1. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA
Juan C. Fernandez
5-a
FIUBA 2008

2. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS C S I
Campo EM D 1 2 3
Si las tres dimensiones del sistema cumplen la condición cuasi-estática se puede utilizar la teoría de circuitos (elementos concentrados).
La siguiente complicación del modelo se produce cuando una sola dimensión no cumple la condición cuasiestática.
D << min
Este caso se puede analizar por la teoría de circuitos pero considerando parámetros distribuidos. El paradigma es la línea de transmisión bifilar.
Se trata de un par de electrodos paralelos por una longitud L  .
Los electrodos están cargados con distribuciones de carga iguales y opuestas variables a lo largo de la línea, creando campo eléctrico que puede expresarse por una capacitancia distribuida.
Al mismo tiempo circulan corrientes iguales y opuestas variables a lo largo de la línea, creando campo magnético que puede expresarse por una inductancia distribuida.
La potencia fluye a lo largo de la línea. I -I Q -Q E H
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3. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS I -I Q -Q E H
En el modelo de constantes distribuidas la línea bifilar se puede modelar como una sucesión de cuadripolos en cascada de dimensión longitudinal pequeña.
i(z,t)
i(z+dz,t)
v(z,t)
v(z+dz,t) z
Cada cuadripolo cumple así la condición cuasi-estática y puede modelarse con la teoría de circuitos.
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4. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
La energía electromagnética puede ingresar a una línea de transmisión en forma de excitación concentrada o distribuida.
Las fuentes concentradas se aplican en un punto determinado de la línea y la señal se propaga por la línea desde allí. Se simulan mediante fuentes de tensión y/o corriente conectadas en el sitio de ingreso de la excitación.
En el caso de una fuente distribuida la excitación se distribuye a lo largo de la línea. Se simula esta situación mediante una onda, habitualmente plana, que ilumina a la línea en toda o parte de su extensión.
ZL1
ZL2
Vs/2 + ▔ _
Ia2
It2 Vs =
Una dada excitación puede generar distintas respuestas de la línea. La fuente de la figura produce corrien-tes que pueden representarse como la superposición de corrientes en modo común (modo de antena) y co-rrientes en modo diferencial (modo de línea de transmisión).
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5. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
LINEA IDEAL – MODELO CIRCUITAL
Una línea sin pérdidas se denomina línea ideal.
En este caso los conductores de la línea son considerados perfectos (  ) y el dieléctrico entre ellos tampoco tiene pérdidas.
En este caso el modelo circuital de la línea sólo tiene elementos reactivos.
La capacidad está asociada al campo eléctrico creado por las cargas en los conductores de la línea y la inductancia al campo magnético generado por las corrientes que circulan por ella.
Queda así el cuadripolo de la figura, donde Ldz es la inductancia del tramo y Cdz su capacidad.
i(z,t)
i(z+dz,t)
v(z,t)
v(z+dz,t) z
L dz
C dz A
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6. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
LINEA IDEAL – MODELO CIRCUITAL
i(z,t)
i(z+dz,t)
v(z,t)
v(z+dz,t)
L dz
C dz A
Aplicando la 1ra. regla de Kirchhoff al nodo A:
Aplicando la 2da. regla de Kirchhoff al circuito marcado:
La solución a las ecuaciones del telegrafista en una línea ideal son ondas de tensión y corriente que se propagan a lo largo de la línea.
En estas ecuaciones se puede desarrollar en serie de Taylor para obtener:
Ecuaciones del telegrafista
Las ecuaciones se pueden desacoplar para obtener:
Estas son ecuaciones de onda. La solución general es del tipo:
velocidad de propagación
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7. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
LINEA IDEAL – MODELO CIRCUITAL
velocidad de propagación
Las ondas de tensión y corriente están ligadas entre sí por las ecuaciones del telegrafista:
impedancia característica
Parámetros de líneas básicas
Cinta
Bifilar
Coaxil Z0 c C L
Tipo
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8. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
LINEA IDEAL – MODELO CIRCUITAL
Onda progresiva: se propaga según +z
Onda regresiva: se propaga según -z
La solución general al problema de la línea ideal es la superposición de una onda progresiva y una onda regresiva
Diferencias entre el modelo de constantes concentradas y el modelo de constantes distribuidas I V1 V2 V3
La corriente es la misma a lo largo del circuito.
Hay caídas de tensión sólo sobre los elementos
concentrados del circuito. z
v(z)
i(z)
La corriente y la tensión cambian continuamente
a lo largo del circuito.
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9. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
LINEA CON PERDIDAS – MODELO CIRCUITAL
Pérdidas conductoras por efecto Joule
Pérdidas dieléctricas
Ecuaciones del telegrafista: z
i(z,t)
i(z+dz,t)
v(z,t)
v(z+dz,t)
L dz
C dz A
R dz
G dz
Ecuaciones desacopladas:
No hay solución general en este caso como en el caso ideal.
Conviene trabajar en el dominio de la frecuencia. Suponemos:
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10. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
LINEA CON PERDIDAS – MODELO CIRCUITAL
Ondas armónicas:
propagación
atenuación
onda progresiva
onda regresiva
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11. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
LINEA CON PERDIDAS – MODELO CIRCUITAL
Bajas pérdidas:
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12. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Líneas básicas:
Coaxil
Bifilar
Doble cinta
C (F/m)
L(Hy/m)
G( m)-1 a b d 2a t
Alta frecuencia
R (/m)
Z0 ()
Baja frecuencia
R ( / m)
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MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Líneas de cinta: w t h b 
stripline w t b 
microstrip
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14. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Representación matricial de la línea bifilar:
Ecuaciones del telegrafista:
para señales armónicas: tenemos:
ecuaciones que pueden escribirse en forma matricial como:
las ecs. del telegrafista en el caso armónica tienen solución:
estas soluciones pueden escribirse en forma matricial (sobreentendiendo el factor eit):
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15. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Representación matricial de la línea bifilar: matriz de transmisión z z2 z1
Longitud eléctrica
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16. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Representación matricial de la línea bifilar: circuitos  y T z z2 z1 Ya Yb Yc Z1 Z2 Z3
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17. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Línea bifilar cargada z Z0 ZL
coeficiente de reflexión
coeficiente de transmisión z Z0 ZL
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MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Ondas estacionarias z Z0 ZL
Cortocircuito: ZL = 0  L = -1 , L = 0 , R = 1 , T = 0
sobretensión
onda estacionaria
sobrecorriente
Circuito abierto : ZL    L = 1 , L = 0 , R = 1 , T = 0
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19. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Ondas estacionarias (cont.) z Z0 ZL
Cortocircuito o circuito abierto: |L| = 1  onda estacionaria R = 1
Adaptación: ZL = Z0  L =  onda viajera R = 0
Pérdida de inserción (return loss):
En general: |L|  1  relación de onda estacionaria
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20. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Ondas estacionarias (cont.) z Z0 ZL Vm VM
2kz+
v(z)
Máximos:
Mínimos:
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21. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Impedancia de onda z Z0 ZL
Casos particulares
línea adaptada
línea cortocircuitada
línea abierta
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22. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Línea con generador y carga z Z0
ZL2 d
ZL1 + V0 I0
i(z)
v(z) zs
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23. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Línea con generador y carga z Z0
ZL2 d
ZL1 + V0 I0
i(z)
v(z) zs
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24. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
La ecuación BLT z Z0
ZL2 d
ZL1 + V0 I0
i(z)
v(z) zs
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25. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS z Z0
ZL2 d
ZL1 + V0 I0
i(z)
v(z) zs
La ecuación BLT (cont.)
Excitaciones
Respuesta de las cargas
Resonancias en la línea
Llamando:
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26. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Líneas multifilares
Línea bifilar: 1 2 3
Conductor de referencia
Se extiende a una línea multifilar en forma matricial:
[vs(z)] es el vector de tensiones entre cada conductor y la referencia,
[is(z)] es el vector de corrientes en cada conductor
Z e Y son las matrices de coeficientes de impedancia y admitancia.
Estas matrices son cuadradas de (nn).
Sus elementos incorporan las capacidades parciales e inductancias mutuas
entre los conductores.
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27. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Líneas multifilares (cont.) 1 2 3
Conductor de referencia
Estas ecuaciones se pueden desacoplar:
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28. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Líneas multifilares (cont.)
Líneas sin pérdidas: 1 2 3
Conductor de referencia
Ecuaciones desacopladas
Modos independientes
Todas las ondas viajan a la misma velocidad
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29. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Líneas multifilares (cont.)
Líneas con pérdidas: 1 2 3
Conductor de referencia
En el caso general de pérdidas, las matrices P y R no son diagonales.
Puede demostrarse que es posible diagonalizar estas matrices para obtener una única matriz:
las matrices de transformación de similaridad cumplen la relación:
Los autovalores de las matrices P y R son las constantes de propagación de cada modo, generalmente complejas cuando hay pérdidas. La velocidad de propagación de cada modo depende de la frecuencia.
Esto implica que las tensiones y corrientes modales sufren generalmente dispersión al propagarse en una línea multifilar.
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30. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Líneas multifilares (cont.)
Líneas con pérdidas. Soluciones modales: 1 2 3
Conductor de referencia
Los valores modales son superposiciones de las tensiones y corrientes en cada hilo:
En el espacio de tensiones y corrientes modales valen las nuevas ecuaciones del telegrafista:
constantes de integración
con soluciones:
matrices de propagación
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31. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
Líneas multifilares (cont.)
Líneas con pérdidas. Soluciones modales:
Matrices de propagación:
[z0] es una matriz de impedancias características modal:
La distribución de tensiones y corrientes sobre los conductores (que son las que se miden y las que cumplen las condiciones de borde) se pueden expresar a partir de las soluciones modales:
podemos definir matrices de impedancia/admitancia característica de la línea multifilar
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32. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 5
MODELO DE CONSTANTES DISTRIBUIDAS
En resumen, una forma sistemática de resolver el problema de una línea multifilar es seguir los pasos:
determinar las matrices de impedancia/admitancia [Z] e [Y] de
la configuración;
2) hallar la matriz de propagación [P] = [Z][Y] (o [R] = [Y] [Z]);
3) diagonalizar la matriz de propagación mediante un algoritmo de cálculo de autovalores/autovectores:
[D] = [2] = [S][P][S] -1 = [T][R] [T] -1 ([T]' = [S] -1)
4) resolver las ecuaciones de onda desacopladas modales:
con y
5) convertir los vectores modales en vectores de tensiones y corrientes medibles:
6) determinar las constantes [a] y [b] a partir de las condiciones de borde.
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