1. Elektrotehnički fakultet Osijek
OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II
Metode i teoremi rješavanja
električnih mreža

2. Metoda I i II Kirchhoffova zakona
Metoda se zasniva na primjeni I Kirchhoffova zakona za struje (KZS) i II Kirchhoffova zakona za napone (KZN).
Primjer:
Kirchhoffov zakon za struje (KZS) čvorovi A, B, C:
(1)
(2)
(3)

3. Metoda I i II Kirchhoffova zakona
Kirchhoffov zakon za napone (KZN) petlje 1, 2, 3:
(4)
(5)
(6)
Rješenjem jednadžbi od (1) do (6) određuju se struje grana ove mreže, a nakon toga mogu se odrediti i druge fizikalne veličine, tj. naponi i snage.

4. Metoda konturnih struja
Metoda konturnih struja temelji se na transformaciji jednadžbi dobivenih primjenom Kirchhoffovih zakona na mrežu.
Iz jednadžbi čvorova (1), (2) i (3) izluče se struje koje teku zajedničkim granama kontura (petlji) mreže:
(7)
(8)
(9)

5. Metoda konturnih struja
Uvrštavanjem jednadžbi (7), (8) i (9) u jednadžbe (4), (5) i (6) i nakon sređivanja dobiju se konturne jednadžbe:
(10)
(11)
(12)
Dobivene su tri jednadžbe s tri nepoznanice.
Te nepoznanice su struje vanjskih grana i čiji smjerovi se podudaraju sa smjerovima obilaska kontura.

6. Metoda konturnih struja
Iz jednadžbi (10), (11) i (12) proizlazi da struje vanjskih grana teku po cijeloj konturi.
Struja množi sumu impedancija konture 1 ( ), a struja množi impedanciju zajedničke grane konture 1 i 2, a struja množi zajedničku impedanciju grane konture 1 i 3.
Ista zakonitost vrijedi i kod ostalih jednadžbi.

7. Metoda konturnih struja
U jednadžbe uvodimo sljedeće zamjene:
struja konture 1,
struja konture 2,
struja konture 3.

8. Metoda konturnih struja
Impedancije zamjenjujemo s:
- impedancija konture 1
- impedancija konture 2
- impedancija konture 3
- impedancija zajedničke grane konture 1 i 2
- impedancija zajedničke grane konture 2 i 3
- impedancija zajedničke grane konture 1 i 3
Ako su smjerovi oznaka kroz zajedničku granu kontura isti onda impedancija ima pozitivan predznak, a ako su smjerovi suprotni onda impedancija ima negativan predznak.

9. Metoda konturnih struja
Za napone uvodimo sljedeće zamjene:
Nakon uvođenja zamjena dobivaju se konturne jednadžbe u konačnom obliku:
(13)
(14)
(15)

10. Metoda konturnih struja
Rješenjem konturnih jednadžbi određuju se struje kontura, odnosno struje u vanjskim granama mreže:
Struje kroz zajedničke grane kontura određuju se s obzirom na smjerove konturnih struja. Tako je:

11. Metoda konturnih struja
Rješenjem ovih jednadžbi određuju se struje kontura.
Za bilo koju konturnu struju rješenje pomoću determinanti daje:
Determinanta D je determinanta sustava, tj. determinanta svih impedancija koje se u jednadžbama nalaze uz konturne struje.
Determinanta Dk se dobiva tako da se u determinanti sustava k-ti stupac zamijeni s članovima s desne strane jednadžbe.

12. Metoda konturnih struja
Primjer: Određivanje konturne struje
Na temelju jednedžbi konturnih struja (13), (14) i (15) određene su determinante D i D1
Determinanta D je simetrična, tj.

13. Metoda konturnih struja
Primjer: Određivanje konturne struje
Iz determinante D1 dobije se:
Konačno se dobije konturna struja :
Na isti način se određuju konturne struje i .

14. Metoda konturnih struja
Za mrežu s n kontura dobiju se po istim načelima koji su dani za promatranu mrežu n nezavisnih konturnih struja.
Primjenom determinanti na takav sustav jednadžbi može se odrediti bilo koja konturna struja. Tako npr. struja k-te konture je:
(16)
Determinanta sustava n jednadžbi je D, a determinanta Dk dobiva se iz determinante D tako da se elementi k-tog stupca nadomjeste vrijednostima koji stoje na desnoj strani jednadžbi.

15. Metoda konturnih struja
Razvojem po k-tom stupcu determinante Dk dobiva se konturna struja k-te konture:
(17)
Jednadžbu (17) možemo kraće napisati:
(18)
gdje je:
- kofaktor ili algebarski komplement
elementa
- subdeterminanta elementa

16. Metoda konturnih struja
Analogno tome dobije se za i-tu konturnu struju
Struja zajedničke grane između dvije konture određuje se na način dan u primjeru ili općenito za struju zajedničke grane konture k i i dobije se:
(19)

17. Metoda potencijala čvorova
Svaka struja grane može se izraziti pomoću napona grane, odnosno razlike potencijala dvaju čvorova između kojih je spojena grana.
Umjesto nepoznatih struja grana uvode se potencijali čvorova.
Čvor C odabire se za referentni ili nulti čvor.
Potencijali ostalih čvorova su označeni s UA, UB i UD.

18. Metoda potencijala čvorova
(20)
Struje grana su:
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)

19. Metoda potencijala čvorova
Prema Kirchhoffovom zakonu za struje jednadžbe za čvorove A, B i D su:
(26)
(27)
(28)

20. Metoda potencijala čvorova
Uvrštavanjem jednadžbi za struje grana ((20) do (25)) u jednadžbe čvorova A, B i D dobiju se tri nezavisne jednadžbe:
(26)
(27)
(28)

21. Metoda potencijala čvorova
U ovim jednadžbama uočava se određena zakonitost:
Potencijal čvorova kojoj pripada jednadžba ima predznak plus i množi se s admitancijom tog čvora.
Potencijal ostalih čvorova ima predznak minus i množi se s admitancijom grane između čvorova.
S desne strane samo one grane koje ulaze u čvor vodeći računa o predznaku odnosno smjeru EMSa.
Ako je EMS usmjerena prema čvoru onda je predznak plus, a u suprotnom minus. Naponski izvori se pretvaraju u strujne.
Rješenjem jednadžbi (29), (30) i (31) dobiju se potencijali čvorova i
Uvrštavanjem potencijala i u jednadžbe (20) do (25) dobiju se struje svih grana.

22. Metoda potencijala čvorova
Općenito za mrežu koja ima nč može se za k-ti čvor napisati jednadžba:
(32)
je napon ili EMS priključen na k-ti čvor, ima predznak “+” ako je usmjeren prema čvoru, a predznak “–” ako je suprotno usmjeren.
Desna strana jednadžbe (32) ukazuje na pretvorbu naponskih izvora u strujne samo onih grana koje ulaze u promatrani k-ti čvor.

23. Metoda potencijala čvorova
Između i-tog i k-tog čvora je grana sa strujnim i naponskim izvorom.
Pretvorbom naponskog izvora u ekvivalentni strujni izvor dobije se struja grane koja ulazi iz k-tog čvora:

24. Metoda potencijala čvorova
Jednadžba k-tog čvora glasi:
gdje je:
suma admitancija svih grana koje ulaze u k-ti čvor
admitancija zajedničke grane između k-tog i i-tog čvora
suma svih struja koje ulaze u k-ti čvor

25. Metoda potencijala čvorova
Za mrežu s nč čvorova može se napisati (nč-1) nezavisnih jednadžbi.
Rješenjem tih jednadžbi određuju se potencijali čvorova, a onda se mogu odrediti struje i snage.

26. Metoda superpozicije
Razmatra se linearna električna mreža s n kontura u kojoj dvije konture u vanjskim granama imaju EMS, a ostali dio mreže sadrži pasivne elemente (P).
Konturne struje i su ujedno struje grana:
Po metodi konturnih struja dobiju se struje k-te i i-te grane:
(1)
(2)

27. Metoda superpozicije
Iz relacija (1) i (2) proizlazi da jednu komponentu struje stvara EMS , a drugu EMS :
(3)
(4)
Struja u bilo kojoj strani mreže može se izračunati kao suma doprinosa svake EMS u mreži.

28. Metoda superpozicije
Ilustrirat će se primjena metode superpozicije na početnom primjeru.
Prvo se određuju parcijalne struje k-te i i-te grane koje stvara EMS

29. Metoda superpozicije Struja u k-toj grani koju stvara EMS iznosi: (5)
gdje je:
ulazna admintancija gledano iz k-te grane
ulazna impedancija gledano iz k-te grane

30. Metoda superpozicije Struja u i-toj grani koju stvara EMS iznosi: (6)
gdje je:
prijenosna admitancija između i-te i k-te grane
prijenosna impedancija između i-te i k-te grane

31. Metoda superpozicije Struja u i-toj grani koju stvara EMS iznosi: (7)
gdje je ulazna admitancija gledano iz i-te grane.
Ulazna impedancija gledano iz i-te grane iznosi:
(8)
Struja k-toj grani od EMS je:
(9)
gdje je:
prijenosna admitancija između k-te i i-te grane.

32. Metoda superpozicije
Prijenosna impedancija između k-te i i-te grane iznosi:
(10)
Konačne vrijednosti struje k-te i i-te grane su:
(11)
(12)
Prijenosne admitancije su jednake:
(13)

33. Metoda superpozicije
Metoda superpozicije vrijedi samo za linearne mreže.
Pri računanju parcijalne struje koju daje jedan EMS potrebno je sve preostale EMSove kratko spojiti, a strujne izvore isključiti te ostali dio mreže pasivizirati.
Na isti način se računaju parcijalne struje svakog od preostalih izvora.
Struja u promatranoj grani dobije se zbrajanjem (fazora) parcijalnih struja vodeći računa o smjerovima.

34. Theveninov teorem
Struju kroz bilo koju impedanciju grane ab električne mreže može se odrediti tako da se preostali dio mreže zamijeni s ekvivalentnim naponskim izvorom i impedancijom izvora
Primjer:

35. Theveninov teorem
EMS ekvivalentnog izvora jednaka je naponu koji vlada na krajevima grane a-b, kada je grana a-b otvorena.
Impedancija jednaka je impedanciji preostale mreže promatrane sa strane priključnica a-b pri otvorenoj grani. Pri tome se naponski izvori kratko spoje, a strujni odspoje.

36. Theveninov teorem
Po Theveninovom teoremu može se nadomjestiti dio po dio mreže.
Aktivni dio mreže a) se nadomjesti s EMS i impedancijom , a dio mreže A2 s EMS i
Struja kroz impedanciju se određuje prema shemi b).

37. Millmanov teorem
Millmanov teorem je specijalni slučaj Theveninova teorema. Primjenjuje se na mrežu paralelno spojenih naponskih izvora, tj. na mrežu s dva čvora.

38. Millmanov teorem
Izvor se nadomještaju s jednim izvorom, a sva trošila rezultantnom impedancijom.
Struja kroz impedanciju iznosi:

39. Nortonov teorem
Struju kroz impedanciju grane a-b može se odrediti ako se preostali dio mreže nadomjesti realnim strujnim izvorom.

40. Nortonov teorem
Struja ekvivalentnog strujnog izvora jednaka je struji koja teče kratko spojenom granom a-b.
Impedancija predstavlja impedanciju koja se dobije po istim načelima kao kod Theveninovog teorema. Kod toga se naponski izvori kratko spoje, a strujni izvori mreže se odspoje.

41. Teorem recipročnosti
Ako EMS , djelujući u grani k pasivne linearne električne mreže izaziva struju u grani i iste mreže, onda će ta ista EMS djelujući u grani i izazvati u grani k također struju .

42. Teorem recipročnosti
Neka u mreži djeluje samo EMS u k-toj grani (slika a)), a
struja u i-toj grani od EMS određena je jednadžbom:
Na isti način odredit će se struja nastala od u i-toj grani iste mreže (slika b)):
Za linearnu mrežu vrijedi Aik=Aki pa se dobije odnos:
Ako su EMS tada su struje u granama jednake: