1. Type Reconstruction (II) - Algorithm W - 20110205 CSE 김민철 (id: rucatia) 6/4 POSTECH 무은재기념관 307 호

2. Implicit let-polymorphism  Type Annotation X  Type Abstraction X  Type Application X A :: = A  A | α U :: = A | ∀ α.U e :: = x | λx.e | e e | let x = e in e Γ :: = · | Γ, x : U, α type

3. Rules for typing judgement Γ ▷ e:U Bottom up Algorithm W 를 간단하게 !

4. Type reconstruction  Implicit let-polymorphism 에서 type reconstruction!  A :: = A  A | α  U :: = A | ∀ α.U  e :: x | λx.e | e e | let x = e in e  Γ :: = · | Γ, x : U[ 모든 type 이 유효하다는 Assumption! (No Γ, α type)]

5. Revised version of Gen, Spec rule Top down Approach 의도하지 않은 중복 방지 ! Polytype -> Monotype

6. Algorithm W

7. λx. x+1 Function body 를 안 봐서 x 의 타입은 그냥 임의로 α Body 에서 x 가 int 임을 얻음 {int/α}  ({int/α}·α  A) 가 최종 type

8. Algorithm W  3. W(Γ, e1 e2) = let (S1, A1) = W(Γ, e1) in let (S2, A2) = W(S1·Γ, e2) in let S3 = Unify(S2·A1 = A2  α) infresh α (S3 o S2 o S1, S3·α) Application Rule 을 잘 생각해보면 ? Unify 는 안의 Equation 의 type 이 같도록 하는 Substitution 을 return 한다. Γ S1·ΓA1??? e1e2 S2·S1·ΓS2·A1A2 S3·S2·A1S3·A2

9. Unify Function  type equations E ::= · | A = A  Unify(E) = S [Substitution S 를 적용하면 type equation E 는 true  S·E]  Unify(·) = id  Unify(E, α = A) =if α = A then Unify(E) else if α ∈ ftv(A) then fail else Unify({A/α}·E) o {A/α}  Unify(E, A1  A2 = B1  B2) = Unify(E, A1=B1, A2=B2) Unify(α = α  int) E 가 α 를 가지고 있을 때를 생각해보자. Unify(α  β = β  α, α = int)

10. Algorithm W Γ Γ S1·ΓA1??? e1 e2 S2·S1·ΓA2 Gen(A1) x x USE αβαβ ∀α.αβ∀α.αβ ∀β.∀α.αβ∀β.∀α.αβ Gen Rule Gen Function

11. Completeness of Algorithm W

12. Thank you! Thanks for 류각사