1. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Today’s topic: Some Celestial Mechanics F

2. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Coordinate systems Cartesian coordinates Unit vectors are Orthogonal with norm 1

3. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Cylindrical coordinates

4. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Vector- och scalar product in cylindrical coordinates Orthogonal Right hand system

5. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Spherical coordinates

6. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Force law Torque Angular momentum gives: Introductory mechanics

7. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik The angular momentum is constant...

8. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Central force r x p is orthogonal to r, i.e. r is orthogonal to L which is constant. 1 Angular momentum is a constant of motion 2. Motion is in a plane

9. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik To write down the equations of motion we need the acceleration in cylindrical coordinates

10. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Velocity in cylindrical coordinates Motion in the plane due to central force Radial velocity Angular velocity

11. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Acceleration in cylindrical coordinates

12. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Acceleration in cylindrical coordinates

13. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Acceleration in cylindrical coordinates Ins. from above

14. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Equations of motion in the central force system this can also be written as: with the acceleration in the plane

15. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Equations of motion in the plane in cylindrical coordinates Depends explicitly on the force Can be integrated without defining F Now, use the following trick... i.e. Which gives

16. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Sector velocity Kepler’s second law

17. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Rho direction: Equations of motion in the plane in cylindrical coordinates Now use sinceWe have i.e We want only one variable. So eliminate phi…

18. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik The energy is a second constant of motion...

19. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik A second constant of motion For a conservative force, i.e. a force with potential Multiply by These are equal new trick...

20. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik in the eq. below We now have time derivatives on both sides of this equation! i.e. Continue by looking at the left hand side l.h can be written

21. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik The velocity is From L constant we have (still)

22. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Solving the equations of motion One can now either try to integrate with respect to the time, t, or, one can solve with respect to the angle. We start with the latter case and transform the time derivative to a derivative with respect to the angle phi:

23. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Solving the equations of motion At this point we have but Binet!

24. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Solving the equations of motion Binet’s equation for the kepler case (1/r 2 ) Second order diff equation. (solve with secular equation!)

25. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Different orbits Reference direction when α is zero

26. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Different orbits Investigate in the project!

27. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Orbial motionρ(t)

28. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Orbital motionρ(t) This integral can in principle be solved t(ρ) but its invertion ρ(t) is not possible in ”simple functions”. The same is true for the angle as a funtion of time. What to do?

29. Mean anomaly (ohmega constant, if e=0) Actual angle = true anomaly) Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Variable substitution... Half major axis Eccentric anomaly

30. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik After this substitution... Kepler’s third law (can also be found from geometical considerations)

31. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Kepler’s equation How find ρ(t)?Only numerical solution Gives ρ for this t! Generally at time t

32. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Two body problem For two interacting bodies the mass above is substituted by the so-called reduced mass Three body problem... Many tried to solve it (Poincare and other) but no solution exists in simple analytical form. Power series expansions exist. The problem has a very interesting backgroun story. As an example, find and read on your own the story behind the Mittag-Leffler prize.

33. Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Notera att volymelementet i cylinderkoordinater är: