo aproksimirati vrijednost funkcije f u točki x є [x0 ,xn] prvo treba pronaći između kojih čvorova se točka x nalazi
Za to koristimo algoritam binarnog pretraživanja:
low:=0;
High:=n;
while (high-low)>1 do
begin
mid:=(low+high) div 2;
if x<xmid then
high:=mid
else
low:=mid
end;
Trajanje algoritma je proporcionalno s: log2(n)

5. Ocjena greške
na podintervalu [xk-1,xk] ocjena greške linearne interpolacije je:
Pri čemu je: ,
Graf od (x) na [xk-1,xk] je parabola koja siječe apscisu u xk-1 i xk , pa je maksimum od  (x) u polovištu intervala:
Slijedi da je:

6. Ocjena greške
Ocjena greške linearne interpolacije na cijelom intervalu [a,b] je:
gdje je:
Ako ravnomjerno povećavamo broj čvorova tako da h0 , onda i maksimalna greška teži u 0.

7. Linearni splajn MANE: Za umjerenu točnost potrebno je dosta točaka
Aproksimacijska funkcija nije dovoljno glatka
Zbog tih razloga češće se na podintervalima koriste polinomi viših stupnjeva

8. Kubični splajn
Kod kubičnog splajna restrikcija aproksimacijske funkcije  na svaki interval [xk-1,xk] je polinom pk stupnja 3, oblika:
pk(x)=c0,k+c1,k(x-xk-1)+c2,k(x-xk-1)2+c3,k(x-xk-1)3
za x є [xk-1,xk] , k=1,...,n
Dakle moramo odrediti 4n koeficijenata.
Zadano je 2n interpolacijskih uvjeta:
pk(xk-1)=f(xk-1), pk(xk)=f(xk) ,k=1,...,n
Obično želimo da je i derivacija f-je  neprekidna u čvorovima,pa dobivamo drugih 2n uvjeta:
pri čemu su sk neki brojevi

9. Određivanje koeficijenata
Ako znamo vrijednost f-je i prve 3 derivacije u čvorovima onda su koeficijenti:

10. Određivanje koeficijenata
Ako znamo vrijednost f-je i prvu derivaciju u čvorovima onda su koeficijenti:
gdje je: hk=xk-xk-1 , k=1,...,n
f[x0,x1,..., xn]=( f[x0,x1,..., xn]- f[x0,x1,..., xn])/(xn-x0)

11. Određivanje koeficijenata
Ako znamo vrijednost f-je i drugu derivaciju u čvorovima
Uvodimo oznaku:
Polinome pk sada možemo pisati:

12. Gdje se Mk određuju iz matrične jednadžbe: CM=d Pri čemu je:

13. Prirodni splajn
Prirodni splajn je kubični splajn sa zadanim tzv. slobodnim krajevima, tj. ako je:
˝(x0)= ˝(xn)=0

14. Ocjena greške
na podintervalu [xk-1,xk] ocjena greške kubične interpolacije je:
pri čemu je: ,
Maksimum funkcije  (x) na [xk-1,xk] je u nultočki xe od , pri čemu je:
Slijedi da je:

15. Ocjena greške
Ocjena greške kubične interpolacije na cijelom intervalu [a,b] je:
gdje je:
Ako ravnomjerno povećavamo broj čvorova tako da h0 , onda i maksimalna greška teži u 0.